“特殊值”思維在初中數學中的作用

陳潔

（云南省昭通市威信縣第一中學，云南 昭通 657900）

“特殊值”是什么意思呢？說得準確點“特殊值”就是特定的值，而“特殊值”思維呢也就是指如果一個一般性問題一時不易解決，不妨先考慮它的特殊情形，通過對特殊情況的研究，從而發現解決一般性問題的方法，這種思維就是“特殊值”思維。

三十多年的初中數學教學生涯，深深體會到初中數學教學中的很多問題用“特殊值”來解決作用很大，這對我們老師和學生們在數學問題的探究及解決上幫助較大。

案例1：已知有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，

化簡3la-bl+la+bl-lc-al+2lb-cl

很多同學遇到這樣的題都很難理解，也不容易解決。覺得很抽象，由圖可知a＜0，b＜0，c＞0，基礎好的同學還會觀察到lal＞lbl＞lcl，但是如何把題目中的絕對值符號去掉，就無從下手了，我們知道去掉絕對值符號關鍵是要確定絕對值里面的數是正數還是負數。該題中的a-b、a+b、c-a、b-c如何確定是正數還是負數呢？用一般思維來解決就比較復雜的和抽象，很多學生都無法解決，但是用“特殊值”思維就簡單明了，根據a＜0，b＜0，c＞0且lal＞lbl＞lcl，可在其范圍內取特殊值（確保a為負數，b為負數，c為正數且lal＞lbl＞lcl），當然取的特殊值為整更好便于計算，如a=-4，b=-3，c=1， 則 a-b=-4-（-3）=-1；a+b=-4+（-3）=-7；c-a=1-（-4）=5；b-c=-3-1=-4。

由-1是負數可確定a-b為負數，由-7是負數可確定a+b為負數，由5是正數可確定c-a為正數，由-4是負數可確定b-c為負數，根據非負數的絕對值等于本身，負數的絕對值等于其相反數。

∴3la-bl+la+bl-lc-al+2lb-cl

=-3（a-b）-（a+b）-（c-a）-2（b-c）

=-3a+3b-a-b-c+a-2b+2c

=-3a+c

顯然用“特殊值”思維很容易就去掉了絕對值符號，把一個不易解決的問題轉化為一個容易解決的問題——化難為易，這讓同學們感受到成功的快樂，體驗獨自克服困難，解決數學問題的過程，有克服困難的勇氣，增強他們學好數學的信心。

又如：案例2.若-1＜x≤2，化簡lx+1l-lx-2l。

解析：該題思維一樣，用“特殊值”思維就可搞定，在-1＜x≤2范圍內取x為0（取的值最好避開端點值2），則x+1=0+1=1，x-2=0-2=-2，由于1為正數，所以當-1＜x＜2時x+1為正數，由于-2為負數，所以當-1＜x≤2時x-2為負數。

∴lx+1l-lx-2l

=x+1+(x-2)

=x+1+x-2

=2x-1

如果我們把x的取值范圍改為-2＜x＜5，化簡lx+1l-lx-2l時要先求出零點值，x+1=0，x=-1；x-2=0，x=2，則取值范圍劃分為：-2＜x＜-1，-1≤x＜2，2≤x＜5，再分別在其范圍內取“特殊值”，如-2＜x＜-1時取x=-1.5來看：x+1=-0.5為負數，x-2=-3.5為負數，所以lx+1l-lx-2l=-x-1+x-2=-3，當-1≤x＜2時取x=0來看，（取的值最好避開端點值-1），x+1=1（正數），x-2=-2（負數）

∴lx+1l-lx-2l=x+1+x-2=2x-1

當2≤x＜5時取x=3來看（取的值最好避開端點值2），x+1=4（正數），x-2=1（正數）

∴lx+1l-lx-2l=x+1-（x-2）=3

如果我們又把x的取值范圍去掉，題目改為化簡lx+1l-lx-2l，零點值求出來為-1和2，則x的取值范圍為：x＜-1；-1≤x＜2；x≥2，分別在各范圍內取“特殊值”再討論化簡，當x＜-1時不妨取“特殊值”x=-2，則x+1=-1（負數），x-2=-4（負數），所以lx+1l-lx-2l=-x-1+x-2=-3。當-1≤x＜2時，不妨取“特殊值”x=1，則x+1=1（正數）；x-2=-1（負數），所以lx+1l-lx-2l=x+1+x-2=2x-1，當x≥2時，不妨取“特殊值”x=3（取的值最好避開端點值2），則x+1=4（正數）；x-2=1（正數），所以lx+1l-lx-2l=x+1-（x-2）=3。（注：避開端點值其目的是判斷其是正數或負數，免得值為0時不能確定其絕對值是本身還是相反數。）

綜上所述：當x＜-1時，lx+1l-lx-2l=x+1+x-2=-3

當-1≤x＜2時，lx+1l-lx-2l=x+1+x-2=2x-1

當x≥2時，lx+1l-lx-2l=x+1+x-2=3

數學學習中，通過“特殊值”入手進行分析，將復雜的問題轉化為簡單易懂的問題，增強了同學們戰勝困難的信心，提高了他們分析問題、解決問題的能力。

“特殊值”思維不但在初中代數學習中作用較大，在初中平面幾何學習中同樣用途也很廣。

案例4：已知∠MON，在∠MON內畫很多條射線，如果加上∠MON的兩邊OM和ON共有n條射線，問圖中共有多少個角，（①小于平角的角；②用n的代數式表示；③n≥3。）

因為n不是具體的數字，所以學生們理解及解決都很困難，但如果把n給一個“特殊值”就很簡單了。

1.當n=3時，如圖（一）所示，一看共有3個角，分別為∠MOA，∠MON和∠AON。

又如：

例5：將兩個直角三角形紙板，如下圖所示的擺放，∠ACB=∠CED=90°，∠A=∠B=45°，∠ECD=60°，CF平分∠ACE，CM平分∠BCD，求∠FCM的度數。

這是一道難度較大的幾何題，求解不易，絕大多數學生都難解決，但是我們把圖（一）稍微改變，變成：如圖（二）所示的特殊情形問題就好解決了。

∴∠FCM=∠FCE+∠BCM

=45° +30°

=75°

但只從這種特殊情況下求得的∠FCM的度數，在圖（一）這種情況下是不是還是75°呢？

在圖（一）中：∵CF平分∠ACE，CM平分∠BCD

其是，我們將60°的∠ECD繞C點旋轉任意角度（如圖（三）或如圖（四））在相應的情況下求得的∠FCM都等于75°。這種從特殊位置著手分析解決問題，變抽象為具體，把不易解決問題轉化為特殊形式的問題來探究，并且發現圖（二）的∠FCM等于一個具體的數“75°”，這讓同學們聯想到其他情況下，這個∠FCM會不會都是“75°”，這揭發了同學們探索數學問題的興趣。

利用“特殊值”思維來解決數學問題的情形還很多，由此可見“特殊值”思維在初中數學教學中作用很大，它讓同學們把復雜抽象的問題轉換為簡單特殊的問題來解決。讓學生們對數學有好奇心和求知欲，在解決問題的過程中讓他們體驗獲得成功的樂趣。鍛煉克服困難的意志，建立學習數學的自信心，這樣對他們學習數學幫助很大，所以在初中數學教學中請我們的老師和同學們大膽用“特殊值”思維來解決數學問題，當然也要分情況來看，具體問題具體分析，也并不是所有問題都能用“特殊值”思維來解決。