有限與無限的思想

童其林

有限與無限相比，有限顯得具體，無限顯得抽象，對有限的研究往往有法可循，并可以積累一定的經驗.?而對無限個對象的研究，卻往往不知如何下手，顯得經驗不足，于是將對無限的研究轉化為對有限的研究，就成了解決無限問題的必由之路.?反之當積累了解決無限問題的經驗之后，可以將有限的問題轉化成無限來解決，這種無限化有限，有限化無限的解決數學問題的方法就是有限與無限的思想.

數學中我們常碰到一類無窮的問題，如果能找到無窮問題的一般規律，便不難求解.?比如，下面的例1就是無限化有限解決問題的：

例1.（龍巖市2020年高中畢業班3月教學質量檢查，文科12題）已知數列{an}滿足an+1=2+?，則a1+a2020的最大值是（?????）

A.?4-2??????B.?8-??????C.?4+2??????D.?8+

解析：依題意an+1=2+?可化為（an+1-2）2+（an-2）2=4，令bn=（an-2）2，則bn+1+bn=4，∴?bn+2+bn+1=4，于是bn+2=bn，

∴?b1=（a1-2）2，b2020=b2=（a2-2）2=（a2020-2）2

∴?b1+b2020=b1+b2=4，即（a1-2）2+（a2020-2）2=4.

法一：a1=2+2cos?a2020?=2+2sin?？圯a1?+?a2020?=4+2?sin（?-?）≤4+

2?（當且僅當?=2k？仔+?（k∈N）時等號成立）.

法二：∵??≤?，

∴?a1?+?a2020?=（a1-2）+（a2020-2）+4≤2×?+4=4+2?（當且僅當a1?=a2020?=2+?時等號成立）.

法三：?（a1-2）2+（a2020-2）2=4，即（a1，?a2020）在圓（x-2）2+（y-2）2?=4上，

令z=x+y，即x+y-z=0，∴?d=?≤2，∴?|?z-4|≤2?，

∴?4-2?≤z≤4+2?，∴?zmax=4+2?.

點評：本來是一個無窮數列的問題，通過周期轉化為（a1-2）2+（a2020-2）2=4，后面有限的處理便是常規問題了，這是無限化有限的典型例子.

抓住變量的變化趨勢或臨界狀態或邊界點，可以把有限的問題轉化為對無限的問題來研究，從而比較快速、準確地解題.比如，下面的例2就是有限化無限解決問題的：

例2.?（人教A版必修四課本144頁B組第5題改編）函數f（x）=sin2022x+cos2022x?（x∈R）的值域是_________________.

解析：設f（?）=?sin?x??+cos?x??，x∈{n|n=2k，?k∈N+}利用三角變換，估計f（?）在x=2，4，6時的取值情況.

當x=2時，容易得到f（?）=sin?2??+cos2??=1;

當x=4時，f（?）=sin?4??+cos4??可以變形成什么？

f（?）=sin?4??+cos4??=（sin?2??+cos2??）2?-2sin?2??cos2???=?1-2sin?2???cos2??.

將2sin?2??cos2???化單一三角函數，因為sin?cos?=??，所以1-2sin?2??cos2??=1-?.?又因為sin?2?2?=?，所以1-?=?.?可得到f（?）=?.?此時?≤f（?）≤1;

當x=6時，

f（?）=sin?6??+cos6??=（sin?2??+cos2??）（sin?4??+cos4??）?-（sin?2??cos4???+sin?4??cos2???）=?-sin?2???cos2??=?+?=?+?cos?4?，得到?≤f（?）≤1.

因為當x=2即k=1時，f（?）=1可以寫成（?）0≤f（?）≤1;當x=?4即k=2時，（?）1≤?f（?）≤1，當x=?6即k=3時，（?）2?≤f（?）≤1所以當x=8即k=4時，（?）3?≤f（?）≤1.?因此，當x=2k，k∈N??時，（?）k-1≤f（?）≤1.

令x=2022，此時k=1011，k-1=1010，便可得f（?）的值域為[?，?1].

在高考中，一些問題是需要通過有限與無限思想解決問題的，而一些問題可以借助有限與無限思想簡化運算，快速求解的，還有就是幫助我們準確畫圖，從而得到正確答案的.無論哪種情形，學會用有限與無限思想解決問題都是數學能力、數學素養高的體現.?下面我們再通過例題談談他在數學各分支中的應用.

一、有限與無限的思想在函數中的應用

例3.（2020屆福州市高中畢業班第三次質量檢查，理科5）函數f（x）=ex-x2-2x的圖像大致為（?????）

解法一：因為f′（x）=ex-2x-2，f″（x）=ex-2，令f″（x）=ex-2=0，得x=ln?2，當xln?2時，f″（x）>0，f′（x）為增函數，而f′（ln?2）=2-2ln?2-2=-2ln?2<0，所以原函數存在兩個極值點，故淘汰選項C和D.?將x=1代入原函數，求得f（1）=e-1-2<0，淘汰選項A，故選B.

解法二：f（1）=e-2-1<0，淘汰選項A，D;當x→-∞時，f（x）=?ex-x（x+2）→-∞，淘汰選項C.?故選B.

例4.（2018年長沙一中月考題）若f（x）=ln（kex-x+1）的值域為R，則k的取值范圍是（?????）

A.?（-∞，?e-1]?????B.?（-∞，?e-2]?????C.?[e，?+∞）?????D.?（-2，?+∞）

解析：令u（x）=kex-x+1，

（1）當k=0時，u（x）=-x+1為R上的減函數，u（x）的值域包含（0，?+∞）;

（2）當k>0時，u′（x）=kex-1，易知u（x）在（ln?，+∞）單調遞增，在（-∞，ln?）上單調遞減.?此時，u（x）min?=u（ln?）=2-ln?，所以2-ln?≤0，解得0

（3）當k<0時，u′（x）=kex-1<0，u（x）為R上的減函數，又x→+∞時，u（x）→-∞，x→-∞時，u（x）→+∞，故u（x）?必存在唯一零點x0，使得u（x0）=0，即u（x）?的值域包含（0，+∞）.

綜上，可得k≤e-2，即k∈（-∞，?e-2]?，選B.

點評：f（x）=ln（kex-x+1）的值域為R，則u=kex-x+1的值域要取遍（0，+∞）的所有值.

例5.（2019年高考全國Ⅱ卷，理科20）已知函數f（x）=?ln?x-?.

（1）討論f（x）的單調性，并證明f（x）有且僅有兩個零點;

（2）設x0是f（x）的一個零點，證明曲線y=ln?x?在點A（x0，ln?x0）處的切線也是曲線y=ex的切線.

解析：（1）函數f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞），

f（x）=?ln?x-?？圯f′（x）=?，因為函數f（x）的定義域為（0，?1）∪（1，+∞），所以f′（x）>0，因此函數f（x）在（0，1）和（1，+∞）上是單調增函數;

當x∈（0，1）時，x→0，y→-∞，而f（?）=ln?-?=?>0，顯然當x∈（0，1），函數f（x）有零點，而函數f（x）在x∈（0，1）上單調遞增，故當x∈（0，1）時，函數f（x）有唯一的零點;

當x∈（1，+∞）時，f（e）=lne-?=?<0，f（e2）=lne2-?=?>0.

因為f（e）·f（e2）<0?，所以函數f（x）在（e，e2）必有一零點，而函數f（x）在（1，+∞）上是單調遞增，故當x∈（1，+∞）時，函數f（x）有唯一的零點.

綜上所述，函數f（x）的定義域（0，1）∪（1，+∞）內有2個零點.

（2）因為x0是f（x）的一個零點，所以f（x0）=ln?x0-?=0？圯ln?x0=?y=ln?x？圯y′=?，所以曲線y=ln?x在A（x0，ln?x0）處的切線l的斜率k=?，故曲線y=ln?x在A（x0，ln?x0）處的切線l的方程為：y-ln?x0=?（x-x0）而ln?x0=?，所以l的方程為y=?+?，它在縱軸的截距為?.

設曲線y=ex的切點為B（x1，e?），過切點為B（x1，e?）切線l′，y=ex？圯y′=ex，所以在B（x1，e?）處的切線l′的斜率為e?，因此切線l′的方程為y=e?x+e?（1-x1）.

當切線l′的斜率k1=e?等于直線l的斜率k=?時，即e?=?？圯x1=-ln?x0?.

切線l′在縱軸的截距為b1=e?（1-x1）=e-ln??（1+ln?x0）=?（1+ln?x0），而ln?x0?=?，所以b1=?（1+?）=?，直線l，l′的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線l，l′重合，故曲線y=ln?x在A（x0，ln?x0）處的切線也是曲線y=ex的切線.

點評：（1）對函數f（x）求導，結合定義域，判斷函數的單調性;（2）先求出曲線y=ln?x在A（x0，ln?x0）處的切線l，然后求出當曲線y=ex切線的斜率與l斜率相等時，證明曲線y=ex切線l′在縱軸上的截距與l在縱軸的截距相等即可.

二、有限與無限的思想在數列中的應用

例6.（2020年高考北京卷，第8題）在等差數列{an}中，a1=-9，a5=-1.?記Tn=a1a2…an（n=1，2，…），則數列{Tn}（???）

A.?有最大項，有最小項 B.?有最大項，無最小項

C.?無最大項，有最小項 D.?無最大項，無最小項

解析：由題意可知，等差數列的公差d=?=?=2，

則其通項公式為：an=a1+（n-1）d=-9+（n-1）×2=2n-11，

注意到a1

由?=ai>1（i≥7，i∈N）可知數列{Tn}不存在最小項.

由于a1=-9，a2?=-7，a3?=-5，a4?=-3，a5?=-1，a6?=1，故數列{Tn}中的正項只有有限項：T2?=63，T4?=63×15=945.?故數列{Tn}中存在最大項，且最大項為T4?.?故選B.

點評：考慮問題既要有限項的情況，也要考慮無限項的情況，便不易出錯.

例7.?無窮數列{an}由k個不同的數組成，Sn為{an}的前n項和.?若對任意n∈N?，Sn∈{2，3}，則k的最大值為________.

解析：當n=1時，a1=2或a1=3;當n≥2時，若Sn=2，則Sn-1=2，于是an=0;若Sn=3，則Sn-1=3，于是an=0.?從而存在k∈N?，當n≥k時，ak=0.?其中數列{an}：2，1，-1，0，0，0，…，或數列{an}：3，-1，1，0，0，0，…，滿足條件，所以kmax=4.

點評：本題主要考查考生的邏輯推理能力等.?從研究Sn與an的關系入手，推斷數列的構成特點，解題時應特別注意“數列{an}由k個不同的數組成”的不同和“k的最大值”.

例8.?已知數列{an}，an=?，前n項和為Sn，關于an及Sn的敘述正確的是（???）

A.?an與Sn?都有最大值????????B.?an與Sn?都沒有最大值

C.?an與Sn?都有最小值????????D.?an與Sn?都沒有最小值

解析：畫出an=?的圖像（如圖1），

點（n，an）為函數y=?圖像上的一群孤立點，（?，0）為對稱中心，S5最小，a5最小，a6最大.?答案C.

點評：y=?圖像是關于（?，0）對稱的曲線，本身沒有最值，但當自變量x的取值為正整數時，孤立點（n，an）仍在曲線y=?圖像上，此時無限的點中，就有了最高和最低了，即可判斷an?有最小值，an有最大值.

三、有限與無限思想在立體幾何中的應用

例9.（2019年高考浙江卷，第8題）設三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側棱長均相等，P是棱VA上的點（不含端點），記直線PB與直線AC所成角為?，直線PB與平面ABC所成角為？茁，二面角P-AC-B的平面角為？酌，則（???）

A.?？茁<？酌，?<？酌???B.?？茁<?，？茁<？酌???C.?？茁<?，？酌<????D.??<？茁，？酌<？茁

解法1：如圖2，設G為AC中點，V在底面ABC的投影為O，則P在底面投影D在線段AO上，過D作DE垂直AE，易得PE∥VG，過P?作PF∥AC交VG于F，過D作DH∥AC，交BG于H，則?=∠BPF，？茁=∠PBD，？酌=∠PED，則cos??=?=?=?<?=cos?？茁，即?>?？茁，tan？酌=?>?=tan?？茁，即？酌>？茁，綜上所述，答案為B.

解法2：（特殊位置）取V-ABC為正四面體，P為VA中點，易得cos??=?？圯sin??=?，sin?？茁=?，sin?？酌=?，故選B.

解法3：如圖2，讓P→A，此時直線PB與直線AC所成角為?=90°，直線PB與平面ABC所成角為？茁=∠VBG，為銳角，所以?>?？茁;又二面角P-AC-B的平面角為？酌=∠VGB，且VB>VG，因為同一三角形VBG中大邊對大角，所以？酌?>?？茁.

點評：常規解法下易出現的錯誤是不能正確作圖得出各種角，而能想到利用“特殊位置法”是一種簡便解法，本題中更快捷的方法是有限與無限的思想方法——避免了繁瑣的運算.

例10.?如圖3，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為?，則（???）

A.?A′DB≤

B.?A′DB≥

C.?A′CB≤

D.?A′CB≥

解析：這是一個動態問題，在變化中蘊含不變的東西.?當△ACD翻折180°時，若AC=BC，則A′DB=?=0，∠A′CB=?=0;當AC≠BC時，A′DB>0，∠A′CB>0.??=0.?此時，A和C錯.

當△ACD翻折0°時，?=180°，A′DB=180°，∠A′CB<180°.?此時，D錯.

只有B在兩種情況下均成立，所以選B.

點評：二面角的取值范圍是[0°，180°]，即問題包含翻折180°和無翻折的情形，利用這個特殊情形可快速求解.

四、有限與無限思想在平面向量中的應用

例11.?已知平面上的直線l的方向向量?=（-?，?），點（0，0）和A（1，-2）在l上的射影分別為O′和A′，若?=??則λ為（?????）

A.??B.?-?C.?2D.?-2

分析：直線l的斜率一定，但直線是變化的，又從選項來看，?必為定值.?可見直線l的變化不會影響?的值.?因此我們可取l為y=-?x來求解?的值.

解析：設l為y=-?x，A′（x，?y），則

（-?）=-1，y=-?x，得A′（?，-?）.

∴?=??，即（?，-?）=?（-?，?），?=-2.

例12.?已知G是△ABC的重心，PQ是過G的直線與AC，BC截得的線段，設?=?，?=?，若?=m??，?=n?，則?+?=_______.

解析1：本題的基本解法是利用向量共線.

如圖4，連CG并延長交AB于M，??則?=??=?（?+?）.

又?=?-?=?（?+?）-m??，?=?-?=n??-=?（?+?）.

∵?P，G，Q三點共線，∴?=??，可得?-m=-??，?=（n-?）?？圯3mn=m+n？圯?+?=3.

解析2：由于本題是填空題，所以可以讓PQ繞G轉動，使其到達臨界狀態，比如當P點轉動到點A時，Q應為BC中點，于是m=1，n=?，則?+?=3，非常快速解決了問題.

五、有限與無限思想在三角函數和解三角形中的應用

例13.?對任意?∈（0，?）都有（???）

A.?sin（sin?）cos?>cos（cos?）

C.?sin（cos?）

通解：當?∈（0，?），我們知道有結論：0cos?.

又當?∈（0，?）時，0

優解：?當??→0時，sin（sin?）?→0，cos??→1，cos（cos?）?→cos1，故排除A，B.

當θ→?時，cos（sin?）?→cos1，cos??→0，故排除C，因此選D.

點評：當?∈（0，?）時，sin?<

例14.?在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是_________________.

解析：因為四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，從而由∠B=∠C=75°，且BC=2，可以得到以BC為底邊的等腰三角形的形狀和大小已經確定，為此延長BA，CD可以交于E，這樣可以得到等腰三角形EBC（如圖5）.

因為∠A=75°，這樣四邊形ABCD的形狀已經的確定，要使四邊形ABCD存在，從圖中把A點看成直線BE上的動點，讓直線AD平移，只要能保證與直線BE，與線段CE有交點就可以，這樣就得到A點的兩個臨界位置為E和F.

容易得到：cos?75°=?，所以BE=?=?+?，cos?75°=?，

所以BF=4cos?75°=?-?，這樣就得到?-?

所以AB的取值范圍是（?-?，?+?）.

六、有限與無限思想在解析幾何中的應用

例15.?已知橢圓C：?+?=1（a>b>0）的離心率為?，且過點A（2，1）.

（1）求C的方程;

（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足.?證明：存在定點Q，使得DQ為定值.

本題的第1問不難，難的是第2問.?點M，N在C上，說明M，N有無限個點，同樣適合“AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足”的點D也有無限個，但這無限條直線MN中，經過一個有限的定點E（?，-?）（如圖6，7），這就為解決問題提供了綠色通道.?就是說直線MN恒過定點E（?，-?），得到AE的中點Q也是定點，利用平面幾何的性質（直角三角形斜邊的中線長等于斜邊長的一半），得DQ=?AE為定值，問題便解決了.?這里有限與無限的思想為我們架通了未知與已知的橋梁.

總之，有限與無限的思想方法既蘊含在教材中，也滲透在人類文化的寶庫中，是高考命題的重要方向之一，有限與無限的思想方法是數學必不可少的一種重要方法.?其實，有限與無限的思想更重要的是一種意識，是在蜂擁而至的信息面前，捕捉有用信息的那種意識.

責任編輯 徐國堅