數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

曾光

偉大數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”從這里我們可以看出，數(shù)形結(jié)合對于研究數(shù)學(xué)問題有著非常重要的作用.?新高考改革也強調(diào)要掌握好數(shù)形結(jié)合思想.?下面我們來看看其在高考中的應(yīng)用.

【類型一】數(shù)形結(jié)合在向量問題中的應(yīng)用

【例1】設(shè)?，?為單位向量，且?+?=1，則?-?=______.

【分析】向量是矢量，既有大小也有方向，非常適合用數(shù)形結(jié)合思想研究相關(guān)問題.?題中?，?為單位向量，其長度為1，但是不知道它們的夾角大小.?由?+?=1可知它們的和的模為1，通過圖形關(guān)系，可以求它們的差的模.

【解析】由圖1可知，?=?+?，?=?=1，?=?，因為三角形△OAM為直角三角形，AM=?，所以AB=?，即?-?=?.

【小結(jié)】數(shù)形結(jié)合思想能夠快速地解決向量的問題.

【類型二】數(shù)形結(jié)合在抽象函數(shù)問題中的應(yīng)用

【2020全國高考山東理數(shù)1卷】若定義在R的奇函數(shù)?f（x）

在?（-∞，?0）單調(diào)遞減，且f（2）=0，則滿足xf（x-1）≥0的x的取值范圍是（???）

A.?[-1，?1]∪[3，?+∞）?????????B.?[-3，?-1]∪[0，?1]

C.?[-1，?0]∪[1，?+∞）?????????D.?[-1，?0]∪[1，?3]

【分析】抽象函數(shù)問題由于沒給出解析式，邏輯推理的難度較大.?而運用數(shù)形結(jié)合方法則能起到化抽象為具體的作用.

【解析】因為f（2）=0，f（x）為奇函數(shù)，所以f（-2）=-f（2）=0，因此y=f（x）的函數(shù)圖像經(jīng)過點（-2，0）、（2，0），且f（x）在（-∞，?0）是減函數(shù)，由對稱性可得f（x）在x>0時的圖像也是遞減，從而可得出f（x）的草圖，如圖2.?把f（x）的圖像整體往右平移1個單位，可得到f（x-1）的圖像，如圖3.?xf（x-1）≥0即是x與f（x-1）同號，當(dāng)x>0時f（x-1）≥0，由圖像得出為[1，?3].?當(dāng)x<0時，f（x-1）≤0，由圖像得出為[-1，?0].?因此選D.

【小結(jié)】數(shù)形結(jié)合思想能夠直觀地解決抽象函數(shù)的問題.

【類型三】數(shù)形結(jié)合在幾何問題中的應(yīng)用

【2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）】?設(shè)直線l∶?y=kx+b（k>0）與圓x2+y2=1和圓（x-4）2+y2=1均相切，則k=_______;b=_______.

【分析】由直線與兩圓相切及位置關(guān)系得到，如圖4，兩個圓心到直線的距離均為1，可建立關(guān)于k，b的方程組.

【解析】設(shè)C1?∶??x2+y2=1，C2?∶?（x-4）2+y2=1，由題意，C1，?C2到直線距離等于半徑，由點到直線的距離公式得?=1…①，?=1…②，由?①②得b=4k+b，

所以k=0（舍）或者?b=-2k，代入①解得?k=?，b?=

-?.?故答案為?，-?.

【小結(jié)】對于解析幾何問題要充分挖掘幾何特征.

【類型四】數(shù)形結(jié)合在分段函數(shù)中的應(yīng)用

【2018·全國高考卷（文）】設(shè)函數(shù)f（x）=2-x，?x≤01，?x>0則滿足f（x+1）

A.?（-∞，-1] B.?（0，+∞） C.?（-1，0） D.?（-∞，0）

【分析】首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫出來，如圖5.?從圖中可以發(fā)現(xiàn)若有f（x+1）

【解析】將函數(shù)f（x）的圖像畫出來，觀察圖像可知會有2x<0，2x

【小結(jié)】本題用數(shù)形結(jié)合方法比代數(shù)法的運算量少很多.對于分段函數(shù)問題，優(yōu)先考慮用數(shù)形結(jié)合方法研究.

【類型五】數(shù)形結(jié)合在零點問題中的應(yīng)用

【2018·全國高考卷（理）】已知函數(shù)f（x）=ex，?x≤0ln?x，?x>0g（x）=f（x）+x+a.?若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是（???）

A.?[-1，?0）

B.?[0，?+∞）

C.?[-1，?+∞）

D.?[1，?+∞）

【分析】首先根據(jù)?g（x）存在2個零點，得到方程f（x）+x+a?=0有兩個解，將其轉(zhuǎn)化為f（x）=-x-?a有兩個解，即直線y=-x-a與曲線y=f（x）有兩個交點，作出函數(shù)f（x）與y=-x的圖像如圖6，將直線上下移動，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)-a≤1時，滿足y=-x-a與曲線y=f（x）有兩個交點，從而求得結(jié)果.

【解析】作出函數(shù)f（x）與y=-x的圖像，將直線y=-x上下移動，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過點M時，直線與函數(shù)圖像有兩個交點，并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個交點.?而向上移動則只有一個交點.?因此方程f（x）=-x-a有兩個解，也就是函數(shù)g（x）有兩個零點，此時滿足-a≤1，即a≥-1，故選C.

【2021惠州調(diào)研考試】若函數(shù)f（x）=ex（x2-2x+1-a）-x恒有2個零點，則a的取值范圍是（???）

A.?（-?，+∞）??B.?（-∞，1）???C.?（0，?）??D.?（-∞，-?）

【分析】首先根據(jù)f（x）存在2個零點，得到方程f（x）=0有兩個解，將其轉(zhuǎn)化為x2-2x+1-a=?有兩個解，即拋物線y=x2-2x+1-a與曲線y=?有兩個交點，作出以上兩個函數(shù)的圖像如圖7，將拋物線上下移動，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)拋物線頂點與y=?有兩個交點時即滿足題意，從而求得結(jié)果.

【解析】作出函數(shù)y=x2-2x+1-a與y=?的圖像，由圖像可得y=x2-2x+1-a的最小值為-a，只要滿足-a<?就會有兩個交點.?解得a>-?，故選A.

【小結(jié)】本題作y=?的圖像時可用求導(dǎo)的方法輔助.

【總結(jié)】以上是數(shù)形結(jié)合思想在五個方面的應(yīng)用，請同學(xué)們好好領(lǐng)會，要做到舉一反三，觸類旁通！

責(zé)任編輯 徐國堅