透過中考，談初中生數學運算能力的培養

馮淦林

【摘要】新的課程標準中，給出了數學學科核心素養的六個主要方面，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想象和數據分析，并從概念的界定及其在數學與生活中的作用和意義方面進行了描述。其中，數學運算能力包括數、代數式、算法等運算的能力。

【關鍵詞】中考;數學運算能力

2020年的廣東數學中考，對計算能力的要求較高，特別是根式的計算。往年的根式計算主要體現在化簡求值中，但2020年則體現在方程的求解及函數中的計算。

例第21題 已知關于x、y的方程組與的解相同。

（1）求a、b的值;

（2）若一個三角形的一條邊的長為2，另外兩條邊的長是關于x的方程x2+ax+b=0的解，試判斷該三角形的形狀，并說明理由。

這道題不僅考察方程組，還考察了一元二次方程，一般先解每個方程組，再由解相同，得出解，而方程組中含有根式，顯然直接解每個方程組，計算量很大，但能抓住解相同，即對于x的值，即滿足方程組（1），又滿足方程組（2），對y也是一樣，聯立得到新的方程組，

解得，再代回方程組得：3a+2=-10，3+b=15，從而解得a=-4，b=12，∴x2-4+12=0，出現了根式系數的一元二次方程。一般用公式法，也可以用配方法求解。從解題過程可以看出，如果根式的計算不過關，這題很難完整解答，如果對方程解的理解不透徹，只會增加計算量，容易出錯，而且影響后面的答題。

又例如，第25題（如題25圖） 拋物線bx+c與x軸交于點A、B，點A、B分別位于原點的左、右兩側，BO=3AO=3，過點B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點分別為C、D，BC=CD。

題25圖

（1）求b、c的值;

（2）求直線BD的直線解析式;

（3）點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，點Q在射線BA上。當△ABD與△BPQ相似時，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標。

往年出現拋物線的題，拋物線的系數都是有理數的，而2020年就出現了無理系數。這給學生的計算設定了一定的難度。先由BO=3AO=3得：A（-1，0），B（3，0）代入得：，②-①得： ∴。這里的計算要把看成一個整體，若在②中先計算，再與①中的通分，顯然增大了計算量。接著把代入①得：，把看成一個整體，求得c=-。求得的b、c都是一個無理數，顯然對求解BD的解析式及Q的坐標，是一個新的挑戰。從解題過程中可以看出，學生除了要有扎實的計算基本功，還要有計算的技巧，才能事半功倍，提高解題的正確性及速度。

綜上兩題，2020年的中考，是沒有考綱的第一年，而且對學生的運算能力的要求也比較高，而對平時有關運算的教學，更值得我們深思。比如，有理數及其運算是整個初中數與代數的基礎，有關式的所有運算都是建立在數的運算基礎上?！缎抡n程標準》要求學生理解有理數運算法則和運算律，并能用這些法則和運算律簡化運算。有理數的運算不同于算術數的運算：這是因為有理數的運算每一步要確定符號，有理數的運算很多是字母運算，也就是常說的符號演算。

運算能力是運算技能與推理能力的結合，這就要求我們既能正確地算出結果，又善于觀察問題的結構特點，選擇合理的運算路徑，提高運算的速度。所以在教學中要做到：

一、重視現實背景中對運算意義的理解以及運算的應用

有理數是初中計算的基礎，又是與小學計算的銜接，要重視學生計算方法的培養。比如，小學沒有負數，只是非負數的四則運算，而分數的運算是一個難點，所以在剛進初一時，要加強學生的分數運算能力的訓練。而學習了負數后，運算能力的要求也就高了，如果只是把運算法則直接告訴學生，掌握的效果不明顯，可以用他們最熟悉的加扣分作為問題情境，設計以下問題：

在我們學習小組評價中，加分與扣分是相反意義的量。若我們規定加分為“正”，扣分為“負”，比如，加3分記為+3，扣2分記為-2。在一天中，某班的A到H組有以下情況：

（1） E組上午加了3分，下午不加不扣，那么全天共 加了3? 分，可列式為? （+3）+0=+3

（2）F組上午扣了2分，下午不加不扣，那么全天共 扣了2? 分，可列式為? （-2）+0=（-2）

（3）A組上午加了3分，下午加了2分，那么全天共? ? ? ? 分?？闪惺綖?/p>

（4） B組上午扣了2分，下午扣了1分，那么全天共? ? ? ? 分?？闪惺綖?/p>

（5）C組上午加了3分，下午扣了2分，那么全天共? ? ? ? 分，可列式為

（6）D組上午扣了3分，下午加了1分，那么全天共? ? ? ? 分，可列式為

（7） G組上午加了3分，下午扣了3分，那么全天共? ? ? ? 分，可列式為

思考：觀察以上算式，發現兩個有理數相加，和的符號怎樣確定？和的絕對值怎樣確定？一個有理數同零相加，和是多少？互為相反數的兩數相加呢？

總結有理數加法法則：

通過加扣分這個實際問題引入新的數及其運算，既體現數學來源于生活，也用于生活，大大提高學生的學習興趣，也讓學生真正理解有理數的加法運算，并掌握算理和計算法則，引導學生循“理”入“法”，以“理”得“法”，并通過練習，促成運算能力的形成。

二、要對計算方法進行優化，這點在解題中更能體現它的優勢

例如：利用有理數加法交換律和結合律簡化運算的一些小技巧有以下幾點：

（一）湊整（注意小數與分數之間的互化，互為相反數的結合）