“鉛垂高”的最值在二次函數中的應用

萬旭光

《中小學數學》多期刊文對“鉛垂高”的定義、應用進行了探討，本文沿用他們的定義，將夾在拋物線和直線之間與x軸垂直的線段稱為“鉛垂高”，并就其存在最大值或最小值的性質及其應用作一個粗淺的探究.

一、“鉛垂高”的最大值、最小值的探究

例1：如圖1，已知二次函數y=-x2+2x+3與y=-x+3直線交于B、C兩點，P為直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PH⊥x軸，垂足為H，垂線PH交拋物線于點D，求PD的最大值。

解：設P（x，y），其中0

∴x=時，PD的最大值為

例2：如圖2，已知二次函數y=-x2+2x+3圖象與直線y=x+4無交點，P為拋物線上任意一點，過點P作PH⊥x軸，垂足為H，垂線PH交直線y=x+4于點D，求PD的最小值。

解：設P（x，y）

∴x=時，PD的最小值為

小結：從以上兩個例子可以發現，線段PD夾在拋物線與直線之間，當P點在拋物線上運動時，PD的長度是以P點橫坐標x為自變量的二次函數，這樣PD長度的最值問題就轉化成了二次函數的最值問題，進一步研究發現無論拋物線開口方向如何，當直線與拋物線無交點時，夾在直線與拋物線之間的“鉛垂高”，存在最小值;當直線與拋物線有交點時，夾在直線與拋物線之間的“鉛垂高”，在兩交點橫坐標之間的區間上存在最大值.

二、“鉛垂高”最值的應用

1.利用“鉛垂高”最大值，求三角形面積的最大值

例3：（2008·深圳） 如圖3，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+c（a>0）與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），OB=OC ，tan∠ACO=.

（1）求二次函數的表達式;

（2）若點D（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AD下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APD的面積最大？求出此時P點的坐標和△APD的最大面積.

分析：（1）先求A、B、C三點坐標，代入即可求得二次函數表達式;（2）如圖4，作PH⊥軸，垂足為H，交AD于點E，作DG⊥PE，垂足為G，因為S△APD=S△APE+

S△DPE=PE×（AH+GD）=PE×

=PE×3=PE，而“鉛垂高”PE有最大值，所以S△APD有最大值。

解：（1）y=x2-2x-3（過程略）

（2）設P點橫坐標為x，如圖4，作PH⊥x軸，垂足為H，交AD于點E，作DG⊥PE，垂足為G，

∵xD=2，∴yD=-3

∴? D（2，-3），而A（-1，0）

∴直線AD為：y=-x-1

∴x=時，PE的最大值為 ，此時，P（，）

∵S△APD=S△APE+S△DPE=PE×（AH+

GD）=PE×=PE×3=PE

而PE最大值為，∴S△APD的最大值為.

變式：（2016·淮安）如圖5，在平面直角坐標系中，二次函數y=-x2+bx+c的圖象與坐標軸交于A、B、C三點，其中點A的坐標為（0，8），點B的坐標為（﹣4，0）.

（1）求該二次函數的表達式;

（2）點D的坐標為（0，4），點F為該二次函數在第一象限內圖象上的動點，連接CD、CF，以CD、CF為鄰邊作平行四邊形CDEF，設平行四邊形CDEF的面積為S，求S的最大值.

分析：（1）略;（2）如圖6連接DF ，因為平行四邊形CDEF的面積S等于△FDC面積的2倍，所以求S最大值就轉化為求△FDC面積的最大值，而△FDC面積可以用“鉛垂高”法來求.答案請讀者自行完成。

2.利用“鉛垂高”，求點到直線距離的最大值

例4：如圖7，平面直角坐標系中，直線y=x+1與拋物線y=-x2+bx+c交于A，B兩點，點A在y軸上，點B的橫坐標為，點P是直線AB上方的拋物線上的一動點（不與點A，B重合），作PC⊥AB于點C.

（1）求拋物線的解析式;

（2）求PC長的最大值;

分析：（1）略;（2）如圖8作PH⊥x軸，垂足為H，交AB于點D，因為PC=PDcos∠DPC，而∠DPC=∠AEO，cos∠AEO是定值，所以只要求出“鉛垂高”PD的最大值，就可以得到距離PC的最大值。

解：（1）y=-x2+4x+1（過程略）

（2）如圖作PH⊥x軸，垂足為H，交AB于點D，

設P點橫坐標為x，則PD=（-x2+4x+1）-

（x+1）=-（x-）2+.

∴x=時，PD的最大值為，

在Rt△AEO中，cos∠AEO=，而∠DPC=∠AEO，∴cos∠DPC=.

在Rt△PCD中，PC=PDcos∠DPC=

PD.

∴當PD取最大值時，PC的最大值為.

變式：如圖9，y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C，且OC=3OA，點P是拋物線上的一個動點，過點P作PH⊥x軸于點H，交BC于點D.

（1）求拋物線的解析式;

（2）當動點P只在第一象限的拋物線上運動時，過點P作PF⊥BC于點F，求△PFD周長的最大值.

分析：（1）略;（2）如圖9由PH⊥x軸，PF⊥BC，可證△PDF∽△BCO，由△BCO三邊之比，可得△PDF三邊之比，所以只要求出“鉛垂高”PD的最大值，就可以得△PFD周長的最大值.答案請讀者自行完成。

3.利用“鉛垂高”，求點到直線距離的最小值