一類線段最小值問(wèn)題的解法探討

馬永慶

【摘要】本文從一道西藏中考題入手，分析其題目特點(diǎn)、解題規(guī)律，并歸納出一類線段最小值問(wèn)題的解題思路，滲透了尋找運(yùn)動(dòng)軌跡的解題策略并加以訓(xùn)練，使學(xué)生通過(guò)某種圖形結(jié)構(gòu)聯(lián)想到動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓或者圓的一部分，動(dòng)點(diǎn)必須是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)時(shí)的動(dòng)點(diǎn).線段最小值有三個(gè)基本事實(shí)，一是“垂線段最短”，二是“三角形兩邊之和大于第三邊”，或者說(shuō)“兩點(diǎn)之間線段最短”，三是“圓外一點(diǎn)到圓上各點(diǎn)中，這個(gè)點(diǎn)與圓心連線與圓的交點(diǎn)和圓外這個(gè)點(diǎn)距離最小”.

【關(guān)鍵詞】線段最小值;運(yùn)動(dòng)軌跡;隱形圓

2020年西藏中考數(shù)學(xué)試題的第18小題是一道動(dòng)態(tài)幾何題，由三角形的折疊過(guò)程提供點(diǎn)的位置變化，由點(diǎn)P的位置變化導(dǎo)致點(diǎn)F的位置改變以及CP長(zhǎng)度的變化，而在這個(gè)變化過(guò)程中蘊(yùn)含著點(diǎn)F位置變化的規(guī)律：點(diǎn)F永遠(yuǎn)在一個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)，從而將變與不變有機(jī)統(tǒng)一起來(lái).動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程增加了問(wèn)題的難度，許多基礎(chǔ)較差的學(xué)生望而卻步，因此這一道綜合能力檢測(cè)題就具有了較高的區(qū)分度.此題呈現(xiàn)在西藏自治區(qū)試卷中，標(biāo)志著西藏中考命題水平的提高，反映出初中數(shù)學(xué)命題對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性思維品質(zhì)的要求.

這道試題把折疊、線段最短、動(dòng)點(diǎn)等三條信息有機(jī)地融合在一起，以折疊為外衣，動(dòng)點(diǎn)為本質(zhì)，尋找到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡就能將線段最短問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離.要想解決此題，必須要從讀題中獲得數(shù)量關(guān)系：EA=EB=EF，也就是找到點(diǎn)F在以AB為直徑、以E為圓心的定圓上運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，這是解題的關(guān)鍵.分析題目條件、發(fā)現(xiàn)和探索F點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的過(guò)程是有創(chuàng)造價(jià)值的思維過(guò)程，其綜合性、創(chuàng)新水平也屬于比較高的，考查學(xué)生較強(qiáng)的探究能力和思維基礎(chǔ).在找到思路的瞬間，稍加計(jì)算，無(wú)須太多的推理，就能輕松得分.

圖12020年西藏第18題：如圖1，在矩形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為BC邊上的任意一點(diǎn)，把△PBE沿PE折疊，得到△PFE，連接CF.若AB=10，BC=12，則CF的最小值為.

解析：∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴EA=EB.

∵把△PBE沿PE折疊得到△PFE，∴EF=EB，

∴EA=EB=EF，

∴點(diǎn)F在以AB為直徑的圓上，圓心為E（如圖2）.

如圖3，連接CE交⊙E于點(diǎn)F1，CF1的長(zhǎng)度即為CF長(zhǎng)度的最小值.

∵EA=EB，AB=10，∴EB=5.又∵BC=12，且∠EBC=90°，

∴CE=EB2+BC2=52+122=13，

∴CF1=CE-EF1=13-5=8，∴CF的最小值是8.

從最值類型上看，這道西藏中考題屬于“圓外一點(diǎn)到圓上各點(diǎn)距離”的最小值問(wèn)題，其實(shí)它也是“兩點(diǎn)之間線段最短”的具體運(yùn)用.為了讓大家能夠歸納出這類題型的特點(diǎn)，下面再欣賞幾道中考題.

2020年四川綿陽(yáng)中考數(shù)學(xué)試題第17題：如圖4，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4，點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足∠AMD=90°，則點(diǎn)M到直線BC的距離的最小值為.

解析：如圖5，延長(zhǎng)AD，BC相交于點(diǎn)P，作MH⊥PB 于H.

∵AB∥CD，∴PDAD=PCBC，∠ABC=∠DCP=60°.

∵AD=BC=CD=4，∴PD=PC，

∴△PDC為等邊三角形，

∴PD=PC=CD=4，∠P=60°.

由∠AMD=90°，可知點(diǎn)M在以AD為直徑、點(diǎn)E為圓心的⊙E上，且是四邊形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

根據(jù)垂線段最短可知E，M，H三點(diǎn)共線時(shí)MH最小.

在Rt△PEH中，EP=6，∠P=60°，∴EH=6×sin 60°=33，

∴MH的最小值=EH-EM=33-2.

如果我們從最值類型分析，那么這道題屬于“垂線段最短”這一性質(zhì)的運(yùn)用，這是它與西藏中考題的不同.還有一個(gè)不同點(diǎn)就是：它是用“90度的圓周角所對(duì)的弦為直徑”這一命題來(lái)設(shè)計(jì)題目條件.“點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足∠AMD=90°”讓我們很容易想到點(diǎn)M在以AD為直徑的圓上，而把它放到特殊的梯形中是另一種巧妙設(shè)計(jì).與西藏中考題相比，它沒(méi)有使用折疊來(lái)出示動(dòng)點(diǎn)，它的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡更容易想到.至此，我們已掌握了此類線段最小值問(wèn)題的特點(diǎn)與解題方法，它們的共同特點(diǎn)就是動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都是一個(gè)圓，它們共同的解題思路也是找到這個(gè)圓.

2020年廣西河池市中考數(shù)學(xué)試題第18題：如圖6，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=8，點(diǎn)D在AB上，且BD=3，點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)，將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，則點(diǎn)B′到AC的最短距離是：.

解析1：由折疊性質(zhì)知，BD=B′D，無(wú)論E點(diǎn)位置如何變化，點(diǎn)B′到點(diǎn)D的距離是不變的，永遠(yuǎn)等于BD的長(zhǎng)3，以D為圓心，以BD長(zhǎng)為半徑畫(huà)半圓，點(diǎn)B′的軌跡是這個(gè)半圓的一部分.

如圖7所示，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，則B1H的長(zhǎng)度就是點(diǎn)B′到AC的最短距離.

∵∠A=30°，∠B=90°，AC=8，

∴AB=AC·cos 30°=8×cos 30°=43.

∵BD=3，∴AD=33，

∴DH=AD·sin 30°=33×sin 30°=332.

又∵B1D=3，∴B1H=DH-B1D=332-3=32，

∴點(diǎn)B′到AC的最短距離是32.

解析2：如圖8，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B′作B′J⊥AC于點(diǎn)J.

在Rt△ACB中，∵∠ABC=90°，AC=8，∠A=30°，∴AB=AC·cos 30°=43.

∵BD=3，∴AD=AB-BD=33.

∵∠AHD=90°，∴DH=1[]2AD=33[]2.