數(shù)列中的最值問題

張 慶

(江蘇省徐州市侯集高級中學(xué) 221000)

在解決數(shù)列中，我們經(jīng)常會碰到數(shù)列的通項、求和、項數(shù)、應(yīng)用等的最大值與最小值問題．通過題目中給出的相關(guān)信息，結(jié)合相關(guān)的數(shù)列定義、性質(zhì)以及相關(guān)公式，來解決相應(yīng)的最大值或最小值問題，是函數(shù)性質(zhì)的一種特殊表現(xiàn)．下面結(jié)合幾類常見的數(shù)列中的最值問題加以實例剖析．

一、通項an的最值問題

圖1

分析根據(jù)數(shù)列的通項結(jié)合對數(shù)運算加以變形，根據(jù)相應(yīng)的函數(shù)的圖象來確定通項中的最大值與最小值問題．

易知：c20c22>…>1，則最高點為(21，c21)，最低點(20，c20)，即最大項為c21，c21=2.25，最小項為c20，c20=-4．

點評：本題通過通項公式的轉(zhuǎn)化與變形，利用構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以數(shù)形結(jié)合，考查對數(shù)運算、數(shù)列的通項與函數(shù)的圖象問題．?dāng)?shù)列是一類特殊的函數(shù)，其對應(yīng)的通項的最值問題相當(dāng)于對應(yīng)的函數(shù)中的自變量的最值問題，經(jīng)常把數(shù)列問題函數(shù)化來處理．

二、和式Sn的最值問題

例2 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1>0，S12>0，S13<0，指出S1，S2，…，S12中哪一個值最大，并說明理由？

圖2

分析通過等差數(shù)列的前n項和為Sn的關(guān)系式與對應(yīng)的二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，結(jié)合參數(shù)n的取值的限制條件來確定Sn的最值問題．

∵S12>0，S13<0，∴a13=S13-S12<0，∵a1>0，a13<0，∴d<0，

∵S12>0，S13<0，∴12<2n0<13，∴6

易知n=6對應(yīng)的A點(6，S6)與對稱軸的距離比n=7對應(yīng)的B點(7，S7)與對稱軸的距離更小，∴A點為最高點，S6最大．

點評：本題結(jié)合等差數(shù)列的前n項和公式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想以及運算能力等．通過把求和公式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二次函數(shù)的解析式問題，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定Sn的最值問題．

三、項數(shù)n的最值問題

例3設(shè)數(shù)列{an}(n=1，2，3，…)的前n項和Sn=2an-a1，且a1，a2+1，a3成等差數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

分析(1)利用數(shù)列的前n項和Sn與an間的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義來確定數(shù)列的類型，并結(jié)合條件建立關(guān)系式求解a1的值，進(jìn)而求解相應(yīng)的通項公式；(2)通過等比數(shù)列求和，結(jié)合絕對值不等式的求解來確定參數(shù)的最值問題．

解析(1)由已知Sn=2an-a1，有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n>1)，即an=2an-1(n>1)，從而a2=2a1，a3=2a2=4a1，又因為a1，a2+1，a3成等差數(shù)列，即a1+a3=2(a2+1)，所以a1+4a1=2(2a1+1)，解得a1=2，所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故an=2n；

點評本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項公式與前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力等．解決本題的關(guān)鍵是通過轉(zhuǎn)化與化歸思維，把求和型的數(shù)列最值問題轉(zhuǎn)化為不等式的求解問題，結(jié)合項數(shù)n的取值情況加以相應(yīng)的最值問題．

四、應(yīng)用中的最值問題

例4某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于．

分析根據(jù)實際應(yīng)用問題確定對應(yīng)的數(shù)列為等比數(shù)列，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，通過建立相應(yīng)的不等式來分析與求解最值問題．

點評利用數(shù)列知識來解決實際應(yīng)用問題中的最值時，要注意結(jié)合特殊數(shù)列的定義、通項、性質(zhì)、求和公式等加以轉(zhuǎn)化，特別對于求解相關(guān)的參數(shù)問題，一定要結(jié)合實際應(yīng)用問題，確定在正整數(shù)范圍的n的取值情況．

五、創(chuàng)新中的最值問題

例5 若一個數(shù)列的第m項等于這個數(shù)列的前m項的乘積Tm，則稱該數(shù)列為“m積數(shù)列”．若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}是一個“2020積數(shù)列”，且a1>1，則該數(shù)列中Tn取得最大值時n的值為____．

分析用創(chuàng)新定義建立數(shù)列的關(guān)系式，進(jìn)而求得a1010=1，利用a1>1，得到公比01且0

解析由題中的創(chuàng)新定義可知a1a2a3·…·a2020=a2020，故a1a2a3·…·a2019=1，由于{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列且a1>1，所以a10102019=1，即a1010=1，而a1>1，則有a1010=a1q1009=1，可知公比01且0

點評本題在創(chuàng)新定義下建立等比數(shù)列關(guān)系式，通過等比數(shù)列的通項與性質(zhì)來分析與求解，關(guān)鍵是理解創(chuàng)新定義與對應(yīng)關(guān)系式的建立，進(jìn)而結(jié)合等比數(shù)列的對應(yīng)性質(zhì)加以分析與應(yīng)用．

抓住數(shù)列的定義、通項、求和以及性質(zhì)等，合理應(yīng)用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，解決一些涉及數(shù)列的最值問題，有效融合數(shù)列與函數(shù)之間的交匯，很好考查數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力，提升數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．