恒成立問題的解題思路與常見解法

陳海東

(江蘇省啟東中學 226200)

一、借助一元二次函數的判別式解決恒成立問題

借助一元二次函數的判別式來解決恒成立問題的主要方式是，對于函數f(x)=ax2+bx+c，其中(x∈R)，若f(x)>0恒成立，那么此函數中一定有兩個式子成立：a>0；Δ<0；若f(x)<0恒成立，那么：a<0；Δ<0.當然，不同的題目有不同的要求，同學們要靈活處理.

例1若有方程y=(m-1)x2+(m-1)x+2，在x∈R上y>0恒成立，求m的取值范圍.

解∵ 當x∈R上y=(m-1)x2+(m-1)x+2>0恒成立

∴根據函數的判別式可得：

聯立上式可解得：1

∴m的取值范圍為：[1,9)

二、借助一次函數的性質解決恒成立問題

借助函數的性質來解決恒成立問題，主要指的是對于函數f(x)而言，如果函數f(x)>0恒成立，那么在x的區間范圍內，當x為任意一個數值時，f(x)的值均大于零.例如：一次函數f(x)=kx+b，其中x∈[m,n]，若f(x)>0，那么f(m)>0，且f(n)>0.

例2已知|P|<2，且P∈R，若要使不等式(log2x)2+(P-2)log2x+1-P>0恒成立，求x的取值范圍.

分析仔細觀察這道題目，我們可以發現如果先解對數函數的不等式，得到P的取值范圍之后，再去求x的取值范圍，那么解題過程就會十分的繁瑣.因此，我們可以首先將對數不等式轉化為關于P的一次不等式，然后在P∈[-2,2]的取值范圍內，靈活使用關于P的一次函數的性質，得到兩個關于x的不等式，然后求出x的取值范圍.

解∵|P|<2，且P∈R

∴-2≤P≤2，即P∈[-2,2]

設f(P)=(log2x)2+(P-2)log2x+1-P

∵不等式(log2x)2+(P-2)log2x+1-P>0恒成立

三、借助函數的最值解決恒成立問題

在恒成立問題中利用函數的最值，其含義是在定義域內的兩個函數f(x)和g(x)，如果f(x)≥g(x)恒成立，那么一定有f(x)min≥g(x)max，反之亦然.同樣，如果a≥f(x)恒成立，那么一定有a≥f(x)max.我們在遇到恒成立問題的時候，可以靈活地運用函數的最值幫助我們求解.

解若：當x∈(-∞,1)時，f(x)恒有意義

那么：當x∈(-∞,1)時，1+2x+4x·a>0恒成立

∴當x∈(-∞,1)時，g(x)為增函數

除了以上提到的幾點，還有其他關于恒成立問題的解法，如特值代入法等.雖然恒成立問題理解起來不是十分容易，但我們可以針對題目，具體問題具體分析，尋找合適的解法，因此，希望同學們及時的歸納總結，并熟練的掌握這些思路和方法.