三角形內切圓的方程的求解策略

武增明

(云南省玉溪第一中學 653100)

例題(2010年高考全國卷Ⅰ理科數學第21題文科數學第22題)已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點K(-1，0)的直線l與C相交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點為D.

(1)證明：點F在直線BD上；

解(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，-y1)，l的方程為x=my-1(m≠0).

將x=my-1代入y2=4x并整理，得y2-4my+4=0，從而y1+y2=4m，y1y2=4.①

所以點F(1，0)在直線BD上.

(2)方法1(定義法)：由①知，x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2，x1x2=(my1-1)(my2-1)=1.

所以l的方程為3x+4y+3=0或3x-4y+3=0.

又∠BKD的角平分線所在直線的方程為y=0， ③

評注在這里，方法1和方法2定義法是指三角形內角平分線的定義和三角形內切圓的定義.由三角形內角平分線的定義知，三角形內角平分線上任意一點到這個角的兩邊的距離相等.由三角形內切圓的定義知，三角形中兩個內角的角平分線的交點是這個三角形內切圓的圓心，內切圓的圓心到三角形的一條邊的距離是這個內切圓的半徑.

方法3(等面積法)：不妨取直線l的方程為3x-4y+3=0，不妨設點A在點B的下方.

設△BDK的內切圓的半徑為r，則

我們知道，若已知一個三角形的三邊的長，都可以用再解1求出其面積，在這里是運用余弦定理求cos∠BKD時增加了運算量.

由此解法，我們可以看出，若知道三角形一邊所在的直線方程和這邊所對的頂點坐標，用再解2來求三角形的面積時運算量會減少很多.

=0.

本文給出求解三角形內切圓方程的四種方法，何時用哪種方法求解速度快？沒有規律可循，可以說很靈活，但是只要同學們認真領悟并掌握這五種方法，解決三角形內切圓方程的問題就沒有問題了.