再談“兩邊夾 夾出美麗的答案來”

甘超一

(華南農業大學資源環境學院2019級環境科學2班 510642))

可以證明冰、水混合物(假設它們之間已經沒有熱傳遞，即兩者溫度已經達到一致)的溫度是0℃：因為冰、水混合物的溫度≤冰的溫度≤0℃；冰、水混合物的溫度≥水的溫度≥0℃，即

0℃≤冰、水混合物的溫度≤0℃

①

所以冰、水混合物的溫度=0℃

②

這就是文[1]介紹的一種解題方法——“兩邊夾(即式①)，夾出美麗的答案(即式②)來”.本文再用例題介紹這種巧妙的解題方法.

一、函數問題

題1 (2016年福建省高一數學競賽試題第6題)f(x)是定義在R上的函數，若f(0)=1，且對于任意的x∈R，滿足f(x+2)-f(x)≤2,f(x+6)-f(x)≥6，則f(2016)=( ).

A.2013 B.2015 C.2017 D.2019

解C.可得6≤f(x+6)-f(x)=[f(x+6)-f(x+4)]+[f(x+4)-f(x+2)]+[f(x+2)-f(x)]≤2+2+2=6,所以f(x+2)-f(x)=2,f(x+2)=f(x)+2.

再用數學歸納法可證得f(x+2k)=f(x)+2k(k∈N)，所以f(2016)=f(0+2016)=f(0)+2016=2017.

題2若函數cf(x)=x2+bx+c(b,c是常數)同時滿足：f(1)=0；?x∈[1,3],f(x)≤0；f(x)在(2,+∞)上是單調遞增函數，則f(x)的解析式是____.

解f(x)=x2-4x+3.由f(1)=0，可得b=-c-1.

再由f(3)=9+3b+c=6-2c≤0，可得c≥3.

還可檢驗：當f(x)=x2-4x+3時，?x∈[1,3],f(x)≤0，所以所求答案是f(x)=x2-4x+3.

(2)已知函數f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b(a,b,c均為常數).若當|x|≤1時，|f(x)|≤1恒成立且g(x)的最大值為2，則函數f(x)的解析式是____；

(2)f(x)=2x2-1.可得g(x)=ax+b(a>0)在x∈[-1,1]時是增函數，所以g(x)max=g(1)=a+b=2.

還可得|f(1)|=|a+b+c|=|2+c|≤1,2+c≤1,c≤-1及|f(0)|=|c|≤1,c≥-1，所以c=-1.

再由a+b=2，可得a=2，所以函數f(x)的解析式是f(x)=2x2-1.

解法1 9.可得題設即?x∈[1,5],-x2-2≤px+q≤-x2+2.如圖1所示，可得線段y=px+q(1≤x≤5)夾在另兩條曲線段y=-x2-2(1≤x≤5),y=-x2+2(1≤x≤5)之間.

圖1

可得曲線段y=-x2+2(1≤x≤5)的兩個端點分別為A(1,1),B(5,-23)，還可證得線段AB:y=-6x+7(1≤x≤5)與曲線段y=-x2-2(1≤x≤5)切于點C(3,-11)，再由數形結合思想可得p,q的值分別是-6,7.

但還需要作嚴格證明：

也可這樣證明：

分別令x=1,3,5，可得p+q≤1,3p+q≥-11,5p+q≤-23，所以

-23≥5p+q=2(3p+q)-(p+q)

≥2·(-11)-1=-23

解法2 9.令x=1,3，分別得

-2≤1+p+q≤2

③

-2≤9+3p+q≤2

④

④-③，④-③×3，分別得

-6≤p≤-2,-1≤q≤7

解法3 9.分別令x=1,3,5，可得

p+q≤1

⑤

-3p-q≤11

⑥

5p+q≤-23

⑦

⑤+⑥×2+⑦，得0≤0，所以⑤⑥⑦均是等式，進而可求得p=-6,q=7.

同解法2，還可驗證p=-6,q=7滿足題設，所以滿足題設的p,q的值分別是-6,7.

但還需要作嚴格證明：

也可這樣證明：

注同題4或題5的解法還可證得下面的結論：

由題4或題5的解法還可解答這道小題：

A．實數a有唯一取值 B．實數a的取值不唯一

C．實數b有唯一取值 D．實數b的取值不唯一

因而選項A,C均正確，B,D均錯誤.

二、方程問題

題6 若自然數a,b,c滿足29a+30b+31c=336，則a+b+c=____.

解11.由題設，可得

29(a+b+c)≤336≤31(a+b+c)

a+b+c=11

(2)若實數x,y滿足x+y+4=ex+ey+2，則x+y=____.

用導數可證得不等式1+lnt≤t(當且僅當t=1時取等號)，所以

(2)-2.由題設及均值不等式，可得

用導數知識，可證得

(2)-2.可得題設即x-ex+4=ey+2-y.

用導數知識，可證得

x-ex+4≤3(當且僅當x=0時取等號)

ey+2-y≥3(當且僅當y=-2時取等號)

所以題設即x=0,y=-2，因而x+y=-2.

用導數知識，可證得

t-lnt-1≥0(當且僅當t=1時取等號)

所以

(2)-2.可得題設即(ex-x-1)+[ey+2-(y+2)-1]=0.

用導數知識，可證得

et-t-1≥0(當且僅當t=0時取等號)

所以

ex-x-1≥0(當且僅當x=0時取等號)

ey+2-(y+2)-1≥0(當且僅當y=-2時取等號)

進而可得題設即x=0,y=-2，所以x+y=-2.

三、三角函數與解三角形問題

進而可得答案是C.

注用以上“兩邊夾”的方法還可求解2020年高考北京卷第14題：若函數f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值為2，則常數φ的一個取值為____．(筆者注：建議把題中的“取值”(動詞)改為“值”(名詞)，或把“φ的一個取值”改為“φ可取的一個值”.)

題9 在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.

⑧

把此等式與題設中的等式相加后，可得

再由不等式a2+b2≥2ab，

再由余弦定理，可得

從而可得答案.

四、平面向量問題

五、求取值范圍問題

把得到的兩個不等式相加，并由題設可得

還可得

進而可得答案.

六、恒成立問題

題12 (2012年高考浙江卷理科第17題)設a∈R，若x>0時均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，則a=____.

圖2

注在解法3中，為什么會想到令x=2呢？

題13(1)若x∈[-1,1]時，ax3-3x+1≥0恒成立，求實數a的取值范圍；

(2)若x∈[-1,1]時，f(x)=ax5-20x3+5x-1≤0恒成立，求實數a的取值范圍；

(3)若x∈[-1,1]時，f(x)=ax5-20x3+5x+1≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

解(1)可設x=sinα，由公式sin3α=3sinα-4sin3α，得(4-α)sin3α≤1-sin3α恒成立．

還可驗證當a=4時(4-a)sin3α≤1-sin3α恒成立，所以所求答案是“4”．

還可驗證當a=16時(a-16)sin5α≤1-sin5α恒成立，所以所求答案是“16”.

(3)在(2)的結論中，令x=-t后可得答案是“16”.

圖3

但以下解答更嚴謹：

在sinx≤ax+b≤tanx中令x=0，可得b=0.

所以a=1.得所求常數a,b的取值范圍分別是{1},{0}.

(2)同(1)的解答可得c=0.

⑨

所以a=0.得所求常數a,b,c的取值范圍分別是{0},{1},{0}.

(3)同(2)的解答可得d=0,c=1.

再由⑨，可得b=0.

注有興趣的讀者，還可研究題15的一般情形.

七、其他問題

文獻[1]的題1(第 54 屆羅馬尼亞數學奧林匹克決賽試題)，題2(2008年北京市中學生數學競賽高一年級初賽試題第一題第4題)，題10(2007年全國高中生數學聯賽江蘇賽區初賽試卷第15題)及題13(2012年卓越聯盟自主招生數學試題第12題)，題11(2012年第24屆亞太地區數學奧林匹克競賽第1題)，題14用“兩邊夾”分別解決了求值問題、存在性問題、數列問題、平面幾何問題、求極限問題，讀者可自行瀏覽.