基于Hull-White擴展模型的歐式期權動態定價方法

李坤昊,秦學志,王 麟

(大連理工大學 經濟管理學院,遼寧 大連 116024)

對期權而言,在不同時刻,除了標的資產價格隨機波動率及跳躍強度等狀態變量改變外,其動態模型的參數及結構也無法完全維持恒定[1]。因此,在歐式期權定價時,合理選擇標的資產價格動態模型及狀態變量的更新方式,進而根據期權數據動態更新模型及狀態變量值,并用于下一時刻的定價,具有重要意義。實際價格觀測、模型選擇、狀態變量估計以及下一時刻期權定價的循環往復,構成了歐式期權的動態定價過程。

多數歐式期權定價相關研究以標的資產價格作為出發點。大量研究考慮了隨機波動率、有限或無窮跳躍、市場狀態轉移等特征,對標的資產價格動態過程進行描述[2-6]。此時,期權定價的一般步驟是:首先選取模型描述標的資產價格在風險中性測度下的動態過程,然后基于模型計算支付函數的期望,再通過折現確定期權價格[7]。為了獲得可靠的期權定價結果,需要根據實時更新的數據,確定新的參數估計值及狀態變量值。典型的方法為:基于貝葉斯思想,使用濾波方法實現參數及狀態變量值的更新[1,8-10]。這一過程大多只涉及較少的參數和狀態變量,可操作性強。然而,依據標的資產價格的模型結構一般無法準確描述期權價格曲面的實際變化[11],在動態定價中往往會產生較大的偏差。

采用Heath-Jarrow-Morton模型可以完整反映期權價格曲面特征及其變化。在Heath-Jarrow-Morton框架下,需要直接對期權價格曲面或其相關變量的動態過程進行建模,并通過無套利條件,實現反推標的資產價格動態過程[12],相關研究見于文獻[13-15]。此時,可以將整個期權價格曲面看作狀態變量,在任一時刻,通過更新狀態變量的取值對新觀測數據進行完全擬合,即完整描述當前期權價格曲面[13]。Carmona等[16]對這一方法下的動態擬合進行了實證研究,證明了其在應用中的良好表現。然而,動態擬合的實現依賴于復雜的無套利條件,很難進一步對狀態變量進行可靠的先驗估計并據此為下一時刻定價。

兼具期權價格曲面特征及對其變化描述的完整性以及模型和狀態變量更新的易行性,是動態定價優化的重要方向。為此,有必要以低維模型對期權價格曲面特征進行準確描述,使用Hull-White擴展模型有望實現這一目的。基于期權價格曲面的Hull-White擴展模型[17]由兩部分構成:一是基礎模型,即對標的資產價格動態過程的假設;二是以反映期權價格曲面的中間變量與基礎模型假設下特征函數的差值為特征函數的隨機變量。兩者能夠共同生成完整的期權價格曲面,且基礎模型的參數及狀態變量即為Hull-White擴展模型的全部顯式參數及狀態變量。Hull-White擴展模型能夠在固定時刻完整描述期權價格曲面,而通過對模型進行更新可以反映曲面的變化。

Hull-White擴展模型的上述性質使其在期權定價中具有巨大的應用潛力,但相關研究尚在起步階段。Richter等[17]提出了一種基于Hull-White擴展模型的連續重校準方法,同時提供了一種模型更新方式,即使用非參數方法對狀態變量進行估計,并根據狀態變量估計值選擇新的基礎模型,進而更新Hull-White擴展模型。然而,使用非參數方法估計狀態變量可能會產生較大偏差,且無法序貫獲得下一時刻狀態變量的先驗估計值。同時,頻繁更新基礎模型參數會導致較大的運算量。另外,在進行Hull-White擴展模型定義時,因所有時點均可作為到期日的假設而無法直接用于實際期權定價。Gambara等[18]對Hull-White擴展模型進一步參數化,提出了廣義Hull-White擴展模型,并提出連續重校準的神經網絡算法。利用廣義Hull-White擴展模型可以實現有限個到期日下的曲面擬合,但相應其無套利條件涉及大量參數,且參數的估計與更新運算量大,容易過擬合而使下一時刻定價不準確。

本文基于Hull-White擴展模型,提出一種新的動態定價方法,最大的特點是:采用無需改變顯式參數的模型更新方法,使用貝葉斯方法序貫估計狀態變量,并利用實際市場中的有限個合約,實現模型更新,進而得到期權定價公式。具體地,采用固定參數,在每一時刻,基于已觀測期權價格曲面,更新能夠生成該曲面的Hull-White擴展模型,并用其刻畫風險中性測度下標的資產價格的變化過程,據此為下一時刻期權定價。Hull-White擴展模型的基礎模型選取為平穩仿射隨機波動率模型,這類模型以Heston模型為代表,能夠解釋杠桿效應、波動率微笑及期權期限結構[19-20],可以反映標的資產價格動態過程的長期趨勢。使用平穩仿射隨機波動率模型作為基礎模型,狀態變量為標的資產對數價格的瞬時方差,且瞬時方差的動態過程不會因Hull-White擴展模型的更新而改變。因此,基于貝葉斯思想,可以使用粒子濾波方法[21-22]對瞬時方差進行估計。貝葉斯方法可以使瞬時方差估計充分吸收市場先驗信息及具有序貫性,從而能夠提升先驗和后驗估計的可靠性[10]。另外,根據模型特征、市場慣性效應[23-24]及投資者風險偏好理論[25],增加了部分假設,以適配到期日數量有限時的模型選擇及歐式期權定價。根據模型性質,通過傅里葉變換實現定價結果。值得一提的是,期權定價結果中,僅下一時刻與當前時刻的價差依賴于模型,而價格的另一部分為當前時刻實際觀測價格。這使得定價結果對模型選擇的依賴性大大降低,同時準確性得到有效提升。通過到期日數量有限時適宜的模型選擇及對瞬時方差的估計,進一步提升了定價的準確性,而無需進行耗時較大的基礎模型參數更新。為了驗證上述效果,使用標準普爾500 指數期權數據進行了實證研究。

1 定價的模型基礎

假設在離散時間市場中,存在一個標的資產和以所有t∈N為到期日、^K>0為執行價格的期權,時刻s=0的所有期權價格已知。考慮離散時間市場的原因,一是為了方便對模型及狀態變量的更新,二是為了避免Hull-White擴展模型構建過程中大量繁復的數學計算與證明。

在流動性充足的理性市場上,短暫存在的套利機會會很快消失,故采用期權價格市場模型理論中的基本假設[14,17],考慮無套利市場,即存在一個等價鞅測度Q,所有初始期權價格均為Q 下標的資產價格動態過程對應的期權風險中性價格。首先在這一市場中建立模型,然后在第2節中將模型推廣至到期日及執行價格數量均有限的實際情況。

為了簡化表達,對期權價格及執行價格進行如下簡單變換,使后文中的推導及表示均對應利率及紅利率為0的假設:

基于上述假設,建立定價所需的模型基礎。具體地,為了構建Hull-White擴展模型,首先對描述期權價格曲面的前向特征過程進行定義;其次,簡介本文采用的基礎模型,即平穩仿射隨機波動率模型;最后,以前向特征過程為媒介,基于基礎模型及時刻s=0已知的期權價格,構建描述標的資產對數價格及其瞬時方差在Q 下動態過程的Hull-White擴展模型。

1.1 前向特征過程

在Hull-White擴展模型的構建及后續定價中,用于描述期權價格曲面的變量及其動態過程都起著極其重要的作用。由于期權支付函數具有非線性,直接對期權價格曲面動態過程進行刻畫時,對應的Q 下標的資產價格動態過程往往難以得到,故文獻[13,17-18]中使用前向特征過程描述期權價格曲面變化。前向特征過程可以與標的資產價格動態過程解析式直接關聯,能夠大大降低后續研究難度。

根據文獻[13]中的研究,對于任意采用exp(X)為鞅的隨機過程X,若以X描述標的資產對數價格的動態過程,則在時刻s,以t為到期日、K為執行價格的歐式期權風險中性價格為:

由上述表達式可以看出,EQ[exp(

的隨機過程族(ηs(u,t))0≤s

在每一時刻,通過X前向特征過程的實現值,無需借助任何參數,即可用式(2)、(3)計算所有到期日和執行價格下的期權價格,因此,其可作為在已知期權初始價格時,反推相應的風險中性測度下標的資產價格動態過程的渠道。

1.2 平穩仿射隨機波動率模型

在Hull-White擴展模型構建過程中,需要對標的資產價格動態過程的基礎模型進行假設,再基于這一基礎模型及前向特征過程的實現值,生成期權初始價格曲面對應的標的資產價格動態過程。本文選擇平穩仿射隨機波動率模型作為Hull-White擴展模型的構建基礎。

假設(X,Y)是定義在包含濾子的概率空間,Q)上,狀態空間為R×的隨機過程。若對于任意初值(x,y)∈R×,存在×N →C,j=1,2,…,n,使得對任意0≤s≤t,有

存在,則稱(X,Y)是一個平穩仿射隨機波動率模型。函數?及為Filipovíc[26]定理10.2中所述Riccati微分方程的解,微分方程具體形式及解法均可見文獻[26],此處不再贅述。

當使用平穩仿射隨機波動率模型(X,Y)描述標的資產對數價格及其n維瞬時方差的動態過程時,由式(6)知X的前向特征過程滿足

式中,僅Ys為n維狀態變量。因此,在固定參數下,基于平穩仿射隨機波動率模型(X,Y)定價時,一般無法擬合所有初始期權價格。為了得到與初始期權價格曲面對應的標的資產對數價格及其瞬時方差的動態過程,需要進一步構建Hull-White擴展模型

1.3 Hull-White擴展模型的構建

根據式(2)、(3),為了實現對初始期權價格曲面的完整刻畫,的前向特征過程需滿足初值條件=ν0,ν0為時刻0以特征函數形式表達的期權價格實際期限結構,即:

式中,C0(t,K)為時刻0以t為到期日、K為執行價格的歐式看漲期權價格。根據傅里葉變換的唯一性,將代入式(2)、(3),可以擬合不同到期日及執行價格下期權的初始價格。

根據Richter等[17]的研究,基于平穩仿射隨機波動率模型(X,Y),無需改變瞬時方差的動態過程Y,即可構建前向特征過程滿足=ν0的Hull-White擴展模型,Y)。具體步驟如下:

式中,

進而,選擇函數μ,使

則對任意t≥0,有

2 歐式期權的動態定價方法

2.1 動態定價原理及定價公式

進一步,通過式(2)、(3)可得到期權在時刻s的價格。

不容忽視的是,若在固定的等價鞅測度下進行期權定價,而不考慮觀測數據的實時更新,往往會由于模型與對應市場狀況不符,導致定價結果的偏差較大。而將第1節中Hull-White擴展模型的構建方法,應用于時刻s期權價格已知的情況,可以構建新的Hull-White擴展模型,作為等價鞅測度Qs下標的資產對數價格及其瞬時方差的動態過程。在每一時刻s,根據該時刻已觀測期權價格,選取新的等價鞅測度Qs及相應的Hull-White擴展模型,并在該模型下對時刻s+1的期權進行定價,可以充分利用市場先驗信息,實現期權的動態定價。

具體地,在每一時刻s價格觀測后,根據1.3節中所述Hull-White擴展模型的構建方法,構建Qs下Hull-White擴展模型,Y)(s)。對于到期日t,,Y)(s)的前向特征過程滿足

式中:νs是根據時刻s期權觀測價格及式(8)、(9)得到以特征函數形式表達的實際期限結構;μs是在Qs下以νs為初始期限結構,由式(13)確定的函數,即

根據式(16),在已知時刻s期權價格時,為了預測時刻s+1以t為到期日的(,Y)(s)前向特征過程的實現值,進而對時刻s+1以t為到期日的期權定價,需要對三部分進行計算。即:①時刻s和時刻s+1,以t為到期日的(X,Y)下前向特征過程實現值和(u,k);②根據時刻s以t為到期日的期權實際觀測價格得到的③使用(,Y)(s)代替(X,Y)進行期權定價時,時刻s以s+1為到期日的前向特征過程實現值的差值μs(iu,0)。

定價公式(16)各部分中,基于瞬時方差Ys后驗估計值及Ys+1先驗估計值,及(u,k)可以直接根據式(7)計算得到。進而在可供選擇的執行價格有限的實際市場中,假設所有執行價格的集合為{Kl}1≤l≤Ls,且按照K1～KLs的順序從小到大排列;將傅里葉變換離散化,則可以近似計算為

式中,Cs(t,Kl)為時刻s以t為到期日、Kl為執行價格的歐式看漲期權價格。

最后,根據式(17),μs(iu,0)的精確計算需要借助時刻s以s+1為到期日的期權價格。在僅有少數幾個合約到期日的市場中,以s+1為到期日的期權合約一般不存在,需要進一步增加市場假設以實現對μs(iu,0)取值的選擇。

根據定價公式(16),以前向特征過程作為媒介,時刻s+1的期權定價結果可以看作時刻s實際期權價格與兩個時刻基于模型,Y)(s)期權價格差的組合。其中,前者可以直接觀測得到,故不包含任何模型誤差,而后者包含了基于(,Y)(s)對時刻s+1的期權定價產生的模型誤差。此時,模型誤差僅體現在兩個連續時刻的價格差上,相比于期權價格整體依賴于模型設定時,定價結果的準確性和穩定性均有望得到明顯提升。通過對μs(iu,0)的適宜選擇及對瞬時方差的恰當估計,可進一步提高定價的準確性。

2.2 到期日數量有限時的期權價格

在實際市場中,由于通常僅存在有限個不連續的合約到期日t,能夠生成時刻s真實期權價格曲面的Hull-White擴展模型一般不唯一。當以s+1為到期日的期權不存在時,μs(iu,0)也無法通過基礎模型及時刻s期權價格計算得到,需要在一定約束限制下對其進行選擇,對μs(iu,0)的假設體現了對時刻s的Hull-White擴展模型的選擇。

由于μs(iu,0)的實質是使用(,Y)(s) 代替(X,Y)進行期權定價時,時刻s以s+1為到期日的前向特征過程實現值的差值,根據式(17),其至少應該滿足如下條件:

根據文獻[23-24],在相應期權下,股票市場存在明顯的慣性效應。根據文獻[25],投資者的風險厭惡程度具有均值回復性。綜合兩者的作用,在對μs(iu,0)的合理假設下,時刻s+1以t為到期日的前向特征過程實現值與時刻s以t-1為到期日的前向特征過程實現值相比,差異不應過大。即在一般情況下,假設時刻s+1對未來t-s-1時間內標的資產價格變化的預期與時刻s的差異不大。

特別地,結合計算的簡便性,選取

作為對μs(iu,0)的假設。此時,式(16)可簡化為

2.3 瞬時方差的動態估計

根據定價公式(16),實現期權動態定價的另一要素是對瞬時方差可靠的先驗及后驗估計。基于貝葉斯思想,使用粒子濾波方法,序貫地實現對瞬時方差的動態估計,且這一估計過程可與動態定價的過程嵌合,實現模型-瞬時方差-期權價格的動態更新,動態更新的過程如圖1所示。

圖1 模型-瞬時方差-期權價格動態更新流程圖

其中,在基于時刻s實際觀測價格確定的Qs下,Hull-White擴展模型的構建需要依賴于瞬時方差Ys的估計值,實現對時刻s觀測價格的完全擬合。因此,在每一時刻s,應先在基于時刻s-1實際觀測價格確定的Hull-White擴展模型下,進行濾波確定Ys后驗估計值,再對模型進行更新。為此,首先建立如下狀態空間模型:

式中:Cs是由時刻s所有期權的觀測價格組成的向量,(Xs,Ys,Ys-1,Ms-1)是在根據時刻s-1實際觀測價格確定的Hull-White擴展模型Ms-1∶=(Y)(s-1)下,時刻s期權理論價格組成的向量是期權的觀測誤差,服從均值為0、協方差矩陣為R的高斯分布;g描述了真實測度P 下Ys的動態過程;p0(Y0)是Y的初始狀態分布。

在貝葉斯估計方法下,分別使用E(Ys|C1:s-1)和E(Ys|C1:s)作為Ys的先驗及后驗估計值。該估計值可以通過如下預測-校正過程序貫獲得:

式中:Y0:s與C1:s分別為瞬時方差及期權價格截至時刻s序列取值;p(Cs|Xs,Ys,Ys-1,Ms-1)為Hull-White擴展模型Ms-1下已知Ys及Ys-1時Cs的條件分布。

上述模型無法獲得式(23)、(24)中分布的解析形式,而通過粒子濾波算法,可以方便地對其進行估計。粒子濾波算法的理論基礎及研究綜述可見文獻[27],此處僅列算法步驟。

步驟1在初始狀態分布p0(Y0)中,抽取m個樣本

步驟2在時刻s≥1,依據時刻s-1 樣本,從每個中抽取樣本,得到m個樣本,并以作為Ys的先驗估計值;

步驟3對于每個樣本,計算基于期權價格觀測值的后驗分布下歸一化權重

步驟4基于樣本權重,從中重新抽取m個樣本,每個樣本的權重均為,并以作為Ys的后驗估計值;

步驟5繼續從步驟2 開始循環計算,得到Ys+1的先驗估計值。根據式(16),代入Ys的后驗估計值及Ys+1的先驗估計值,可以得到時刻s+1的期權定價結果。

2.4 動態定價的實現步驟

基于Hull-White擴展模型的歐式期權動態定價實現步驟如下:

步驟1選擇合適的基礎模型(X,Y);

步驟2觀測到時刻s價格后,根據2.3節中的方法,對Ys的后驗估計值及Ys+1的先驗估計值進行估計;

步驟3根據時刻s觀測價格,計算以特征函數形式表達的實際期限結構νs,以νs作為初始期限結構,并選擇對μs(iu,0)的假設,構建Hull-White擴展模型

步驟4根據定價公式(16),預測在時刻s+1,以t為到期日的前向特征過程的實現值,進而使用式(2)、(3)得到時刻s+1期權定價結果;

步驟5在觀測到時刻s+1價格后,繼續這一過程,以實現下一時刻定價,依此類推。

3 實證研究

3.1 實證數據

使用標準普爾500指數期權的日數據進行實證研究,數據來自于雅虎財經。具體地,選擇到期日分別為2019年12月、2020年1月、2020年3月、2020年6月及2020年9月的期權合約。這些期權合約存續期均較長,有些長達兩年以上,本文僅采用距到期日在5天～6個月的中短期期權,其中包含了從2019-06-22～2020-09-11的149 922對看漲-看跌期權價格數據。這樣選擇是由于中短期期權交易相對活躍、流動性更強,而去除距到期日5天以內的期權是為了避免非理性投機行為的影響。無風險利率根據美國國債利率數據插值得到,數據來自美國財政部官網。

采用如下方法選取看漲期權實際無套利價格,用于實證研究。

(1)期權的價格應滿足看漲-看跌平價公式。根據文獻[16,28],首先計算各期權合約買價與賣價的平均值,然后通過包含紅利率的看漲-看跌平價公式

估計無法觀測的紅利率qs,t,其中,與分別為時刻s以t為到期日、最靠近Ss的為執行價格的看漲及看跌期權的買賣價平均值。選擇最靠近平均值的一對看漲-看跌期權數據估計紅利率,是由于兩者均能較可靠地反映期權的實際價值。對于其他執行價格下的期權,虛值期權一般具有更好的流動性,其報價更能可靠地反映期權的實際價值,故對于實值看漲期權,使用更為可靠的相應虛值看跌期權買賣價平均值,通過看漲-看跌平價公式得到其價格。

(2)通過求解約束優化問題

進一步保證期權價格上下限、單調性及凸性,去除步驟1所選擇的價格中仍少量存在的套利機會。其中:,l=1,2,…,Ls為待優化變量,即本步待選取的時刻s以t為到期日的看漲期權價格;,l=1,2,…,Ls為第(1)步選取的時刻s以t為到期日的看漲期權價格。由于標準普爾500指數期權市場的理性程度及流動性均較高,經過上述步驟選取的看漲期權價格基本落在其實際買賣報價之間,可以代表看漲期權的實際價格。同時,這樣選取的期權價格之間不存在套利機會,在每一時刻均存在等價鞅測度Qs,該時刻所有期權價格均為Qs下標的資產價格動態過程對應的期權風險中性價格,可以使用本文方法進行期權定價。根據看漲-看跌平價公式,可以計算相應的看跌期權實際無套利價格。但是由于看漲和看跌期權價格滿足看漲-看跌平價公式,僅使用看漲期權進行實證研究。

3.2 模型的選取與估計

在實證中選取Heston模型作為Hull-White擴展模型構建的基礎模型。Heston模型是最常用于期權定價的平穩仿射隨機波動率模型,其反映了波動率隨機性、均值回復性及杠桿效應等性質,可以代表平穩仿射隨機波動率模型刻畫市場方面的一般屬性。具體地,假設(X,Y)在Q 下滿足:即存在波動率風險偏好λ,使得

根據前文所述,使用Hull-White擴展模型進行期權的動態定價時,需要確定基礎模型的參數。為此,需要對Heston模型的參數進行估計。由于直接使用期權數據進行參數估計十分耗時,故使用VIX指數與標準普爾500 指數數據,并采用基于粒子濾波的極大似然估計方法[29]對模型參數進行估計。VIX指數根據標準普爾500指數期權價格編制獲得,包含了豐富的期權價格及波動率預測信息,故利用其與標準普爾500 指數數據可以得到P和Q 下可靠的參數估計結果[20-30]。參數估計使用的具體數據為2015-10-01～2019-06-21 的VIX指數與標準普爾500 指數數據,估計結果如表1所示。

表1 模型的參數估計結果

同時,采用B-S、Heston及Bates模型作為對比模型,還需使用上述數據對Bates模型的參數進行估計。具體地,假設(X,Y)在Q 下滿足:

式中:Jt是以λJ為跳躍強度、每次跳躍ΔJ服從的復合泊松分布是使X為鞅的跳躍過程的漂移項。根據Bates[3]的研究,在標普500指數期權市場中,不存在明顯的對跳躍的風險偏好,故僅假設存在如式(30)定義的波動率風險偏好λ,進而(X,Y)在P下滿足

其估計結果見表1。

3.3 期權定價結果

進一步,選擇3種可以在實際市場中實現的期權動態定價方法,即分別在固定參數及參數學習下,從標的資產價格出發的一般風險中性定價方法,及本文提出的基于Hull-White擴展模型的動態定價方法,使用所選取的期權數據進行實證研究。具體地,對于固定參數下一般風險中性定價方法,分別使用B-S、Heston及Bates模型,采用如表1所示的參數進行定價。對于存在待估參數的Heston和Bates模型,同時使用參數學習方法更新參數并進行定價。其中,在固定參數下進行一般風險中性定價時,使用粒子濾波方法對瞬時方差進行估計及序貫更新;在參數學習方法下進行一般風險中性定價時,使用結合馬爾科夫鏈蒙特卡羅(MCMC)與粒子濾波的參數學習算法[9],同時對參數及瞬時方差進行估計及序貫更新;而在本文方法下進行定價時,定價步驟見2.4節。

對于期權定價結果,分別使用平均絕對誤差(Mean Absolute Error,MAE)及平均絕對誤差率(Mean Absolute Percentage Error,MAPE)描述定價誤差的絕對及相對水平,其表達式為:

式中:N為期權總數和分別為在時刻s看漲期權價格的實際值與理論值。在計算MAPE 時,去除實際價格小于1的極端虛值期權,雖然這部分期權占總體比例小,但由于實際價格很小,且受數值積分誤差影響較大,容易產生很大相對誤差,使MAPE脫離整體水平異常升高,影響對相對誤差水平的評價。

為了評價幾種方法及模型在不同時期市場中的定價效果,在實證研究中選取的5個合約到期日下,分別對期權定價結果的MAE 和MAPE 進行計算。由于對于每個到期日,都使用距其5天～6個月的期權進行實證研究,故到期日反映了用于定價的時間區間。同時,計算全部期權數據下,幾種方法及模型期權定價結果的MAE 和MAPE,以評價方法及模型的整體定價效果。期權定價結果的MAE 及MAPE分別如表2、3所示。

表2 不同動態定價方法及模型下期權定價平均絕對誤差(MAE)

表3 不同動態定價方法及模型下期權定價平均絕對誤差率(MAPE)

由表2、3可以看出,無論在絕對誤差還是相對誤差角度,基于Hull-White擴展模型的動態定價方法定價誤差都顯著小于其他方法,這顯示了本文方法對定價結果準確性的有效提升。基于Hull-White擴展模型的動態定價方法能夠造成定價誤差水平的大幅降低,是由于其定價誤差僅由兩部分構成:其中的模型誤差如2.1節中所述,僅包含在時刻s+1與時刻s價格差中,且模型選擇及瞬時方差估計均包含了最新已知信息,故其一般遠低于期權定價結果整體依賴于模型時的情況。在實際運算中,定價誤差還包含定價過程中傅里葉變換及逆變換時數值積分的誤差,在執行價格數量很大的標準普爾500指數期權市場中,其也相對較小。一般風險中性定價采用參數學習時,定價準確性相對于使用固定參數時會有一定提升,但依然較基于Hull-White擴展模型的動態定價方法有一定差距。原因之一在于,從標的資產價格出發定價時,固定模型結構在生成不同時期期權價格曲面時存在一定的局限性。另外,在參數學習算法中,每天的參數估計結果同時包含歷史信息,而較為陳舊的數據在參數更新中可參考性相對較弱。

從不同到期日下結果來看,除了2020年6 月到期的期權外,在一般風險中性定價下,當定價時期距參數估計時期更遠時,絕對誤差明顯增大。而基于Hull-White擴展模型的動態定價方法下,絕對誤差的變化幅度較小,且能保持在較低的水平。這說明,當市場狀況相對參數估計時期變化較大時,基于Hull-White擴展模型的動態定價方法表現更為穩健。相對誤差水平隨時期變化的規律不太明顯,這可能與其依賴于實際價格的整體水平有關。容易看出,基于Hull-White擴展模型的動態定價方法在各時期造成的相對誤差水平均明顯低于其他方法。特別地,由于新冠肺炎疫情的影響,2020 年3 月美股多次熔斷,VIX 指數飆升,期權價格也脫離正常市場規律而升高,這使得在不同方法及模型下,完整包含這段時期以2020年6月為到期日的期權,定價誤差均較大。在這段時期,基于Hull-White擴展模型的動態定價方法的MAPE依舊能夠保持在0.18以內,證明其在市場異常時期表現也較穩健。

一般風險定價方法不采用參數學習時,對于不同到期日及不同統計量,Heston及B-S模型表現各有優劣,但大體上優于本身能夠反映更多市場性質的Bates模型。這可能是由于Bates模型的參數較多,對參數估計時期形成了過擬合,而不適合于定價期,這也說明了固定參數下一般風險定價方法在動態定價中的局限性。在參數學習下,此現象沒有明顯改善,也可能與較陳舊的歷史數據在參數更新中可參考性相對較弱有關。

除了準確性外,定價方法及模型的穩定性也是衡量其適用性的重要指標[31]。動態定價方法在不同時期定價結果的穩定性說明,該方法在不同市場條件下定價表現的穩健程度。在固定參數下,模型在不同時期定價結果的穩定性說明,使用其進行動態定價時參數更新的必要程度。表2、3中不同到期日下的結果初步證明了本文方法更高的穩定性,采用日平均絕對誤差(Daily Mean Absolute Error,DMAE)及日平均絕對誤差率(Daily Mean Absolute Percentage Error,D-MAPE)的標準差及95%分布區間,對上述方法及模型的穩定性進行更深入的討論,結果如表4所示,其中,變量的α%分布區間指各日期變量取值分布在下尾和上尾中各排除(1-α%)/2的區間。D-MAE 的標準差及95%分布區間分別反映了不同日期誤差水平的差異程度及誤差波動區間,所以能夠描述方法及模型的穩定性。

表4 不同動態定價方法及模型下期權定價D-MAE及D-MAPE統計量

由表4可以看出:

在動態定價方法層面,基于Hull-White擴展模型的動態定價方法下,D-MAE及D-MAPE的標準差和95%分布區間范圍均顯著小于其他兩種方法,對D-MAPE 尤其明顯。這說明,基于Hull-White擴展模型的動態定價方法在不同市場條件下的定價結果的穩健程度高。在Heston模型下,參數學習下的一般風險中性定價的穩定性又優于固定參數下的一般風險中性定價;而在Bates模型下進行參數學習時,D-MAE的標準差及95%分布區間上限反而高于使用固定參數。這可能是因為2020年3月美股市場多次發生極端變化,而這里采用的參數學習方法無法快速適應這類突變。

在模型層面,基于Hull-White擴展模型進行動態定價時,沒有進行參數的更新,但其穩定性指標均顯著優于基于對比模型時,固定參數下的一般風險中性定價。這說明,使用Hull-White擴展模型進行定價時,參數更新的必要性較低。而對于幾種對比模型,除了個別指標外,整體穩定性排名為:B-S>Heston>Bates。這說明,在進行一般風險定價時,對于使用更多參數的模型,更新參數可能更為必要。

4 結論

本文基于Hull-White擴展模型,設計了一種兼具序貫性、準確性及易行性的歐式期權動態定價方法。在模型更新方面,采用固定參數,在每一時刻,基于已觀測期權價格曲面,更新能夠生成該曲面的Hull-White擴展模型,用于下一時刻定價;在市場中僅存在有限個到期日時,能夠生成期權價格曲面的Hull-White擴展模型不唯一,進而對此時的模型選擇進行了討論。在狀態變量更新方面,在貝葉斯思想下,使用粒子濾波方法實現狀態變量的序貫估計。在定價實現方面,基于傅里葉變換,以前向特征過程實現值作為媒介,根據仿射模型及Hull-White擴展模型的性質,推導定價公式。上述步驟通過合理嵌合,構成了整個期權動態定價過程。該方法得到的定價結果中,僅有下一時刻與當前時刻的價格差依賴于模型,且模型選擇與狀態變量估計均包含了最新市場信息。因此,定價結果的準確性和穩定性均得到明顯提升。

本文利用標準普爾500指數期權數據進行了實證研究。實證結果表明:基于Hull-White擴展模型的動態定價方法能夠顯著提升期權定價的準確性,且在不同時期定價結果的穩健程度高,在市場劇烈波動時期也能保持較低的誤差水平;另外,使用Hull-White擴展模型定價對參數的依賴性小,參數更新的必要性低。

由于本文主要研究內容是基于Hull-White擴展模型的動態定價方法提出與設計的,故首先在可供交易的合約執行價格數目大、流動性程度高、約束相對較少的成熟市場中進行了討論,而對于新興市場,如上證50ETF 期權市場中更為復雜的狀況,未進行相應的研究。針對上證50ETF 期權市場的特征,如下方面有待進一步研究:首先,方法涉及到以執行價格為自變量的傅里葉變換離散化近似計算,即式(18)。而在對應同一到期日僅存在少數幾個執行價格合約的市場,如上證50ETF 期權市場,這部分計算會帶來較大誤差。利用期權價格漸近性理論,在較小的執行價格數量下,提升式(18)的計算精度,有望較好地估計相應期權價格。另外,由于中國金融市場的賣空限制及投資者理性程度的相對不足,使能代表交易價格的無套利價格選擇相對困難,此時,如何合理選擇觀測價格,是方法應用中的重要問題。