帶Lévy跳的隨機SIQR模型的分析研究

劉世杰，劉茂省

（中北大學 理學院，太原 030051）

傳染病是影響社會發展的重要問題，許多學者利用數學建模思想，根據疾病的傳播機理建立了SI、SIR、SIV、SIQ等經典模型，對模型進行動力學分析，分析傳染病的發展趨勢并提出合理建議。對傳染病的研究大多用確定性的系統來分析，但在疾病傳播過程中仍然會有一些隨機因素干擾［1－5］。文獻中通常用白噪聲來表示環境因素等的擾動，如氣候、溫度等，然而當遭遇重大自然災害或突變（如地震、海嘯、颶風或大型傳染病等因素）時，在短時間內會改變種群規模，這種擾動的刻畫是有一定難度的，研究者們提出用Lévy跳來描述刻畫這些因素的影響［6－10］。

有很多學者對此類帶Lévy跳的模型進行了分析，如Zhang等［8－10］分析了SIR、SEIR及艾滋病模型，得到了平衡點附近的漸近性質。Zhou等［11］研究了隨機SIR模型，得到了疾病滅絕和存在的充分條件；Ge等［12］研究了具有非線性發生率的SIS模型，在得到疾病滅絕和存在充分條件的基礎上還做出數值模擬，說明了隨機擾動對傳染病的影響。隨著理論的發展和完善，也有更多模型出現，如Fan等［13－14］考慮將非線性發生率、時滯、白噪聲和Lévy跳多種因素結合起來，得到疾病存在和滅絕的充分條件。

1 模型建立

考慮以下具有隔離的SIQR模型：

式中：S（t）代表易感者的數量；I（t）代表感染者的數量；Q（t）代表隔離者的數量；R（t）代表恢復者的數量；A為群體輸入率；β為傳染病的感染率；μ為自然死亡率；μ0和μ1分別為感染者和隔離者的因病死亡率；γ為感染者的恢復率；δ為感染者的隔離率；θ為隔離者的恢復率，以上所有參數均為正常數。由于系統（1）中的前3個等式不依賴于第4個等式，所以第4個等式可以省略。因此只考慮以下系統：

然而，在現實環境中，傳染病的傳播會受到很多環境因素的干擾，可以用白噪聲來刻畫這些因素。遭受地震、颶風、SARS等重大災害時的干擾也是不可忽視的，因此，考慮一個帶Lévy跳的隨機模型：

式中：標準布朗運動用B1、B2、B3表示；正常數σ1、σ2、σ3是其對應布朗運動的強度；Hi（z）＞－1，（i＝1，2，3）表示跳的強度。其中適應的鞅；N（t，U）是泊松隨機測度；的補償測度；n（d t，d z）＝E（N（d t，d z））是N（t，U）的強度測度，它滿足n（d t，d z）＝π（d z）d t，其中π（d z）是Z上的測度，Z?（0，∞），π（Z）＜∞，以及滿足以下條件：。值得注意的是，當隨機擾動的強度為零時，系統（3）就是確定性的系統（2）。

2 全局正解的存在唯一性

3 解的漸近性質

對上式兩端從0到t積分后再求期望，有

0≤EV1［（S（t），I（t），Q（t））］≤EV1［（S（0），I（0），Q（0））］＋

定理3 若系統滿足條件H1和H2，R0＞1，且滿足

證：因為系統（2）對應的確定性模型存在唯一的正平衡點，所以有

4 數值模擬

本節參考文獻［18］和［19］，利用Matlab來驗證理論結果。

1）對于系統（3），在系統（2）的無病平衡點附近，選定A＝0.3，β＝0.005，μ＝0.2，θ＝0.04，γ＝0.033，δ＝0.01，μ1＝0.03，μ0＝0.043，σ1＝σ2＝σ3＝σ4＝0.1，Z∈（0，∞），π＝0.8，H1（z）＝H2（z）＝H3（z）＝H4（z）＝0.2，且初值（S（0），I（0），Q（0），R（0））＝（0.5，0.2，0.1，0.1），易知R0＝0.026 2＜1，且滿足定理2的其他條件，因此定理2成立，如圖1所示。

圖1 R0＜1時確定性模型和隨機模型解的漸近曲線

2）對于系統（3），在系統（2）的地方病平衡點附近，選定A＝0.3，β＝0.6，μ＝0.15，θ＝0.2，γ＝0.2，δ＝0.1，μ1＝0.1，μ0＝0.1，σ1＝σ2＝σ3＝σ4＝0.2，Z∈（0，∞），π＝0.1，H1（z）＝H2（z）＝H3（z）＝H4（z）＝0.1，且初值（S（0），I（0），Q（0），R（0））＝（0.5，0.2，0.1，0.1），易知R0＝2.1818＞1，且滿足定理3的其他條件，因此定理3成立，如圖2所示。

圖2 R0＞1時確定性模型和隨機模型解的漸近曲線

5 結論

研究了一類具有Lévy跳的隨機SIQR模型的動力學行為，它能夠更加準確反映突發情形下傳染病的傳播規律。首先分析了該系統具有全局正解，然后通過定理2、3分別討論了帶Lévy跳系統的解過程在原確定性系統的平衡點附近的漸近性態，隨機系統的解過程在原確定性系統平衡點附近隨機振蕩，當改變Lévy跳的大小時，隨機系統的解過程的振幅也會發生變化。研究結果表明：Lévy跳對疾病傳播有一定的影響，有利于更好地研究傳染病的動力學性態。將在未來的研究中考慮Lévy跳對其他傳染病模型動力學性態的影響。