單時滯廣義Lorenz系統Hopf分岔分析及控制

王申鵬，趙佳偉，孔林雁，朱鋒

（上海工程技術大學 機械與汽車工程學院，上海 201620）

0 引言

1963年，氣象學家Lorenz[1]首次提出了一個關于大氣對流的簡化三維自治模型。Lorenz系統將三維系統最復雜的形態以最簡單的形式展現出來，為非線性學科的發展奠定了基礎。隨后發現了一系列類Lorenz系統，如Chen系統[2]、Lü系統[3]、廣義Lorenz系統[4-5]系統等。在過去短短幾十年里，廣義Lorenz系統在各方面已有深入的研究。文獻［6］分析了四維廣義Lorenz系統的動力學，用一個變量描述了對流磁化流體中的磁場分布；文獻［7］通過廣義Lorenz系統共振性的研究得到了解析首次積分和廣義有理首次積分的存在性，根據構造Lyapunov函數的方法得到了系統奇點的全局穩定性；文獻［8］研究了一類不確定非線性系統的全局魯棒輸出跟蹤控制問題，通過對四階廣義Lorenz系統的混沌控制，證明了該控制策略的有效性；文獻［9］基于Lyapunov穩定性理論，進一步研究了廣義Lorenz系統的邊界問題，對于混沌控制、混沌同步、混沌吸引子維數的估計以及其他工程應用具有重要意義。

時滯是在測量過程中信號傳遞有時間延遲且無法避免的現象，例如通信線路中信號堵塞，交通運輸中傳遞擁堵，管道運輸中流體運動，以及經濟學中察覺時滯等一系列問題。文獻［10］提出了基于時滯估計技術的仿人機器人的時滯控制，實現了無模型轉矩控制，完成了精確跟蹤控制和人機交互安全性的要求；文獻［11］設計了一種偏微分方程的參數化控制器，其構成的有界線性變換可以實現閉環系統與目標系統的雙向變換，解決了具有Dirichlet邊界條件和內部時滯控制的熱方程的鎮定問題；文獻［12］研究了時滯擾動類Lorenz系統的Hopf分岔問題, 推廣了已有文獻的研究成果；文獻［13］分析了時滯Lü系統的Hopf分岔問題，提高了Lü系統的實際擬合度，減少了其不確定條件；文獻［14］研究了DPS系統Hopf分岔的穩定性及時滯控制問題，得出了線性反饋控制器可對DPS系統進行時滯控制,非線性反饋控制器可實現分岔解的穩定性控制。

從理論研究方面來看，研究非線性系統，尤其是廣義Lorenz系統，加入時滯擾動項后的Hopf分岔及控制問題的相對較少。本文以文獻［15］提出的廣義Lorenz系統為例，在新系統的第二個方程中增加一個時滯擾動項，根據文獻［16］提出的分析方法，得出系統發生Hopf分岔的時滯參數，并給出分岔條件，通過數值仿真驗證理論正確性。最后對時滯系統進行線性反饋控制，得出其反饋系數的選擇區間，擴大控制器的作用范圍，以實現有效控制，為接下來該時滯系統的電路設計等實際應用提供理論基礎。

1 廣義Lorenz系統判定

新三維二次型混沌系統可用以下形式描述：

其中a=11，b=1.8，c=20。此系統可表述為:

由于a12a21=0，根據廣義Lorenz系統的定義[4]，系統（1）屬于該定義的范疇。

2 時滯系統分析

在系統（1）的第二個方程中添加時滯項，時滯方程如下：

其中：x，y，z為狀態變量；a，b，c為系統參數；τ為時滯參數。當ab＜0時，有唯一平衡點E0(0,0,0)；當ab＞0時，有三個平衡點E0(0,0,0)、兩個非零平衡點關于y軸對稱。

2.1 穩定性分析

根據文獻［12］方法并結合規范型定理和Hopf分岔理論[17]，對平衡點E0進行分析，在該點處將系統（2）進行線性化，可得：

系統（3）對應的Jacobi矩陣為：

相應的特征方程為：

命題1：若τ=0，則系統（3）在平衡點E0處局部漸近穩定。

證明：將τ=0代入特征方程（4），可得：

根據Routh-Hurwitz判據可知，當p1+p3＞0，p5＜0，(p1+p3)(p4-p2)+p5＞0時，方程（4）所有特征根均有負實部。將對應參數代入上述不等式，即：

可知，若時滯參數τ=0，則系統（3）在平衡點E0處局部漸近穩定。

2.2 分岔分析

本節進一步討論系統在平衡點E0處發生Hopf分岔的條件。

設τ＞0時，為特征方程的一對純虛根，取代入特征方程（4），可得：

令實數和虛數分別等于0，

將等式兩邊移項，平方后相加可得：

命題2：式（7）至少有一個正實根。

根據式（6）可得：

下面給出系統（3）在該點處產生Hopf分岔的條件：

命題3：如果

證明：對特征方程（4）兩邊求導可得：

根據特征方程（4）可得：

將式（10）代入式（9）可得：

即：

將式（13）代入（11）可得：

可知：系統(2)在時，產生超臨界Hopf分岔。

3 數值仿真

通過對含時滯擾動項的系統（2）進行數值仿真，驗證上一節中結論正確性。根據式（5），令a=-1，b=1，c=2，則系統（2）轉化為：

利用MATLAB軟件，將上述數值代入時滯系統中進行仿真分析，得到在不同時滯序列下的狀態相圖。當時滯參數τ=1.35時，系統時間序列圖如圖1所示。從圖中觀察到：x、y、z隨著時間t的增大而均趨近于0，即趨近于平衡點E0（0,0,0），所以系統（14）在平衡點E0處漸近穩定，結論（Ⅰ）正確。當時滯參數τ=1.79時，系統時間序列圖如圖2所示。從圖中觀察到：x、y、z隨著時間t的增大而逐漸遠離平衡點E0（0,0,0）,并產生周期性運動，形成有雙吸引子的極限環，所以系統（14）在平衡點E0（0,0,0）處不穩定，存在極限環且該極限環持續穩定，結論（Ⅱ）正確。

圖1 時滯系數τ=1.35的系統時間序列

圖2 時滯系數τ=1.79的系統時間序列

當τ=1.5708時，系統（14）產生的極限環如圖3所示。從圖中觀察到：系統（14）發生了超臨界Hopf分岔，并且形成極限環，結論（Ⅲ）正確。

圖3 時滯系統(14)產生的極限環

4 時滯Hopf分岔控制

該時滯系統取a=-1，b=1，c=2時，在此處產生分岔。設計線性狀態反饋控制器控制系統的狀態變量，可改變其分岔狀態，并對極限環的幅值產生一定的影響。在實際生產中，可采用阻尼減振器實現該線性控制器的功能。采用線性控制器為k（y=p）其中k為控制參數，該線性控制器對應于平衡點E0(0,0,0)，因此控制器中的控制參數，可將控制器k（y=p）添加到系統的方程的第二項，得到如下的受控系統：

受控系統（15）的Jacobi矩陣為：

則線性部分的特征矩陣為：

可以得到該時滯受控系統的特征方程為：

將λ=iw0代入該特征方程中，根據并將a=-1，b=1，c=2，w0=1代入化簡后可得：

在調節整個系統的分岔參數過程中，k的取值范圍為-1＜k＜1，通過在該范圍內取值，可對整個系統的分岔情況進行調節。

為了驗證線性反饋控制對于時滯系統的作用，利用控制項改變系統中的分岔參數，在仿真分析中采用The fourth order Runge-Kutta進行驗證，系統參數以及初值分別取a=-1，b=1，c=2和x(0)=1，y(0)=1，z(0)=20，步長h=0.01，k=0.1，圖5給出了受控時滯系統的分岔參數τ以及極限環的總體情況，可以看出分岔點由原來的1.5708 提前至1.5085，說明添加適當的控制器可以對時滯系統進行提前控制，并且可以使得該受控系統與原系統相比，產生較大的幅值。

圖4 受控系統(17)的分岔參數相圖

5 結語

本文以一種新的廣義Lorenz系統為研究對象，通過在該系統中添加一個時滯擾動項，得出其時滯系統在平衡點處的分岔情況，運用Matlab軟件,對一些系統參數進行分析驗證，表明該時滯系統會隨著參數變化而呈現出豐富的分岔行為。利用線性狀態反饋控制器對時滯系統進行控制，使其在不改變平衡點的同時，將時滯分岔點由1.5708提前至1.5085。本文僅給出了當廣義Lorenz系統某一輸入量受到擾動時，控制其時滯分岔點的方法，而多個輸入量同時受到擾動的情形較復雜，此問題與時滯系統的電路設計都是下一步需要研究的對象。