基于深度理解提升數(shù)學(xué)思維

丁浩清 萬莉

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，深度學(xué)習(xí)是學(xué)科教學(xué)走向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的突出表現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中逐步形成的。教師可以通過創(chuàng)新圖構(gòu)數(shù)學(xué)、拓展探索空間、優(yōu)化教學(xué)策略、開發(fā)作業(yè)設(shè)計(jì)等，引導(dǎo)學(xué)生更深更廣地去體驗(yàn)、去感悟、去探索數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

一、創(chuàng)新圖構(gòu)數(shù)學(xué)，提升數(shù)學(xué)思維

發(fā)展學(xué)生思維最有效的方法之一是圖構(gòu)數(shù)學(xué)。圖構(gòu)數(shù)學(xué)是一種特殊的認(rèn)知活動。圖構(gòu)實(shí)則是一種思維圖，是通過思維圖來研究數(shù)學(xué)思維，是利用圖文將隱性思維顯性化。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”教師要引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)數(shù)形之間的聯(lián)系，探究數(shù)學(xué)規(guī)律，凸顯數(shù)量關(guān)系，分散教學(xué)難點(diǎn)，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。

1.依托數(shù)形結(jié)合，探究數(shù)學(xué)規(guī)律

圖構(gòu)數(shù)學(xué)是思維的起點(diǎn)，為思維提供支柱。著名數(shù)學(xué)家斯蒂恩說過：“如果一個特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么思想就整體把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法。”關(guān)于探究數(shù)學(xué)規(guī)律，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在探索規(guī)律的內(nèi)容中明確做了說明。生活中各種各樣的彩燈和彩旗、物品上裝飾的圖案……有的是按規(guī)律排列的。教師可以引導(dǎo)學(xué)生用圖形、符號表示題中的信息，把文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化成圖形，依托數(shù)形結(jié)合，探究數(shù)學(xué)規(guī)律，解決一些實(shí)際問題。

如，小玲按5朵紅花、4朵黃花的順序，把45朵花依次排成一排。最后一朵是什么顏色的花？第一依據(jù)題意畫出圖形。圖形轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵：我們可以用▲表示紅花，□表示黃花，這樣排列：▲▲▲▲▲□□□□▲▲▲▲▲□□□□▲▲▲▲▲□□□□……第二引導(dǎo)探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律。按5朵紅花、4朵黃花排列，也就是說合起來9朵為一組這樣的規(guī)律排列。例題中的簡單規(guī)律，教師可以放手讓學(xué)生通過討論、交流找出數(shù)學(xué)規(guī)律。第三應(yīng)用規(guī)律解決問題。讓學(xué)生經(jīng)歷探究圖形排列規(guī)律，理解并掌握運(yùn)用規(guī)律解決實(shí)際問題的方法，得出最后一朵是黃花。

2.借助圖文轉(zhuǎn)換，凸顯數(shù)量關(guān)系

圖文結(jié)合能讓抽象的數(shù)量關(guān)系、解題思路形象地外顯。借助圖文動態(tài)將問題轉(zhuǎn)化成圖像，通過轉(zhuǎn)化這一過程把抽象的文字形象化、具體化。它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的一種手段，更是每一個學(xué)生得到充分發(fā)展的有效策略。波利亞說過：“圖形不僅是幾何題目的對象，而且對任何一開始跟幾何沒有關(guān)系的題目，圖形也是一種重要的幫手。”這說明圖形對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要。教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意作出相應(yīng)圖，借助圖文轉(zhuǎn)換凸顯數(shù)量關(guān)系，使數(shù)量關(guān)系簡單明了，所求問題一目了然，讓學(xué)生在活動中發(fā)展自己的數(shù)學(xué)思維。

如，求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍和求一個數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題，學(xué)生容易混淆。在教學(xué)兩種應(yīng)用題之前，我讓學(xué)生依據(jù)圖文結(jié)合分析數(shù)量關(guān)系，按第一個要求畫：第一行畫3個О，第二行畫6個О，第二行О的個數(shù)是第一行的幾倍？這個問題學(xué)生都知道是求6是3的幾倍，用除法計(jì)算。緊接著讓學(xué)生按第二個要求畫：第一行畫3個О，第二行要畫幾個О就是第一行的2倍，根據(jù)“倍”的意義，學(xué)生都知道要求3的2倍，實(shí)際是求2個3相加是多少，用乘法計(jì)算。學(xué)生在解題時(shí)依據(jù)圖文轉(zhuǎn)換，既會說又會做。

3.構(gòu)建數(shù)圖模型，分解教學(xué)難點(diǎn)

數(shù)與形是同一事物兩種不同的表示方法，數(shù)是形的高度抽象，形是數(shù)的具體體現(xiàn)。心理學(xué)家皮亞杰說過：“兒童的思維是從動作開始的，切斷動作與思維的聯(lián)系，思維就不能得到發(fā)展。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)圖模型，分解教學(xué)難點(diǎn)，讓學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合，產(chǎn)生思維碰撞，逐步體會知識的產(chǎn)生、形成與發(fā)展的過程。學(xué)生通過構(gòu)建數(shù)圖模型發(fā)現(xiàn)一種知識或一種方法，這是每一個學(xué)生得到充分發(fā)展的有效策略。

二、拓展探索空間，提升數(shù)學(xué)思維

培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維最有效的辦法之一是讓學(xué)生親身體驗(yàn)，如果不到校外，也可以讓學(xué)生通過模擬現(xiàn)實(shí)親身體驗(yàn)，提升自己的數(shù)學(xué)思維，個人的思維在集體的智慧中得到發(fā)展。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過活用教學(xué)資源、創(chuàng)設(shè)體驗(yàn)情境、培養(yǎng)創(chuàng)新意識等拓展探索空間，設(shè)計(jì)一些學(xué)生親身體驗(yàn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生在體驗(yàn)中豐富對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，提升自己的數(shù)學(xué)思維。

1.活用教學(xué)資源，讓提升數(shù)學(xué)思維更豐富

課堂教學(xué)是一個生成性動態(tài)過程，教師要關(guān)注學(xué)生的活動和發(fā)展。蘇霍姆林斯基曾說過：“教育的技巧并不在于能預(yù)見到課上的所有細(xì)節(jié)，而在于根據(jù)當(dāng)時(shí)的具體情況，捕捉一些有價(jià)值的細(xì)節(jié)，巧妙地在學(xué)生不知不覺中作出相應(yīng)的調(diào)整和變動。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要巧用學(xué)生的出錯、打岔、爭議等作為教學(xué)資源，不追求唯一，成功，固然好，失敗了，也是一種財(cái)富。教師要有足夠的教學(xué)機(jī)智和教學(xué)策略，充分利用生成性教學(xué)資源組織數(shù)學(xué)教學(xué)，讓提升數(shù)學(xué)思維更豐富。

2.創(chuàng)設(shè)體驗(yàn)情境，讓提升數(shù)學(xué)思維更真實(shí)

創(chuàng)設(shè)體驗(yàn)情境，不僅能讓學(xué)生通過生活實(shí)踐活動掌握數(shù)學(xué)知識，而且能調(diào)動學(xué)生的積極性。生活中的許多問題需要我們用數(shù)學(xué)知識來解決。教師要溝通課堂內(nèi)外，把學(xué)生引向課外，給學(xué)生創(chuàng)造參與數(shù)學(xué)實(shí)踐的機(jī)會，鼓勵學(xué)生深入到街頭、商店、超市、銀行、公司……了解生活中的數(shù)學(xué)信息，體會學(xué)有所用。教師要打破作業(yè)內(nèi)容和形式的封閉性，與社會活動接軌，鼓勵學(xué)生“帶著問題走出課堂”，拓寬學(xué)生學(xué)習(xí)空間和知識來源，讓提升數(shù)學(xué)思維更真實(shí)。

3.培養(yǎng)創(chuàng)新意識，讓提升數(shù)學(xué)思維更綻放

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識是新課程改革教學(xué)理念，在實(shí)踐與探索中，只有給學(xué)生提供開放性問題，鼓勵學(xué)生多角度思考，才能真正落實(shí)新課程目標(biāo)。教師要引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考和解決問題，讓學(xué)生在活動中錘煉數(shù)學(xué)思維。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以針對教材中的內(nèi)容做些“小手術(shù)”，把封閉性提問改成開放性問題，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的一些基本策略，發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神，讓提升數(shù)學(xué)思維更綻放。

三、優(yōu)化教學(xué)策略，提升數(shù)學(xué)思維

課堂因生成而精彩，思維因生成而發(fā)展。每一個學(xué)生的生活經(jīng)歷不同，但都具有自己的情感體驗(yàn)。教師既要把握預(yù)設(shè)的教學(xué)進(jìn)度，又要使課堂教學(xué)具有更多的靈活性和空間性。教師要充分抓住那些，哪怕是你始料未及而又稍縱即逝的生成性教學(xué)資源，讓學(xué)生自主、生動活潑地學(xué)習(xí)，使數(shù)學(xué)課堂成為學(xué)生思維的運(yùn)動場。教師要優(yōu)化教學(xué)策略，通過關(guān)注差異、質(zhì)疑反思、調(diào)動情感，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

1.關(guān)注差異，分層思維

眾所周知，不同的學(xué)生認(rèn)知方式不同，思維模式、解決問題的方式方法也不一樣。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不應(yīng)企圖要求所有的學(xué)生都達(dá)到或形成同樣的思維層次。學(xué)習(xí)素材的選取和學(xué)習(xí)活動的安排都應(yīng)當(dāng)考慮到學(xué)生的個性和趣味。小學(xué)低年級至中年級的學(xué)生更多地關(guān)注“有趣、好玩、新奇”的事物。小學(xué)中年級至高年級學(xué)生開始對“有用”的數(shù)學(xué)感興趣。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，教師應(yīng)關(guān)注差異，分層思維，讓每一個學(xué)生都有明確表達(dá)自己想法的機(jī)會，切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

2.質(zhì)疑反思，拓展思維

“學(xué)起于思，思源于疑。”學(xué)生有了疑問，才會去思考問題，才能有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)造。科學(xué)家李政道說過：“學(xué)問，學(xué)問，要學(xué)習(xí)提問。”可見，問是思維的開端、創(chuàng)新的基礎(chǔ)。質(zhì)疑、反思是提升數(shù)學(xué)思維的一個有效策略。教師要讓學(xué)生通過質(zhì)疑、反思等活動進(jìn)一步尋求證據(jù)，給出證明或舉出反例，很自然地判斷出結(jié)果是否正確，當(dāng)然也提高了學(xué)生解題正確率。教師要以“思”為核心，引導(dǎo)學(xué)生勇于提出新奇的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生多思善問的習(xí)慣。教師應(yīng)尊重每個學(xué)生的個性特征，精心設(shè)計(jì)質(zhì)疑、反思這方面的訓(xùn)練，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

3.調(diào)動情感，深化思維

研究表明，對數(shù)學(xué)懷有積極情感的學(xué)生顯然比對數(shù)學(xué)缺乏熱情與興趣的學(xué)生學(xué)得更加輕松有效。教師要去挖掘其中的情感因素，充分調(diào)動學(xué)生的情感思維，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的積極情感。教育家愛因斯坦說過：“興趣是最好的老師。”作為促進(jìn)學(xué)生一般性發(fā)展的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，更應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的情感因素，使學(xué)生的非智力因素與智力因素協(xié)調(diào)發(fā)展。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是積極的、愉快的、富有想像力的過程，教師要調(diào)動學(xué)生的情感，使學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，提升數(shù)學(xué)思維。

四、開發(fā)作業(yè)設(shè)計(jì)，提升數(shù)學(xué)思維

作業(yè)是課堂教學(xué)的延伸和補(bǔ)充，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展來提升作業(yè)的質(zhì)量，使作業(yè)成為學(xué)生體驗(yàn)生活、開發(fā)潛能、體現(xiàn)個性的媒介。如果說數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是學(xué)生獲取知識的主陣地，那么作業(yè)就是學(xué)生學(xué)習(xí)的“助推器”。愛因斯坦說過：“負(fù)擔(dān)過重必導(dǎo)致膚淺。教育應(yīng)該使提供的東西，讓學(xué)生作為一種寶貴的禮物來享受，而不是作為一種艱苦的任務(wù)要他去負(fù)擔(dān)。”設(shè)計(jì)讓學(xué)生直觀形象、富有挑戰(zhàn)性的作業(yè)，引領(lǐng)學(xué)生自主、高效、快樂地參與作業(yè)，自然而然提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

1.“套餐”型作業(yè)：我的作業(yè)我選擇

“套餐”型作業(yè)：我的作業(yè)我選擇，是我在教學(xué)實(shí)踐中摸索的一種新方法，它具有比較明顯的特點(diǎn)：第一，利于確立學(xué)生在學(xué)習(xí)中的地位，以我為主，做自己喜歡做的事情。第二，體現(xiàn)因材施教原則，盡力讓每個學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上都有所提高，達(dá)到教學(xué)的總體要求與個性發(fā)展有機(jī)統(tǒng)一。第三，促使教師改變觀念，減少數(shù)學(xué)教學(xué)中的無效現(xiàn)象，減輕學(xué)生過重課業(yè)負(fù)擔(dān)。第四，實(shí)行作業(yè)的選擇制，使得學(xué)生不僅能學(xué)會知識，并且會學(xué)知識。在數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，教師可根據(jù)不同層次的學(xué)生設(shè)計(jì)仿例練習(xí)、變式練習(xí)、拓展練習(xí)，學(xué)生可以自主選擇適合自己的“套餐”，在解決“套餐”的過程中享受成就感。

2.“自助餐”型作業(yè)：我的作業(yè)我做主

“自助餐”型作業(yè)：我的作業(yè)我做主，也是我在教學(xué)實(shí)踐中嘗試的另一種新方法。“自助餐”型作業(yè)一方面能滿足學(xué)生量方面的需要：讓吃不飽的學(xué)生和吃不了的學(xué)生各得所需;另一方面能滿足學(xué)生質(zhì)方面的需要：讓不同認(rèn)知水平的學(xué)生自主選擇難度不同的作業(yè)。我在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中進(jìn)行了嘗試：作業(yè)只給學(xué)生一個范圍，讓其根據(jù)范圍自主選擇適合自己的作業(yè)。這樣做有以下優(yōu)點(diǎn)：第一，樹立信心。學(xué)生作主會選擇自己能做、會做的作業(yè)。第二，激發(fā)興趣。學(xué)生認(rèn)為自己的作業(yè)可以自己作主，愿意做，作業(yè)完成率高。第三，挑戰(zhàn)自我。剛開始的時(shí)候，學(xué)生都會選擇比較簡單的作業(yè)來做，經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練，有的學(xué)生也會選擇思維拓展題來做。

3.“DTY”型作業(yè)：我的作業(yè)我設(shè)計(jì)

實(shí)踐證明，學(xué)生對自己創(chuàng)造的練習(xí)更感興趣，也更投入。教育家蘇霍姆林斯基說過：“在人的內(nèi)心深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者，而在兒童的精神世界中這種需要特別強(qiáng)烈。”我打破傳統(tǒng)封閉模式，進(jìn)行實(shí)踐，“DTY”型作業(yè)：我的作業(yè)我設(shè)計(jì)。我讓學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，自己編題，當(dāng)一回作業(yè)的“導(dǎo)演”。他們在編題時(shí)會根據(jù)知識點(diǎn)，獨(dú)立思考，考慮如何編題。當(dāng)然可以是學(xué)生獨(dú)立編題，也可以是學(xué)生合作編題，這是新課改提倡的方式。學(xué)生通過一段時(shí)間訓(xùn)練，數(shù)學(xué)思維得到了培養(yǎng)。

教師提升學(xué)生思維最好的辦法就是和學(xué)生一起思考。追求數(shù)學(xué)課堂的深度思維，凸顯濃濃的數(shù)學(xué)味，這將成為我們每一位數(shù)學(xué)教師追求的目標(biāo)。教師要圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理念，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，改變觀念，激發(fā)學(xué)生深度思維。