深度研讀教材策略之三：豐富數學知識的表現形式

徐娜 周佳泉

【導讀】

復習課是小學數學課堂教學常見的課型之一。上好復習課，能有效幫助學生梳理已學的知識，形成系統的知識網絡，加深知識間的縱向和橫向聯系，有助于提高學生自主構建知識框架的能力。豐富知識的表現形式，給學過的數學知識穿上新的“外衣”，不但能給學生帶來新奇感，激發學生的學習興趣，更有助于學生對數學知識本質的深入理解。

本案例中，來自昆明市盤龍區盤龍小學的徐娜老師以“平面圖形面積的整理和復習”為例，生動詮釋了在數學復習課中豐富數學知識表現形式的教學策略，收到了良好的教學效果。希望能與各位同仁互相切磋，共同提高。

【案例】

課堂實錄：

一、談話導入

師：子曰：溫故而知新……

生：（齊背）可以為師矣。

……

（板書課題：平面圖形面積的整理和復習）

二、溫故知新

（一）面積和面積單位

師：什么是面積呢？

生：物體的表面或封閉圖形的大小叫做面積。

師：說得非常準確！你知道哪些關于面積的知識點？

……

師：我們是怎樣測量平面圖形的面積的呢？

……

（二）復習面積公式

……

師：你還想到了哪種平面圖形的面積推導過程？

（學生紛紛回憶）

生1：用兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形，其中一個三角形的面積就是平行四邊形面積的一半，所以三角形的面積=底×高÷2。

生2：用兩個完全相同的梯形拼在一起變成一個平行四邊形，其中一個梯形的面積就是平行四邊形面積的一半，所以梯形的面積=（上底+下底）×高÷2。

生3：將圓分成若干個扇形，拼成的圖形接近于長方形，近似長方形的長相當于圓周長的一半（2πr÷2也就是πr），長方形的寬相當于半徑（r），長方形的面積=長×寬，即2πr×r=2πr2。

……

師：這些平面圖形的面積還有其他推導方式嗎？（停頓幾秒，學生疑惑）老師這里還有兩種關于三角形面積的推導過程想介紹給大家。

（出示三角形面積公式的另類推導一）

……

生：將三角形轉化成長方形，面積不變，三角形的底就是長方形的長，長方形的寬等于三角形的高除以2，長方形面積等于長乘寬，也就等于底乘高的一半，S=a（h÷2）。它和S=ah÷2計算結果完全相同。

（出示三角形面積公式的另類推導二）

……

師：誰能具體說一說自己的想法？

生：將三角形轉化成長方形過程中，兩個圖形面積不變，三角形的高就是長方形的寬，長方形的長是三角形底的一半，長乘寬就是底的一半乘高，S=a÷2×h。它和S=ah÷2計算結果完全相同。

師：梯形面積公式的推導過程方法可就更多了。

……

生：原來梯形的上下底之和轉換成了平行四邊形的底，平行四邊形的高是梯形高的一半，平行四邊形面積等于底（梯形上下底之和）乘高（梯形高除以2），所以梯形的面積就是S=（a+b）×（h÷2）。它和S=（a+b）×h÷2計算結果完全相同。

……

生：轉化成長方形，長方形的長是原來梯形的上下底之和除以2，高（寬）不變，長方形面積就是上下底之和的一半乘高，所以梯形的面積就是S=（a+b）÷2×h。它和S=（a+b）×h÷2計算結果完全相同。

……

生：拼成一個大三角形，原來梯形的上下底之和轉換成了三角形的底，高不變，三角形面積就是上下底之和乘高再除以2，剛好就是梯形面積的計算公式S=（a+b）×h÷2。

三、平面圖形面積公式的本質

師：表達清楚完整，通過以上這些平面圖形面積公式的推導過程，你有什么想法？

……

生1：都是將未知圖形轉化成已經學過的圖形進行面積公式的推導。

生2：我發現三角形、梯形面積公式的另類推導其實還是幾個平面圖形的相互轉換。

……

師：因此，它們的面積公式其實源于？

生：長乘寬。

……

三、鞏固拓展

1.師：圓的面積公式的推導除了轉化成平行四邊形或長方形，想一想能不能轉化成其他圖形呢？

……

2.把一個底為8 cm的平行四邊形沿高剪開拼成一個長方形后，現在長方形的周長是24 cm。原來平行四邊形的面積是多少？

3.把一個底為8 cm的平行四邊形沿高剪開拼成一個長方形后，現在長方形的周長是24 cm。原來平行四邊形的周長最少是多少？（取整厘米數）

四、小結

這節復習課帶給你哪些啟發？

【思考】

本節課，徐娜老師巧妙構思，精心設計，給舊知識穿上了新的“外衣”，打破傳統數學復習課上簡單、重復、枯燥的復習方式，既有效激發了學生的學習興趣，又給學生的思維發展帶來了新的挑戰。具體體現在以下方面：

1.多種推導，深入本質。長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓等平面圖形的面積計算公式，絕大部分學生都已經倒背如流。但是他們真的理解這些公式的來源嗎？未必。本節課中，徐娜老師通過對三角形和梯形面積計算公式的多種推導方法，打破了學生的定式思維，讓他們感覺眼前一亮。在教師引導下，大家發現在變化的形態下面有著不變的本質——都是要弄清楚這個圖形內部包含多少個面積單位——變形的目的無非是讓它內部的面積單位排列更整齊一些，便于計算而已。這樣的教學，既能激發學生濃厚的學習興趣，又加深了學生對面積計算公式本質的理解——公式就是面積單位累加過程當中的簡便方法，僅此而已。

2.數形結合，殊途同歸。在期末考試閱卷中，我們經常會對這些算式發生爭執：（1）“求上底為7厘米、下底為8厘米、高16厘米的梯形面積。”學生列式為“（7+8）×（16÷2）”，究竟對不對？（2）同樣的題目學生計算過程為“（7+8）×16÷2=15×8=120（cm2）”，是否存在運算順序錯誤？通過徐娜老師這節課上多種面積計算公式的推導方式，我們不難發現：以上兩個問題，學生的列式或計算過程其實都是對的。甚至還可以這樣計算“（7+8）÷2×16”，這不就是初中學習的“梯形面積=中位線×高”嗎？像這樣在復習幾何知識的過程當中，順便把代數知識也給復習了。真可謂一舉兩得，何樂而不為呢？“數形結合”是小學階段重要的數學思想，我們對數學思想的滲透就應該這樣潤物無聲，不著痕跡。

3.知識“變臉”，尋覓“真身”。面積公式的推導過程，其價值不僅限于得到“公式”本身，更是促進學生思維發展的良機。平時教學中，常見某些教師非常嚴格地要求學生“復述”（甚至背誦）面積公式的“推導過程”，卻忽視了推導過程中所蘊含的重要數學思想。在鞏固練習部分，徐娜老師巧妙設計的第2道習題是一塊很好的“試金石”——看似不著邊際的“神題”，其實只要想通了平行四邊形變形前后的對應關系——面積不變、長與底相等、寬與高相等，再通過長方形的周長求出長方形的寬，就輕易地解決了這個問題——“當今”長方形的面積，就是“過去”平行四邊形的面積。如果我們在平時教學中多一些這樣的問題設計，必將促進學生對數學知識本質的深入理解更加深刻、透徹。

4.逆向思維，跳出圈外。數學知識的顯性應用對學生來說并不難，但是隱性應用形態對一部分學生來說就感到比較陌生了。徐娜老師設計的第3道鞏固練習題就取得了這樣的良好效果。乍一看，這道題似乎太難了。但仔細分析，它還是考查學生對平行四邊形變形前后的對應關系的理解程度——面積不變、底與長相等、高與寬相等，通過長方形的周長求出長方形的寬，再加上一個舊知識——平行四邊形的斜邊總比它的高要長一些（從直線外一點到直線上的所有連線中，垂線段最短），取整數就求出了原來平行四邊形的最短周長。

我們常常感覺復習課難上，學生不感興趣。其實，只要我們“挖空心思”，豐富數學知識的表現形式，給舊知識穿上新“外衣”，就能把復習課上得既生動有趣又有思維深度。