一類切換線性系統的持續有界擾動抑制

張洪光

摘 要：本文研究一類切換線性系統持續有界擾動抑制問題。首先回顧切換系統的一些相關概念，介紹切換線性系統在有界擾動抑制下內穩的概念，給出了一個等價條件，由此得到了一個使得閉環系統是內穩的且能獲得期望性能的線性狀態反饋控制器存在的充要條件。進而研究了不確定切換線性系統的類似問題，采用線性矩陣不等式方法，得到了該切換系統在任意的切換序列下魯棒穩定性條件，基于上述結果，提出了一個簡單的線性狀態反饋控制器的設計方法，從而獲得擾動抑制的一個期望性能。

關鍵詞：線性系統;切換系統;擾動

中圖分類號：O231 ?文獻標識碼：A ?文章編號：1673-260X（2021）06-0011-04

1 引言

切換系統（Switched systems）是一類混雜系統，混雜系統的概念是1986年在美國加州Santa Clara大學舉行的一次關于控制科學今后發展的專題研討會上第一次提出，隨之引起了計算機、數學以及國際控制界的高度重視，有關混雜系統的理論分析才被學者們系統地研究。混雜系統的提出能夠更好地解決控制對象復雜的控制問題，如大型供電系統、機器人控制系統、計算機集中制造系統、復雜工業生產過程、飛行器空中控制系統等。在切換系統理論研究方面，系統的穩定性一直都是控制領域研究的熱點問題，如何構造系統穩定的切換序列，即系統的鎮定問題得到廣泛研究。切換線性系統的狀態變量在不同子系統之間切換時可能出現跳變，子系統的穩定性不等于整個系統的穩定性，每個子系統都是穩定的，但是整個系統可以是不穩定的;每個子系統都不穩定，在特殊的切換規則下整個系統可能是穩定的。切換系統既具有連續系統連續性特點，又具有離散性特點[1-3]。

混雜系統數學表達式可表示為：

H=（Rn×M，RP×∑，f，？覬） ?（1）

在上式中，H的混雜狀態空間為Rn×M，輸入空間為RP×∑，f，？覬兩是兩個作用函數。連續變量作用函數f：Df？哿Rn×M×RP→RP

離散變量作用函數？覬：D？覬？哿Rn×M×RP×∑→M

其狀態方程為：

其中x（t）∈Rn為連續狀態變量，i（t）∈M為離散狀態變量，u（t）∈Rp為連續輸入，？滓（t）∈∑為離散輸入。連續輸出y（t）=g（x（t），i（t），u（t）），離散輸出Q+（t）= ?？覬（x（t），i（t），u（t），？滓（t）），y（t）∈Rp，Q+（t）∈O。

1.1 切換系統

切換系統是由若干個子系統和相應的切換規則構成的一類特殊的混合動態系統。當混雜系統在切換時刻切換時系統狀態不發生跳變，而且滿足右連續性，這樣的混雜系統就變為切換系統。切換系統通過各個子系統之間的切換行為實現預定性能指標。

切換系統的數學定義可描述為：

其中，x（t）∈Rn為系統狀態向量，y（t）∈Rm為輸出向量，u（t）∈Rp為輸入向量。fi（t）：Rn×Rp→Rn，gi（t）：Rn×Rp→Rm為子系統模型充分光滑的非線性作用函數i（t）：R+=[0，+∞）→M={1，2，…，m}為系統分段常值的切換信號，是自然數集合，它依賴于時間或狀態或時間與狀態，并認為切換序列信號也是右連續的。

切換系統的復雜性主要是“切換”行為的引入，不是簡單的子系統疊加。切換系統的穩定性與子系統和切換策略密切相關，系統的全局穩定性研究如何找到共同的Lyapunov函數，對任意的切換策略全局穩定。切換系統的延遲時間也是描述切換行為的重要工具。

1.2 切換線性系統

若（3）式所示的子系統模型函數可表示為如下一組仿射線性方程形式：

則切換系統變為切換線性系統。式中下標i={1，2，…，m}代表第i個子線性系統Ai∈Rn×n，Bi∈Rn×p，Ci∈Rn×n，Di∈Rn×p。若Ai，Bi，Ci，Di是時變矩陣，則系統（4）為時變切換線性系統。我們考慮在非時變情況下，即Ai，Bi，Ci，Di為與和時間沒有關系的常系數矩陣，用∑（Ai，Bi，Ci，Di）表示（4）式所示的切換線性系統。對于切換線性系統來說，切換信號以及它的子系統在切換時刻都保持右連續性。切換線性系統的切換信號也是時間、狀態或者時間和狀態的函數。切換線性系統切換一般發生在切換面上，切換面一般寫成如下形式的超曲面：

Hi=（x，t） i=1，2，…，m ?（5）

當系統狀態變量經過切換面時發生切換。根據切換面提供的切換信號發生方式，可以將切換線性系統分為任意切換線性系統、設定切換線性系統、周期切換線性系統幾種。

2 切換線性系統持續有界擾動抑制問題

2.1 研究背景和現狀

在實踐中，動力系統的持續有界擾動問題是一個值得關注的問題。文獻最先研究了對線性系統的持續有界擾動抑制問題[4]。在文獻中用信號范數來代替信號的峰值解決了離散時間系統和連續時間系統的L1優化控制問題[5]。綜合這些控制器需要解決一系列的線性規劃問題。線性系統的線性規劃問題最近幾年有普遍研究，不確定線性（脈沖）系統的線性規劃問題多有討論，然而對討論切換（不確定）系統中持續有界擾動抑制問題的研究很少。切換系統是一類由多個子系統和協調各個子系統運行的切換規則組成的混雜動力系統。由于在理論和實踐應用中的重要作用使得對切換系統的研究備受關注。在文獻中總結了三個關于切換系統穩定性設計問題[6]。第一個是在任意切換序列下的穩定性問題，第二個是在某些有用的切換序列下的穩定性問題，最后一個是可鎮定的切換序列的構造問題。對于第一個問題，Liberzon給出了在任意切換序列下穩定性的一些條件，對于第二個問題，主要使用經典李雅普諾夫理論的擴充的方法——多李雅普諾夫函數法。最后一個問題也獲得了許多可用的結果。但是所有上述研究只限于不含控制輸入的切換系統，并且對于切換系統的持續有界干擾抑制鮮有研究。受上面文章的啟發，將研究關于不確定切換系統的持續有界擾動抑制問題，不僅考慮切換信號和參數不確定性的影響而且考慮控制輸入。在這個方向得到了一些基本結論。具體而言，通過李雅普諾夫函數用正不變集的分析方法研究了受持續有界擾動的不確定切換系統的控制問題。

首先介紹了在任意切換序列下有界擾動抑制切換線性系統內穩的概念，用線性矩陣不等式給出了一個等價條件。然后將這個結果擴充到基于狀態反饋的切換系統的鎮定性問題上，從而獲得一個簡單的方法去設計控制器鎮定系統并獲得期望的性能。提出了一個使系統穩定并達到期望的干擾衰減水平的狀態反饋控制器的設計的簡單方法。本文還研究了參數不確定性的切換系統的類似問題，并給出了一些充分必要條件。最后用兩個數值例子驗證結果的正確性。

2.2 符號說明及引理

R表示實數集，Rn表示實n維實向量全體組成的空間，Rm×n是所有m行n列實矩陣集，BRp={w（·）∈RP：||w||2≤1}表示Rp空間中的閉單位球，AT表示矩陣A的轉置，I表示具有相應維數的單位矩陣。

為了分析持續有界擾動抑制性，考慮系統∑：

其中x（·）：R→Rn，W（·）：R→RP和z（·）：R→Rp分別表示狀態、外部擾動、可調輸出向量。矩陣A，B，C，D是具有恰當維數的實常數矩陣，假設W：={w：R→BRP是可容許擾動集，W是可測的，L∞范數定義為 ||w||∞=：supt=||w（t）||2，集合？贅是不可逃逸集[7]，如果對于未來所有的時間t>0，系統0∈？贅，x（0）∈？贅，||w||∞≤1，則有x（t）∈？贅。即如果從初始狀態的軌跡狀態在該集合中，則在未來任何一段包括原點時間，它仍保留在該集合中。

證明 由定理1及引理顯然成立。

4 結論

本文回顧了切換系統、線性系統的相關概念，討論了一類不確定切換系統的持續有界干擾抑制問題。給出了一個等價條件，即不確定切換系統在任意切換下是內穩定的且具有強的擾動抑制期望性能，當且僅當每一個子系統是內穩定的且具有強的擾動抑制期望性能。用線性矩陣不等式保證了不確定系統的魯棒穩定性和強的期望性能。

參考文獻：

〔1〕闕志宏.線性系統理論[M].西安：西北工業大學出版社，1995.

〔2〕于長官.現代控制理論[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2005.

〔3〕鄭大鐘.線性系統理論（第二版）[M].北京：清華大學出版社，2014.

〔4〕M.Vidyasagar，“Optimal rejection of persistent bounded disturbances，” IEEE Trans. Automat. Contr. 31（06）： 527–535， 1986.

〔5〕M. A. Dahleh and J. B. Pearson， “l1-optimal feedback controllers for MIMO discrete-time ?systems，”， IEEE Trans. Automat. Contr.， 32（02）： 314–332， 1987.9

〔6〕A.S. Liberzon， and A.S. Morse， “Basic problems in stability and design of switched systems，” IEEE Contr. Syst. Mag.， vol. 19， no. 5， pp. 59–70， 1999.

〔7〕J. Abedor， K. Nagpal， and K. Poolla， “A linear matrix inequality approach to peak-to-peak gainminimization” ，Int. J. Robust and Nonlinear Control， vol. 6， pp. 899–927， 1996.

〔8〕S. Boyd， L. E. Ghaoui， E. Feron， and V. Balakrishnan， Linear matrix inequalities in system and control theory ， SIAM， Philadelphia， PA 1994.

〔9〕I. R. Petersen， “A stabilization algorithm for a class of uncertain linear systems，” Systems & Control Letters， vol. 8， pp. 351–357， 1987.

〔10〕F.Hao，T.Chu， L. Huang and L.Wang，“Non-fragile controllers of peak gain minimization for uncertain systems via LMI approach” Dynamic of Continuous， Discrete and Impulsive Systems， vol. 10， no.5，pp.681-693，2003.