在規律探究中學會數學思維

錢慧

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“學生學習應當是一個生動活潑、主動和富有個性的過程。”從中我們可以知道，在數學學習中要讓學生最大可能地去經歷數學知識的發現、發展和掌握的過程，經歷數學思維活動過程，逐步揭示數學知識的本質屬性及內在聯系，并產生新穎的想法，提出創造性的見解。探究就是當學生在具體的學習情境中，選取一些問題作為突破點，在內心燃起“憤”“悱”之想時，教師為學生提供充裕的時間和適當的空間，讓學生獨立或合作積極參與觀察比較、猜想驗證、交流反思等數學活動，進行感知、體驗和發現知識的過程。在探究中，學生充分掌握數學知識的規律和本質，形成數學學習的方法和技能，發展學生的數學思維能力。下面以“探索規律”為例，談淡如何在探索規律的過程中發展學生的思維。

一、觀察比較，經歷抽象過程

學生思維能力的發展是從感性知識開始的，而觀察、比較、歸納、概括是學生感悟、發現知識的有效途徑。探究規律的教學就是引導學生從形形色色具體形象的觀察比較中抽取共同的本質特征，通過一系列的比較與區分、舍棄與概括的思維操作活動，發現共性，將共性的特點抽象成數學規律。在教學中，教師要引導學生經歷抽象的過程，可以從具體的例子中抽象出本質，也可以從關聯的數據中抽象出共性，幫助學生進一步積累抽象的經驗，鍛煉抽象的能力，逐步形成數學抽象思維。

例如，在蘇教版數學五年級上冊《釘子板上的多邊形》一課的教學中，在探究規律時，教師引導學生觀察多邊形邊上的釘子數越多，圍成的平面圖形的面積就越大。學生聯系已有的知識經驗提出問題：“釘子板上的多邊形的面積與邊上的釘子數有怎樣的關系呢？”接著讓學生觀察、計算幾個釘子板上的多邊形的相關數據填人表格中。

在此基礎上，教師引導學生觀察、比較表中數據，并適當啟發：“多邊形的面積”與“邊上釘子數”有什么關系？如果用S表示面積，n表示邊上的釘子數，您能用一個數量關系表示它們之間的關系嗎？像這樣，學生不僅能夠從變化的數據中抽象出不變的共性，即釘子板上的多邊形邊上的釘子數變了，圍成的多邊形的面積也變了，但是“S=n÷2”這一核心關系是不變的。

數學規律是數學抽象的產物，規律總是隱藏在現象之中，探究規律時要關注現象中隱含的特征和變化中不變的共性。學生通過觀察、比較、分析，經歷抽象的一般過程，感受抽象的主要特點，形成抽象思維。

二、猜想驗證，發展推理能力

在生動具體的學習情境中，學生會圍繞探究的問題，根據自己的數學經驗，憑借自己的直覺，進行合情推理（或演繹推理），提出自己的猜想，并加以驗證，又快又準地找到問題的答案。學生探究規律的過程離不開猜想和驗證，而猜想、驗證的過程又與類比、歸納、演繹等推理形式密不可分。學生通過對典型例子和具體數據的觀察、比較、分析，建立某種猜想，就是經歷由特殊到一般、由具體到抽象的歸納推理過程，再通過舉例驗證或分析驗證做進一步的推想，促進思維水平的進一步提高。在此過程中，逐步增強學生的推理意識、發展推理能力，進一步感受數學推理的嚴密性，形成辯證思維。

例如，在蘇教版數學五年級下冊《和與積的奇偶性》一課的教學中，在探究“和的奇偶性”的規律時，教師引導學生“任意選兩個不是0的自然數，求出它們的和，再看看和是奇數還是偶數”，并將列舉的算式及其結果填入表格中。

在學生填表之后，教師先讓學生列舉和是偶數的加法算式，仔細觀察，說說這些算式有什么共同之處，引導學生討論交流初步建立猜想：偶數+偶數=偶數;奇數+奇數=偶數。接著，讓學生繼續列舉和是奇數的加法算式，說說這些算式有什么共同之處，引導學生在討論交流中再次建立猜想：偶數+奇數=奇數。學生建立猜想的過程其實就是簡單的歸納過程，通過列舉的一些加法算式，基于它們之間的共同特點推出一類算式也應具有這樣的特點。

學生通過列舉的幾個例子歸納ILIJ猜想之后，教師實時提問：你能再舉一些例子驗證這些猜想嗎？你能找到不符合這些猜想的反例嗎？為什么兩個偶數相加的和一定是偶數，兩個奇數相加的和也一定是偶數，而一個奇數與一個偶數相加的和卻一定是奇數？通過舉例驗證或分析驗證，使相關猜想的可靠性得到增強，而且有助于學生感受由一般到特殊的演繹過程，發展學生的推理能力。

學生根據已有的知識經驗建立起知識之間的內在聯系，并根據顯現的數據或現象經過獨立思考后，做出一個合理的猜想，初步感知數學猜想中所隱含的數學規律。根據規律建構的一般原則，任何猜想必須進行嚴格的驗證，可以讓學生做出基于自己視角的證明或解釋，讓自己的猜想走向合理;也可以讓學生列舉更多的實例來完善自己的猜想，讓自己的猜想走向實證。在猜想驗證規律的探究推理過程中，學生的辯證思維不斷得到完善。

三、交流反思，感悟模型思想

在探究規律的學習中，學生發現規律后需要對規律進行交流與反思。交流規律既是把發現的規律與別人分享，又是對發現的規律做進一步的抽象與概括。對發現的規律進行數學化表達的過程，可以看成把數學規律抽象成數學本質的過程，也可以看成簡單的初步建模過程，在交流數學規律的過程中，讓學生初步感悟模型思想。反思規律是在學生抽象jLIJ數學規律模型之后回顧一下規律探究的整個流程：我們是怎樣發現并探究出這個規律的？讓學生進一步檢驗探究規律過程的合理性，進一步理解規律的正確性，并大膽地說出自己發現的規律，理解規律的意義，讓學生完整地感悟數學規律建立的模型思想。

例如，在蘇教版數學四年級下冊《多邊形的內角和》一課的教學中，教師先組織學生討論幾種常見多邊形的內角和的求法，并讓學生在討論中逐步認識到：可以先將一個多邊形分成幾個三角形，分得的幾個三角形的內角和正好等于相應多邊形的內角和。在此基礎上，將得到的數據有序地呈現出來，并引導學生進一步觀察、比較、分析，討論如果四邊形得內角和表示為“180°×2”，那怎樣表示五邊形、六邊形的內角和？七邊形、八邊形呢？繼而讓學生討論“多邊形的邊數”“分成的三角形的個數”“內角和”之間有什么關系？你能發現什么規律？學生討論后交流規律，初步形成規律模型：任意一個多邊形的內角和都是“邊數減2的差”與180。的乘積。如果一個多邊形的邊數用字母n表示，那么你會用含有字母的式子表示多邊形的內角和嗎？引導學生用含有字母的式子將發現的數學規律用簡潔的形式表示出來，深刻感悟規律模型。

學生探究出多邊形內角和的計算規律之后，教師并沒有進行鞏固練習，而是進一步讓學生回顧、交流、反思。一方面，讓學生回顧一下這個多邊形的內角和的計算規律我們是怎樣探究出來的，理解“從簡單的問題想起，有序思考”的探究規律的有效方法。另一方面，教師追問“n -2”所表示的含義，讓學生更深入地理解“邊數減2的差”就是一個多邊形從一個頂點出發至少可以分成的三角形的個數，每個三角形的內角和是180°，分成幾個三角形，相對應的多邊形的內角和就有幾個180°。學生在交流反思中更深刻地理解了多邊形內角和計算規律的合理性。

在規律探究的數學活動中，教師根據學生不同的知識水平和思維特點，讓學生將猜想驗證發現的規律用合適的數學形式表達出來，并進一步回顧反思規律的學習探究過程，是對規律模型更高層次的數學概括，也是更加完整地為數學模型分析和解決問題打好基礎。

在小學數學“探索規律”的教學中，教師要引導學生在探究情境中以積極的心態參與數學規律的探究過程，在觀察比較中學會用數學的眼光抽象化問題，在猜想驗證中學會用數學的頭腦推理分析，在交流反思中學會用數學的語言表達數學模型。學生在一系列的探究活動中，數學思維從具體直觀思維提升為富有經驗的抽象思維，最終形成科學嚴密的辯證思維。教師要重視研究學生數學思維的特點，在教學中積極引導學生學會用數學思維解決問題，獲得數學素養。

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