在合適的數學現實基礎上打通“學路”

張玉華

一、填補斷層，在自然銜接中打通“學路”

1.學生認知經驗中的斷層填補

奧蘇伯爾認為：影響學習最重要的因素，就是學習者已經知道了什么。教師要探明這一點，并應據此進行教學。例如，在學習《平行四邊形的面積》之前，學生通過擺小正方形、數小方格的方式探究出了長方形的面積，而這樣的學習經驗將伴隨著他們繼續探究新的圖形，所以教師應當關注學生學習經驗前后的銜接，在探究平行四邊形面積時，將方格圖移入平行四邊形，學生因為熟悉，所以會欣喜。此時未知的問題與以往的經驗有了很好的銜接，認知的通道就此打通。接著學生的直觀經驗告訴他們：數小方格的方法適用于規則的長方形和正方形，面對不規則的平行四邊形該怎么辦？這是學生經驗中的斷層，填補這個斷層教師只需要提供學習的素材和足夠開放的思考空間，引導學生將平行四邊形通過“割補”轉化成長方形，這個過程是學生學習經驗的發展和完善，也可以為其提供深層次建構的體驗。這種以變化促進思考、以思考培育能力的學習機制，可以讓學生真正產生有價值的探究。杜威曾說過：“教育，即經驗連續不斷的改造。”我們教師需要填補學生經驗中的斷層，關注學生經驗，聚焦問題，引導學生進行深層次探究。

2.教師教學設計中的斷層填補

教學設計是教師對教學內容、教學過程以及教學資源等方面所作出的統籌規劃，經過協調安排后所形成的教學預設。一個優秀的教學設計關鍵在于是否能觸發教與學之間的銜接點，瞄準學生學習的生長點。以《一一列舉》的教學為例，為了激發學生原有的生活經驗，達到對“一一列舉”的初步感知，教師設計了以學生喜歡的投鏢游戲作為導入：如果每人投一次（有10環、8環、6環以及投不中的），可能會得多少環？因為簡單，學生輕輕松松列舉出了所有可能。在學生還沒“玩”夠時，教師引出了例題：王大叔用22根l米長的木條圍一個長方形花圃，有幾種圍法？教學時為突顯有序思考，分三個層次展開：第一層，整理信息;第二層，有序列舉。第三層，展示交流，體驗有序列舉的重要性。接下來，在驗證交流環節時又設計了投鏢游戲，如果“投中兩次”，可能得到多少環？相比上課伊始的投鏢情況相對復雜些，因為涉及了投中的兩次可能是兩次相同的環也可能是兩次不同的環。學生雖然能用自己喜歡的方式列舉所有可能。但是在兩次投鏢游戲中間插入一個例題，給人一種斷層的感覺。筆者認為較好的做法是：游戲由簡單到復雜連續“玩”下去，而且放手讓學生去“玩”，也許他們會玩出別樣的精彩，甚至能多視角、多形式地選擇策略，解決問題，發展數學思維，從而對策略的認識更加科學化、深刻化。這樣的課堂既有層次感，結構也完整，同時能幫助學生巧妙地打通學習之路。

二、深入體驗，在合適情境中打通“學路”

兒童的潛能和經驗是要通過他們自身的活動，在持續交互的動態情境和互惠、生長的“生態環境”中實現的。教師要關注學生的感受，尊重他們的獨特體驗。正如日本著名數學家米山國藏所說：“我搞了多年的數學教育，發現學生們在各階段學習的數學知識在離校后不到兩年，便會很快忘光了。然而，無論他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數學精神、數學思維方法、研究方法……卻隨時地發生作用，使他們受益終身。”筆者以《圖形的平移》一課的情境體驗為例進行探究。

1.在認知沖突情境中激發探究欲望

上課伊始，筆者引出“藍色點”在方格紙中的移動，學生在觀察動畫后準確地描述了點向左、向有、向上、向下等平移不同的格數，這個設計在輕松的對話中，拉近了教師和學生的距離，喚醒了他們原有的認知經驗：只有把方向、距離兩個要素說清楚，才能把點的平移表述完整，這為后面線段、圖形的平移埋下了伏筆，找準了學習的方法。然后“紅色點”加入，兩點手拉手組成了一條線段，這時線段又變魔術般地平移了，“藍色點”對“紅色點”說“我在你前面，所以我比你平移的距離要遠”，“紅色點”不服氣，可是又說不上理由。一段有趣的動畫情境體驗激起了學生的認知沖突，點燃了思維火花，還沒等“兩個點”爭論完，學生急壞了，他們也爭論起來了。

2.在思維碰撞情境中指導探究策略

鄭毓信教授提出：從數學教學或數學教育過程來看，應更加強調通過數學幫助學生學會思維。這里的數學思維不是我們平常所說的一般的思考，它是一種更加上位、更加統整、更有超能的品性和習慣。學生的思維修養不僅僅表現在他所知道的數學結論上，更表現在他對數學思想的領會和潛意識的使用上。“可是兩點帶著線段平移了幾格？”學生紛紛猜測。實踐是證明結論的最好方法，學生根據線段隨著兩點也平移同樣格數，逐漸探究得出：線段的平移只要看線段上對應的點，點會隨著線段一起平移，這是難能可貴的發現。他們在思維碰撞情境中享受著數學探究的樂趣，體驗著數學特有的魅力和內在的理性精神，這需要教者精鋪巧設與智慧引領。

3.在問題解決情境中提升探究能力

“可是為什么要找這兩個點而不找線段上其他點呢？”在問題情境的驅動下，教師順勢出示了小房子的平移，學生有的說向右平移了6格、有的說向右平移了7格。出于解決問題的需要，教師示意學生拿出準備好的小房子圖用平移的方法檢驗：他們發現房子向右平移了5格，房子上的點也隨著房子移動，而且找到了房子上的對應點以及對應線。學生思維在不斷地交流與對話中趨于完整，思考力不斷走向深層次：不管是房子上的點、線還是面，只要是小房子的一部分，它們都向右平移了5格。在問題解決的情境中學生很好地詮釋了整體面的平移、局部面的平移、線的平移以及點的平移之間的關系，在合適的情境中巧妙地打開了學生智慧的大門。

三、整體感受，在遷移過程中打通“學路”

在課堂教學中，凡是學生能探索得出的，絕不替代。教師之為教，不在于全盤授予，而在于相機誘導。這個誘導需要教師在教學時多一些“系統”的眼光，多一些整體的考慮，把學科知識結構與學生的思維結構整合起來，形成一堂有結構的課，“教給”學生一種宏觀視野，一種整體感受，一種思維本質，一種建構啟示。如在《認識小數》一課前，學生知道了整數部分的計數單位依次往左拓展，10個一是1個十，10個十是1個百，10個百是1個千……反過來整數部分的計數單位往右延伸，比l小的數會是怎樣的數？巧妙的遷移打通了學生對小數學習的需要，而且把10個0.1等于1的進率順利推導出來，從而產生了10個0.01是0.1，10個0.001是0.01……然后把小數計數法中“滿十進一”的規則也揭示了出來。這種整體感受的線性脈絡將整數部分和小數部分之間的一個個關系串聯起來，形成結構體系。

弗賴登塔爾說：“泄露一個可以由學生自己發現的秘密，那是壞的教學法，甚至是罪惡。”例如，在《直線、射線、線段、角》的教學中，我們充分承認學生“有限”的空間學習經驗，著重在端點的認識和端點的作用處人手。然而“有限”的認知反而阻礙了新知的探究，學生對于“無限”的認識，還停留在有限思維的范圍之內。這時教師需要將學生的認識引入有意義的現實中去，例如，汽車的前燈光、太陽射出的光線等讓他們去發現射線，感知無限。而后，產生對線段一端無限延伸的需要，完成對“無限”的認知。并再次推進“無限”的進一步理解，通過讓學生想象“假如線段中間的直線，突破了兩個端點，向不同的方向延伸，這條線將會是一個什么狀態？延伸到哪里？”這個關于“想象”的要求正是突破了“有限空間”的思維，遷移到了“無限空間”的領域。

上善若水，隨物賦形。教學活動應順應學生天性，在合適的數學現實基礎上整合出學生“帶得走”的知識結構和思維結構，由此產生情感和智慧的共鳴，打開一條優質化的學習之路。