緊扣內角，感悟推理

林志輝 朱昭偉

【教材內容】

人教版數學四年級下冊P69。

【緣起】

《多邊形的內角和》是本版教材新增課例。該課教材先是給出“四邊形的內角和是多少度？”引發思考，嘗試激活學生已有知識經驗，提出猜想并通過剪拼、推導計算等方法驗證猜想，進而得出“四邊形的內角和是360。”的結論。本課應是小學階段少有的幾何推理課例，發展學生的空間觀念和推理能力應是其核心價值追求。

筆者的想法是緊扣“內角和”，以問題引導，引領學生經歷“用三角形的內角和推導四邊形內角和”的探究過程，進而將推導的方法推廣至“多邊形的內角和”，并適當感悟內角和公式模型。

其教學目標定位為：

（1）了解四邊形的內角和的特征，會求多邊形的內角和。

（2）經歷四邊形的內角和及多邊形內角和的探究、推導過程，發展空間觀念和推理能力。

（3）感受數學知識之間的聯系，收獲成功的經驗，激發數學學習的興趣。

【實錄】

（一）回顧舊知，喚醒經驗

1.圖形對比，猜想內角

師：這是一個三角形，它的內角和是-180°。

師：猜一猜，這些圖形中，誰的內角和最大，誰的內角和最小？

師：那么，四邊形的內角和是多少呢？

2.學情反饋，聚焦內角

（1）測量法

師：其實，這個問題我們課前已經做了研究，這是某某同學的作品（如下圖）。

師：你知道他是怎么說明四邊形的內角和的嗎？

學生回答，作品學生回應。

（2）剪拼法

師：這里還有種方法，它可以說明內角和是360°嗎？（課件動態演示）

【設計意圖：通過對比圖形，反饋前測，聚焦內角和，既明確研究的對象，又為后續探索掃除知識點的障礙。借助展示激活學生測量、剪拼等方法經驗，并結合課件動態演示，為四邊形的內角和推導積累感性經驗，還回應了學生的思考關切。】

（二）大膽探索，推理計算

1.直奔主題，推理內角

師：那能不能直接“用三角形的內角和是180°”來推導出四邊形的內角和？學生獨立思考、嘗試解答、小組交流。反饋作品。

（1）反饋作品1師：猜猜看，他們是怎么推導的？

學生作答后出示算式。

（2）對比反饋作品2

師：你們的意思是分成兩個三角形就是內角和180°×2=360°。那像這樣把它分成4個三角形，四邊形內角和就是1800×4= 720°？

生：這個不對，多了中間的4個角。

生：四個三角形的內角和是720°，但是中心點那里的四個角形成的周角不屬于四邊形的內角，所以要減去。

生：這么分割也可以，只要減去不是四邊形內角和的部分就可以了。也就是180°×4-360° =360°。

課件出示，小結方法。

師：剛才大家用兩種方法都推導計算出了四邊形的內角和是360°。

師：如果分割成這樣的三個三角形，你還能列式求它的內角和嗎？

180°*3 - 180° =360°。

【設計意圖：直奔主題，引導學生用三角形的內角和推導四邊形的內角和。同時，圖形、算式、語言、直觀等形式的表征及相互間的轉換，豐厚了學生對四邊形內角和的理解，發展了學生的空間觀念。多種方法的沖突、對比并走向融通，使學生對四邊形內角和的理解更清晰、更深入、更全面、更合理。】

2.推廣泛化，對比方法

（1）方法一般化

師：想象一下，是不是所有的四邊形都能這樣求出內角和是3600呢？

①任意拉動四邊形頂點（一般四邊形）進行驗證。②拉動至凹四邊形驗證。

③小結。

師：現在我們知道，所有的四邊形都能推導計算出“四邊形的內角和是360°”。

（2）對比優化

師：你們可真會思考。能用這樣的三種不同方法推導求出四邊形的內角和是360°。那你最喜歡哪種方法？

【設計意圖：優化凸顯了基本方法，又再次讓學生關注思考方法間聯系的異同，有利于思維更清晰。】

（三）推廣歸納，拓展提升

師：剛才同學們推導出了四邊形的內角和，你還想推導哪些多邊形的內角和？

180°

180°*2

出示任務（學習單）。

①求出五邊形的內角和。

②任意畫一個多邊形，求出它的內角和。

學生獨立思考、操作，適時小組交流。

集中反饋五邊形。

（1）多類型作品展示

師：有540°、720°、900°，五邊形的內角和到底多少度？（2）不同方法正例反饋

師：這幾幅作品畫法都不一樣，怎么都推導出是5400？

生：第一種方法是分割成三個三角形進行推導，第二種是分割成一個三角形和一個四邊形推導，都是可以的。

生：無論哪種方法求內角和，只要減去不是內角的部分就可以了。

【設計意圖：通過正例錯例沖突、多種推導方法沖突，在沖突中實現認識的提升，促進理解的深刻，也為下一步感悟多邊形內角和積累了素材。】

拓展延伸。

師：現在已經知道，五邊形可以分成3個三角形，它的內角和是180°×3=540°。

師：想象一下，6邊形可以分成幾個三角形？內角和就是——180°×4=720°。

180°

180°*2

180°*3

師：像這樣分成4個三角形，內角和就是180°×4= 720°。

師：7邊形呢？

生：分成5個三角形，180°×5。

師：10邊形呢？100邊形呢？

師：任意邊形呢？

生：只要邊數減去2乘以180°就可以了。

板書：多邊形的內角和=（邊數-2）×180°

【設計意圖：充分的數形結合，充分感受幾何推理的魅力，借助課件強大的數、形同步功能，讓公式模型的感悟歸納水到渠成。同時通過課件動態直觀，結合想象，讓學生感悟到“正無窮多邊形”趨向圓的現象，滲透了極限思想。】

【反思】

（一）緊扣“內角和”，感悟推理

本課始終緊扣“內角和”，從“多個多邊形內角和比大小”到“猜想、驗證四邊形內角和”，到“推導計算四邊形內角和”，再到“推導計算五邊形內角和”，最后到“推導計算多邊形內角和”，層層遞進。前期的“猜想、驗證”環節，契合學情、快速有效，為后續推導計算積累感性認識。“推導計算四邊形內角和”環節作為本節課的“種子”，充分的操作、全方位的沖突、高直觀的演示、方法間的勾連和對比優化，使得學生充分感悟“四邊形的內角和”的推理過程。五邊形的內角和推導作為練習鞏固，相對于四邊形，在復雜程度上有所提升，既演練推理又促進對內角和的深刻理解。后續的“多邊形內角和推導”則以問題引導，在學生已有操作經驗的基礎上通過想象、課件直觀，讓“多邊形的內角和”推導及公式模型的抽象一氣呵成。縱觀整課，可謂緊扣“內角和”，基本不離推理。

（二）幾何畫板助推課堂

作為空間與幾何領域的課例，幾何畫板高直觀、高互動、高動態的特性在本課中表現得淋漓盡致。先不論“用剪拼法驗證四邊形內角和”的動態演示，就談幾何畫板在本課關鍵點和疑難點的關鍵作用。關鍵點：在四邊形內角和推導計算的課件動態演示環節，先是幾種方法動態分割成三角形的演示，三種方法間的拉動勾連，以及通過拉動頂點變形為任意四邊形感悟方法的一般化，無一體現幾何畫板的強大優勢。而在概括抽象多邊形內角和公式這個疑難點，運用迭代效應，圖形變化從6邊形開始，到7邊形、10邊形、100邊形，直至任意邊形，數形同步變化、完美結合，內在關系始終不變，公式抽象水到渠成。而在迭代過程中，學生感受到了邊數趨于無窮、正多邊形趨于圓的極限思想，從長遠來看，可能更有價值。