區間q階正交模糊集的明考斯基距離測度在多屬性決策中的應用

馮飛翔 李鴻旭

【摘? 要】作為q階正交模糊集的擴展，區間q階正交模糊集是處理不確定信息的有力工具。在此基礎上，定義了區間q階正交模糊明考斯基距離測度和相似性測度的公式，并研究了這些測度的基本性質。最后，將區間q階正交模糊明考斯基距離測度和相似性測度應用于多屬性決策中，通過算例證明區間q階正交模糊距離測度和相似性測度的有效性和可行性。

【Abstract】As an extension of the q-rung orthogonal fuzzy set， the interval q-rung orthogonal fuzzy set is a powerful tool to deal with uncertain information. On this basis， the formulations of interval q-rung orthogonal fuzzy Minkowski distance measure and similarity measure are defined， and the basic properties of these measures are studied. Finally， the interval q-rung orthogonal fuzzy Minkowski distance measure and the similarity measure are applied to the multi-attribute decision making， and the validity and feasibility of the interval q-rung orthogonal fuzzy Minkowski distance measure and the similarity measure are proved by an example.

【關鍵詞】區間q階正交模糊集;明考斯基距離;相似性測度

【Keywords】interval q-rung orthogonal fuzzy sets; Minkowski distance; similarity measure

【中圖分類號】 O159? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文獻標志碼】A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文章編號】1673-1069（2021）08-0181-02

1 引言

為了處理不確定信息，在決策中引入了一些不確定數學工具，如模糊集、直覺模糊集、畢達哥拉斯模糊集和q階正交模糊集。然而，在許多實際的決策問題中，決策者總是很難用一個精確的數字準確地描述他們的觀點。但是，它們可以用[0，1]的區間數來表示。這表明有必要引入區間q階正交模糊集（IVq-ROFSs）[1]，其中隸屬度和非隸屬度由區間值給出。

距離測度和相似性測度是確定兩個對象之間差異和相似程度的重要工具。隸屬度和非隸屬度使用區間數來表示比使用精確數字能更好的表達信息的復雜性和不確定性。相似性測度在處理不完善和不確定的信息中起著重要的作用。然而，目前很少有學者關注IVq-ROFSs的信息測度。因此，本文研究了區間q階正交模糊集的明考斯基距離測度定義和公式，并通過算例驗證本文所提方法的有效性和可行性。

2 預備知識

定義 2.1[1] 設X={x1，x2，…，xn}為一個論域，X上的區間q階正交模糊集義為

權明考斯基距離測度可定義為

=（ω1，ω2，…ωn）T為權重向量。

若λ=1，則退化為加權Hamming距離：

若λ=2，則退化為加權Euclidean距離：

若ω=（1 /n，1/n，…，1/n）T，則退化為標準Hamming距離：

4 算例分析

4.1 應用算例

某投資公司現有4個項目，其中項目B1、B2和B3是實施項目，B4是未實施項目備，為了確定項目B4與哪個項目最為相似，專家通過以下4個指標進行評估：D1產品價格、D2產品質量和D3風險因素，權重向量為ω=（0.3，0.3，0.4）T，專家的決策矩陣如表1所示（q=1，λ=1）。

根據公式計算得出：

4.2 比較分析

為了驗證本文所提相似性測度的可行性和通用性，將本文所提方法與文獻[2]和[3]的方法進行比較。

文獻[2]的方法無法計算本文算例中的屬性值，是因為區間直覺模糊集需要滿足隸屬度區間與非隸屬度區間之和小于等于1的條件。但是，本文算例給出的屬性值中隸屬度區間與非隸屬度區間之和大于1，本文所提相似性測度中IVq-ROFSs滿足條件。因此，本文提出的相似性測度比文獻[2]中的相似性測度更具可行性。

文獻[3]的方法與本文算例的計算結果一致。雖然，區間畢達哥拉斯集滿足隸屬度區間與非隸屬度區間的平方和小于等于1的條件。但是，由于實際中多屬性決策問題本身的復雜性，區間畢達哥拉斯模糊數不能描述區間隸屬度與區間非隸屬度平方和大于1的情況。這說明區間畢達哥拉斯模糊相似性測度的適用范圍較小，不能完全滿足本文算例中的決策問題。因此，本文所提的相似性測度更具有通用性。

5 結論

針對區間q階正交模糊多屬性決策問題，本文給出并討論了區間q階正交模糊集的距離測度和相似性測度，并研究了這些測度的性質。最后，本文通過算例對所提測度的有效性和可行性進行了驗證。在未來，我們將采用其他方式的信息測度，如多屬性群體決策。

【參考文獻】

【1】Joshi B P， Singh A， Bhatt P K， Vaisla KS. Interval valued q-rung orthopair fuzzy sets and their properties[J]. Journal of Intelligent and Fuzzy Systems， 2018， 35（5）： 5225-5230.

【2】Xu Z S， Yager R R. Intuitionistic and interval-valued intutionistic fuzzy preference relations and their measures of similarity for the evaluation of agreement within a group[J]. Fuzzy Optimization and Decision Making， 2009， 8：123-139.

【3】Zhang X L. Pythagorean Fuzzy Clustering Analysis： A Hierarchical Clustering Algorithm with the Ratio Index-Based Ranking Methods[J]. International Journal of Intelligent Systems， 2018， 33（8）： 1798-1822.