中數不等式的高數解讀與教學建議

黃燕紅

(福建省廈門第一中學 361009)

隨著時代的需要和課程的改革，中學教材中逐漸出現高等數學中一些基礎知識，也滲透著經典高等數學的思想和方法，以考察學生的學習潛力和培養學生的思維能力.關注近幾年的高考試題，為了實現高考的選拔功能，往往考查一些基于高等數學背景的問題，并且這些問題通過轉化總能用中學知識與方法求解.因此在實現對學生知識傳授的完善外，要如何對中學數學知識進行高觀審視的同時又不忽視雙基的學習與鞏固，已經成為一線教學關注的焦點.

一、中學數學中不等式的常用證明方法

1.用綜合法和分析法證明不等式

綜合法是基于所給的已知條件或者某些定義、定理、公式，經過一系列的推理論證，最后推出題目所要證明的不等式成立.分析法則是從題目給定的結論入手，進行逆向推導，使得每一步都要是上一步的充要條件，最終達到題目給出的已知條件.

2.用放縮法證明不等式

在證明過程，對不等式一端進行恰當的放大或縮小.利用此方法來證明不等式的技巧性很強，主要是尋找中間變量c，使得a

3.反證法證明不等式

反證法在證明不等式問題中也被經常使用.當用此方法來證明不等式時，第一步，假設題目中的結論不成立；第二步，依據題中所給條件，結合相關的概念和性質，逐步導出與這些概念、定理、性質、已知條件中的任一個都矛盾的結果，從而肯定原結論是正確的.

4.數學歸納法證明不等式

對于一些包含n(n∈N*)的不等式，驗證n取值時不等式成立，如果假設不等式n=k(n∈N*)時成立，將n=k+1代入不等式，并運用n=k時所得到的結論，證明n=k+1時也成立.則可以說明對取得的初始值后面的任一自然數該不等式都成立.通常情況下，在此種方法中要用到放縮法.

5.導數法與函數單調性證明不等式

當x屬于某個區間，有f′(x)≥0，則f(x)單調遞增；若f′(x)≤0，則f(x)單調遞減.這種證明方法技巧性比較低，有一定的套路可循，也是學生在證明不等式中常用的證明方法.

在中學數學里不等式的應用很廣，除了上述介紹的以外，還有構造法、借助幾何法、函數極值法等等，在看到題目時，學生要根據所給的條件分析不等式的類型，選取最優的方法來證明，這不僅可以提高準確性也大大的減少了運算時間.

二、高等數學中不等式的常用證明方法

用高數的知識和方法審視中學不等式，從更高知識層面上解不等式，不僅可以使我們居高臨下地觀察問題，確定解題思路，剖析問題實質，尋求簡單方法，還可以提高教師把握教材的能力，開拓師生的思路.

1.利用特殊不等式的結論證明不等式

(2)伯努利不等式：對-11或r<0，則(1+x)r>1+rx；②若0

一般來說，不等式的證明都要經過復雜的變形、運算，但通過不等式巧妙變形并且引用一些眾所周知的結論比如上述說的柯西不等式定理或者伯努利不等式定理加以演算，不僅方法新穎，而且簡單明了.

2.利用微分中值定理證明不等式

利用微分中值定理為不等式的證明帶來了許多方便之處.如果不等式經過簡單變形后，與任一定理結構相似，就可以在所給區間上構造一個函數，保證該函數符合中值定理可實現的前提條件.其中的關鍵是對ξ點的處理，分析函數或者導數在該點的性質即可得到結論.

3.泰勒展開式在不等式中的應用

泰勒展開式證明不等式雖然步驟比較復雜，但是準確率較高.具體做法為在區間內的一些特殊點(端點、中點、零點)展開函數f(x)，發現其余項在ξ點具備的性質，得到結論.

4.概率在不等式證明中的運用

在概率論中，所有事件的發生概率都處于0與1之內，則有了不等式的存在.解決這類變量取值在0與1之內的不等式，通常要完成一個不等式問題與概率問題的轉變，也就是將這些變量當相關事件的概率，應用概率相關知識來解不等式問題.此種做法的主要步驟分析數學問題的種類，找到匹配的概率模型，依據兩者的概念和性質來解答.

三、不等式證明在中學數學和高等數學中的差異

例2若a,b∈(0,1)，證明：a+b-ab<1.

證法一因為00，則(a-1)(1-b)<0.即a-ab-a+b<0，即a+b-ab<1.題設中的a,b∈(0,1)容易引發聯想——a,b可以視為事件A，B發生的概率，進而可借助概率的相關知識審視欲證不等式，得如下證法：

通過例題可見，在《課程標準》的指導下，許多中學不等式試題的命題設計往往以高等數學的某些內容為背景，通過對高等數學的一些問題進行改造和轉化，使得問題均可以用中學的方法來解決，立意雖高，但落點低，需要學生扎實的基礎以及一定的邏輯思維能力.

在中學數學領域，不等式的解題步驟經常顯得繁、難、偏.因為題型多變、解題方式變通性強，加上無固定的規律可循，因此，解題的關鍵就落到不等式的基本定義和性質上來，只有基礎打的牢，才能達到活學活用的效果.事實上，也正是因為不等式證明求解中技巧性高、綜合性強的特點，給學生學習帶來一定的難度，所以課標課程對不等式學習要求有所降低.

在高等領域，解題方法通常是，運用精確的定義對高中的某些結論進行證明，這是一個里程碑式的飛躍，而且大學的證明方法更加簡便快捷，使我們一目了然，不等式證明過程雖然簡潔明了，但技巧性強.在證明過程中能夠更加重視理論推導和抽象思維.因此，在解答題目的時候，應重視解題策略的使用.

四、教學建議——“合理前凸”與“奠定基礎”

“合理前凸”指教師應該從中學教學大綱和教材出發，以應用廣泛且易于理解的高等數學內容為背景，用高等數學觀點做必要的拓展，如在知識聯系面上常規方法的綜合運用拓展，題型創新程度上的拓展，而非偏離教學大綱的拓展，不可走形式主義，生搬硬套地將高等數學的知識下放，異化成教材的擴充教學.

“奠定基礎”指教師教授新知時對相關舊知識進行回顧，適時地對中學數學問題系統地加以思想上的總結和數學方法方面的提煉，使得中學數學中存在的松散狀態得到改善，幫助學生改變題海戰術，引導學生構建屬于自己的解題和學習方法.

五、教學策略應用

教師要適時地用較高的觀點來解釋和研究中學數學中的問題.同時要注重比較、回顧已學知識來統一數學中比較松散的體系，不要一味追求高觀點而忽視雙基的鞏固.教師可以在講授新課或者平時的習題講評中把涉及到的高數背景并聯系以往的舊知講解給學生聽，這不僅能為學生奠定基礎還能提高一定的數學素養，提高思維能力.以下通過案例說明“合理前凸”、“奠定基礎”教學策略的應用.

案例1基本不等式

奠定基礎：

案例評說：上述的案例通過情景的引入，幾何畫板的運用，利用幾何直觀讓學生自主建構了公式的形成過程，強調了數形結合的思想方法.在公式的證明過程中，強化了作差法，深化了數列的橫向應用.這些活動過程都有利于學生鞏固相應的數學基礎.并且在不背離《課程標準》的前提下，合理的前凸——與高數中n維空間等內容進行了對接，同時也體現了特殊與一般的思想方法，有利于學生對公式的掌握與應用.

案例2柯西不等式

已知x1,x2,x3,…xn∈R，n∈N*求證：

合理前凸(向量的內積不等式)：

令a=(1,1,…,1),b=(x1,x2,x3,…xn)，根據向量數量積的定義有a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉.

案例評說在本案例中，以柯西不等式為橋梁，充分體現了合理前凸，奠定基礎的教學策略.通過概率中平均值與方差的性質和關系來證明不等式，不僅鞏固了概率相關知識也促進新知識與學生認知結構中的已有的知識網絡的融合.在不影響學時并在學生能夠接受的范圍內，引入高等數學中n維向量內積，拓展了學生數學視野、豐富了學生的數學解題方法.

總之，合理前凸，奠定基礎的教學策略，能夠潛移默化地幫助學生初步認識初等和高等知識間密切的關聯，進而在恰當的時候養成用高等知識審視中學知識的習慣，在思維方式上，達成現代與經典數學之間的相輔相成，能使學生頭腦中的知識結構更加細節化，整體化.教師通過梳理中學數學和高等數學中相關聯的知識，將這二者的思維方法有機結合，運用在課堂中，不僅能使學生接受高等知識的同時，鞏固初等知識，也有利于教師提升教學水平和科研能力.