至少類問題的直接解答

俞新龍

(浙江省紹興市柯橋區平水鎮越崎中學 312050)

高中數學中有一種至少類問題廣泛出現在各主干知識點中，此類問題常因直接解答時極易出錯而且錯誤原因較難分析，從而通常以分類討論形式解答，雖說問題也解決了，但實際上學生心里是不滿意的，為什么不能使用首先在大腦中生成的直接解法來解答呢？本文對課本中一道例題的教學進行分析，試圖對至少類問題的直接解答進行一次有益探索.

一、原題及解答

題目(人教版選修2-3第34-35頁例8)在100件產品中，有98件合格品，2件次品，從這100件產品中任意抽出3件，

(1)有多少種不同的抽法？

(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少種？

(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？

二、學生錯誤解法以及錯誤原因分析

絕大多數學生在解答上述第(3)小題時給出的并不是上述兩種解法之一，而是下面錯誤的直接解答：

從答案上看顯然是多算了，問題出在哪？到底多算了哪些？為了直觀上理解這個問題，我們不妨采用列舉法，又為了列舉的方便且不會改變問題本質，我們不妨將問題改為：

在5件產品中，有3件合格品，2件次品， 從這5件產品中任意抽出3件，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？

三、直接解答的進一步理解

為便于學生對正確的直接解答的理解，我們可以找下面的例子來幫助鞏固.

1.通過集合來理解

在人教版的近幾版教材中都有一份閱讀與思考材料《集合中元素的個數》，該材料指出，對任意兩個有限集合A，B，有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)，所以對于選修2-3例8(3)來講，我們可以從集合中元素的個數角度來理解.

對于這個思路，還可以類比理解原例題的如下變式.

變式1 在100件產品中，有97件合格品，3件次品，從這100件產品中任意抽出3件，抽出的3件中至少有2件次品的抽法有多少種？

變式2 在100件產品中，有96件合格品，4件次品，從這100件產品中任意抽出3件，抽出的3件中至少有2件次品的抽法有多少種？

變式3 在100件產品中，有97件合格品，3件次品，從這100件產品中任意抽出3件，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？

2.通過一道經典排列題來理解

四、用直接解答解決問題

至少類問題存在于不同的主干知識中，為幫助學生對正確的直接解答方法的掌握，可通過類似以下習題的解答來強化.

問題1 已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0至少有一根在(1,+∞)內，求m的取值范圍.

解析如果不是直接解答，一般常用分類討論求解.

其實類似該題的問題完全可以直接解答：

問題2 若方程2x2-ax+1=0在[3,+∞)上有解，求實數a的取值范圍.

解析若不是直接解答，一般常用變量分離法求解.

因為有解即表示至少存在一個，所以類似該題的問題完全可以直接解答：

解析本題分類討論求解非常繁雜，還是直接解答來得比較好.

五、一點想法

哈爾斯說：“問題是數學的心臟.”數學學習離不開解題，波利亞說：“中學數學的首要任務就是加強解題訓練”“解題是一種實踐性的技能，就像游泳、滑雪或彈鋼琴一樣，只能通過模仿、練習和鉆研來學到它.”因此，在解題教學實踐中，教師講解時應該找準解題教學的著力點，筆者認為像本文前面論述的這種情況正是教師應該著力研究并解決的解題狀況，也符合在學生最近發展區開展教學的要求.最后以美國著名數學教育家波利亞說的一句話與老師們共勉：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”