函數(shù)思想在高考中解題的應(yīng)用

蔡金兵

(江蘇省啟東市匯龍中學(xué) 226300)

函數(shù)是我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)非常重要的概念，它貫穿在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié)內(nèi)容中，一直是高考和各地模擬考試重點(diǎn)考查的內(nèi)容，構(gòu)造函數(shù)并不是一眼就能看出來的，要配合敏銳的洞察力，借助于數(shù)形結(jié)合，深層挖掘其內(nèi)在聯(lián)系.我們在解題過程中，要善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出我們熟悉的函數(shù),然后巧用函數(shù)的某些性質(zhì)，這是我們構(gòu)造函數(shù)的關(guān)鍵.

一、在不等式中的應(yīng)用

例1設(shè)函數(shù)f(x)=x2-aln(x+1)，其中a∈R.

證明當(dāng)a=1時(shí)，則f(x)=x2-ln(x+1).

令h(x)=x3-f(x)=x3-x2+ln(x+1),

所以h(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增,h(x)≥h(0)=0.

所以ln(x+1)≥x2-x3.

二、在三角函數(shù)中的應(yīng)用

例2函數(shù)f(x)=sinx，若f(x)+1≥ax+cosx在[0,π]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析不等式等價(jià)于ax+cosx-sinx-1≤0.

令g(x)=ax+cosx-sinx-1,

所以若要g(x)≤0，只需h(x)≤0，下面進(jìn)行證明：

故h(x)在(0,x0)單調(diào)遞減，在(x0,π)單調(diào)遞增.

所以h(x)max=h(0)=h(π)=0.

所以h(x)≤0恒成立.

三、在零點(diǎn)問題中應(yīng)用

例3 已知函數(shù)f(x)=|xex|，方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四個(gè)零點(diǎn)，則t的取值范圍為____.

解析令g(x)=xex，故g′(x)=ex(x+1).

即可繪制函數(shù)f(x)的圖象如圖1所示.

圖1

四、在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)思想的本質(zhì)是指應(yīng)用我們所熟悉的函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題進(jìn)而解決困難問題的思想.構(gòu)造函數(shù)思想概括起來有以下幾步：

(1)仔細(xì)讀題，觀察題目類型和結(jié)構(gòu)，與我們熟悉的函數(shù)有何內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而構(gòu)造出可以解決問題的函數(shù)；

(2)利用相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，配合數(shù)形結(jié)合等方法，進(jìn)而得出相應(yīng)的結(jié)論；

(3)可以嘗試將不常見的函數(shù)模型中的結(jié)論返回原理中，進(jìn)而得出正確的結(jié)論，因此構(gòu)造函數(shù)思想在整個(gè)高中數(shù)學(xué)階段有非常廣泛的應(yīng)用.運(yùn)用這種方法解題時(shí)要抽絲剝繭，配合數(shù)形結(jié)合，也要注意到恒等變形和不等證明的一些技巧，多方面著手去思考，才能撥開云霧見青天，進(jìn)而得出問題精巧的解法.