在“對-換-算”模式下對新教材函數章節學習的新思考

楊偉達

(廣東省廣州市花都區第二中學 510800)

函數是刻畫運動變化的數學模型和工具，它貫穿整個高中數學的始終，是高中數學的龍骨架.為此,筆者分別從對的初心、換的使命、算出結果等方面進行闡述.僅供參考.

一、“對”的初心

函數的本質是什么？簡單說，理解函數的初心就是找對應.就是x與y的對應.即x的變化對應y的變化.見表1.

表1 比對函數f(x)單調性定義與最值定義

通過列表對比、觀察，不難發現函數單調性定義和最值定義的相同點、不同點，這樣列表對比更能深刻理解函數概念，讓學生一目了然，進一步感悟函數的本質——“對”的初心.

表2 比對函數f(x)奇偶性定義與周期性定義

通過對比，不難發現函數的奇偶性和周期性具有相同的形式.因此，列表起到簡潔、實用的效果.

例1已知f(x)=2x+1，g(x)=2f(x+1)+f(2x-3)，求f(g(x))的解析式.

分析函數的本質就是找對應.實際操作就是涂改，可分成6步即可.

分別為：(1)涂x改x+1；(2)涂x改2x-3；(3)涂f(x+1)改2x+3；(4)涂f(2x-3)改4x-5；(5)涂g(x)改8x+1；(6)涂x改8x+1.

解析因為f(x)=2x+1，

所以f(x+1)=2x+3，f(2x-3)=4x-5.

所以g(x)=2f(x+1)+f(2x-3)=8x+1.

所以f(g(x))=f(8x+1)=2×(8x+1)+1=16x+3.

即f(g(x))=16x+3.

二、“換”的使命

1.換的視角之一——變換

函數本身的不同表征往往具有不同的表現形式，往往也導致不同的思維方式.因此，在教學中要引導學生建立函數不同表征之間的聯系，選擇、取舍，變換函數的各種表征，從而達到有效解題.筆者從函數章節學習了解到，在解題中常常用文字語言、符號語言、圖形語言來描述函數概念，它們相互轉化往往起到事半功倍的效果.

表3 比對函數單調性的定義各種語言的描述

表4 比對函數奇偶性的定義各種語言的描述

2.換的視角之二——換元、替換

在對應關系明確的情況下，實現函數換的功能就是“涂改”.在一定范圍內，涂什么改什么，其它照抄，“照抄-涂改”后接著就是“算”的問題.這樣換元、替換，把復雜變為簡單、繁雜變為簡潔、抽象變為具體、陌生變為熟悉，從而達到快速解題的效果.像這樣涂x換x的形式有很多.比如：x用a換；x用-x換；x用x-1換；x用x+m換；x用ax+b換等.見表5.

表5

例2已知函數f(x)的定義域是(-∞,0)∪(0+∞),對定義域內的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且當x>1時,f(x)>0.

(1)求證:f(x)是偶函數；

(2)求證：f(x)在(0,+∞)上單調遞增；

分析(1)判斷奇偶性的數學式子f(-x)=f(x).第一步：比對，找f(x),f(-x)，第二步：比對，求f(1)，f(-1)的值，見表6.

表6

(2)判斷單調性(x的變化導致y的變化).

比對，見表7.

表7

顯然，當x>1時,f(x)>0成立.

解析(1)函數f(x)的定義域是(-∞,0)∪(0+∞)，不妨令x1=1，則f(x2×1)=f(x2)+f(1).解得f(1)=0.再令x1=-1,x2=1，則f(-1×1)=f(-1)+f(1).解得f(-1)=0.所以f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x),所以f(x)是偶函數.

(2)設x1>0，x2>1，所以x1x2>x1>0，f(x2)>0.

則f(x1x2)-f(x1)=f(x1)+f(x2)-f(x1)=f(x2)>0.

所以f(x1x2)-f(x1)>0.

即f(x1x2)>f(x1),故f(x)在(0,+∞)上單調遞增.

三、“算”出結果

數學運算是數學核心素養之一.運算能力越強，學生的數學能力就越強，數學考試成績往往越高.當前，不少學生對運算缺乏科學認識，常把運算錯誤歸結為“粗心”“馬虎”，往往在解題中重視方法和思路，不注意運算過程的合理、簡潔，運算盲目、繁瑣.總之，運算能力不強已成為許多學生進一步提高成績的瓶頸.因此，在教學中必須引起重視和加強訓練.

眾所周知，函數章節知識貫穿高中數學的各個階段，它常常涉及四則運算、指數運算、集合運算、對數運算、導數運算、三角運算、坐標運算、向量運算、復數運算等.而運算又包括精算和估算兩種，解題過程中常常伴著“拆”“湊”“并”“引”等技巧.特別是數學應用和數學文化的出現，許多數據來自生活、來自實際，這對學生的運算能力提出更高的要求.對比函數運算見表8.

表8

分析已知f(x)求f(x+2).先找對應，涂x改x+2后替換，最后解不等式算出結果即可.

表9

(1)當x≥-2時，x+(x+2)×1≤5.

(2)當x<-2時，x+(x+2)×(-1)≤5.

顯然-1<5成立，所以x<-2.

總之，函數是高中數學的重要部分，歷來是高考重點考查的核心知識.在教學中，處理函數問題是學生最為棘手的問題，常常令學生聞風喪膽，只有不斷深入理解和不斷感悟，才會有更大的收獲.