立足舊教材 探討新高考——高一立體幾何復習課案例

潘小平

(江蘇省灌云高級中學 222200)

高一數學課堂在復習到立體幾何時，必定繞不開垂直問題，包括線線垂直、線面垂直和面面垂直.復習課時,學生對立體幾何中定理的理解和記憶已經初步形成，這時就需要對垂直問題進行歸納整理，讓學生在聽懂會做的基礎上，建立發散思維習慣和鍛煉學生的空間想象力.下面我就通過在復習課上的一道書后習題和大家共同探討立體幾何中的垂直問題.

例1 (蘇教版高中數學必修二51頁第15題)如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為BD的中點，問：在棱AA1上是否存在一點M，使平面MBD⊥平面OC1D1?如果存在，求出AM∶MA1的值；如果不存在，請說明理由.

這道題目學生自己處理的效果不理想，學生對于空間中給定位置直接證明垂直已經沒有問題了，但是這道題是一道探究題，對于找到點M位置無從下手，聯系面面垂直的判定定理，知道要找到線面垂直，可是點M不確定，肯定沒辦法直接找到的.問題出來了，這時引導學生看教材的封面圖形，如圖2所示，探討下面的問題.

問題1 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，先試一試如何證明A1C⊥BD?直線A1C能不能與平面BDC1垂直呢？

學生很快就能把問題1的證明過程書寫出來，如下：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接AC.因為AA1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以AA1⊥BD.又四邊形ABCD為正方形，所以BD⊥AC.由線面垂直的判定定理，得BD⊥平面AA1C,A1C?平面AA1C，則A1C⊥BD.那么我們只要再證明A1C垂直于BC1或者DC1即可，證明方法如上.這時再回到例1，發現我們需要找到點M，使得兩個平面垂直，只有線面垂直還不夠，那么從圖2中我們還可以發現，過直線A1C的平面ACC1A1⊥平面BDC1，由公理2可知兩個平面的交線為C1O(O為BD、AC的交點).兩個平面的交線C1O找到了，只要再在平面ACC1A1中找到和OC1垂直的直線就行.

問題2 如圖3，能不能在棱AA1上找到一點E，使得EO⊥平面BDC1呢？

由面面垂直的判定定理我們已經證明了平面ACC1A1⊥平面BDC1，而且平面ACC1A1∩平面BDC1=OC1，那么由線面垂直的性質定理(如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面)，就可以知道只要找到OE⊥OC1，即可得到OE⊥平面BDC1，順理成章地將空間問題平面化了.那么我們只要在長方形ACC1A1中，通過三角形相似或者勾股定理(平面問題在這里就不講解了)就可以得到OE⊥OC1.這時點E應該是棱AA1的中點，而且我們可以從圖3中清楚看出OE是△AA1C的中位線，那么必然可以證明出OE⊥平面BDC1.有了這個點E，就可以連接EB,ED構造平面EBD.

問題3 若點E為棱AA1的中點，如何證明平面EBD⊥平面BDC1.

因為問題2中已經證明了OE⊥平面BDC1,而且OE?平面EBD，由面面垂直的判定定理很輕松就能證出結論來.那么同樣的，平面EBD⊥平面BDC1，且平面EBD∩平面BDC1=BD，OC1?平面BDC1，且OC1⊥BD，由面面垂直的性質定理，很顯然OC1⊥平面EBD.這時我們再回到本文開頭的例1中，就不難發現OC1?平面OC1D1中，由面面垂直判定定理可得平面EBD⊥平面OC1D1，從而可以知道例1中的點M就是這里的點E，即AM∶MA1=1.

那么下面就可以給出例1具體的解答過程：

問題4平面OC1D1與正方體ABCD-A1B1C1D1表面的交線怎么畫?

回顧公理3和推論3，經過兩條平行直線有且只有一個平面，從而確定過點O作直線PQ∥CD,分別交AD、BC于點P、Q,那么我們就可以確定如圖4的平面PQC1D1，而由公理2知，由PD1與MD的交點N與點O的連線ON就為平面MBD與平面OC1D1的交線.在作出平面PQC1D1后，通過分析探討可以發現PD1⊥MD，PQ⊥MD，那么我們可以證明出MD⊥平面PQC1D1，從而也可以得到例1中要證明的結論，此解法作為解法2.

新高考政策已經勢在必行，通過對新教材以及全國卷的分析，我發現立體幾何的證明在解答題中已經有所弱化，取而代之的是求角和距離的問題，高一還沒有學習空間向量，所以只能運用綜合法來求解，這時證明的重要性就又突出了.所以我們再進行教學和學習的時候要因事而為，加大對空間角和距離的求解.

問題5 當點M為棱AA1中點時，求直線MC1與平面MBD所成角的余弦值.

那么如果條件給出線面角的值，能不能找到點M的位置呢？或者求平面OC1D1與平面MBD的二面角大小，還有空間中的體積問題也可以研究，如：當點M為棱AA1中點時，求三棱錐M-BDC1的體積.那么一系列的問題下來，學生對于立體幾何中的垂直問題的理解會更加透徹，并且也理解到“立體圖形平面化”的關鍵所在.而且也對綜合法求空間角和距離有了一定的認識，一定要“一作二證三求解”，關鍵的步驟還是在于證明，只有證明出線面垂直才能找到角和距離，所以立體幾何中的垂直問題不是弱化了，而是藏得深了，大家要擦亮眼睛，先找到垂直，再利用定理證明，而不是單單地給出結論證明了.

對于本文中的例1，新教材中已經不再出現了，本人研究了新教材中立體幾何在線面關系和面面關系這一塊更加重視角和距離的求解，對于直接證明垂直的問題有所弱化了.但是通過本文的學習，我們可以發現垂直問題的證明是研究綜合法求空間角和距離的關鍵，所以建議各位新高一的老師在教學到立體幾何的垂直問題時能把此類問題進行補充練習，以增加學生對于垂直問題更深層次的理解，并且在解決立體幾何的問題時能有思考的方向，從而完整且快速地解決這類問題.