五種方法解決八省聯考數學第7題

盧會玉

(甘肅省嘉峪關市第一中學 735100)

2021年1月23日-25日，實行“3+1+2”新高考模式的江蘇、廣東、湖南、湖北、河北、遼寧、福建、重慶，進行第一次高考前模擬考試聯考，這被今年的考生稱為“八省聯考”.全流程模擬2021年高考，試題由教育部考試中心統一命題，對2021年高考使用全國卷的考生復習備考具有很強的指導意義.據部分考生反映，數學內容難度較大，考試過后不少考生直呼：簡直就是煉獄般難度.在筆者看來確實少了很多以往的“套路”題，出現了很多“考思維”的題，打破了考生的“舒適圈”，這也是考生覺得題很難的原因.

筆者對聯考中的第7題產生了濃厚的興趣，通過研究發現了五種不同的解決辦法，現分享如下：

引例已知拋物線y2=2px上的三點A(2,2),B,C，直線AB,AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為( ).

A．x+2y+1=0 B．3x+6y+4=0

C．2x+3y+2=0 D．x+3y+2=0

解法1 (直接法解題)因為點A(2,2)在拋物線y2=2px上，所以4=2p×2，解得p=1.

因此拋物線的方程為y2=2x.

設圓心為T(2,0)，則AT⊥x軸，易知kAB+kAC=0.

由題可設直線AB的方程為y=k(x-2)+2(k>0)，則直線AC的方程為y=-k(x-2)+2.

解法2 (利用劃歸思想解題)同解法1，可知拋物線的方程為y2=2x.

同理可得,3x2+6y2+4=0.

這就是說點B,C在直線3x+6y+4=0上，即直線BC的方程為3x+6y+4=0.故選B.

解法3(利用類比思想解題)同解法1，可知拋物線的方程為y2=2x.

即2x-(b+c)y+bc=0.

即2x-(b+2)y+2b=0.

圖1

解法4 (點差法解題)同解法1，可知拋物線的方程為y2=2x.

設拋物線y2=2x上點B(x1,y1),C(x2,y2)，

由kAB+kAC=0,得y1+y2=-2y0.

則可求得BC的方程為3x+6y+4=0.故選B.

這道小題并不小，對學生的要求很高，如果能注意到直線AB和直線AC的斜率互為相反數，應該容易聯想到利用同理的方法解決相似問題，這樣既可以節省時間，又提高了效率.但是很明顯，如果不加思考直接進行求解的話，運算量是比較大的.所以，應該讓思維先行，經過認真思考后，再進行運算，才能事半功倍.可以說，這道題唯有思維水平較高的學生才能做的又快又好，真正體現了培養學生思維的緊迫性和必要性.