基于線性二次調(diào)節(jié)器算法的兩輪自平衡機(jī)器人最優(yōu)控制方法

徐 鑫，劉 彬，劉東洋

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安 710077)

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，機(jī)器人和自動化產(chǎn)業(yè)變得越來越普遍，并與日常生活融為一體。從智能家居到語音交互再到人機(jī)共存，人工智能無論是在效率還是在便利性方面都正朝著改善人們生活的方向發(fā)展。例如家庭服務(wù)的掃地機(jī)器人，公共服務(wù)的導(dǎo)游，迎賓機(jī)器人，工業(yè)生產(chǎn)的搬運(yùn)、碼垛、包裝機(jī)器人，以及國防軍事、公共安全方面的特種機(jī)器人[1]。

兩輪自平衡機(jī)器人作為一類具有兩個(gè)獨(dú)立制動的車輪的自平衡機(jī)器人平臺，其重心位于車輪旋轉(zhuǎn)軸線上方，僅靠兩個(gè)輪子來實(shí)現(xiàn)平衡和靈活的移動，并且它可以幫助用戶攜帶物品運(yùn)動而不使物品掉落，從而為用戶提供一雙“額外的手”。在兩個(gè)車輪上保持平衡是自平衡機(jī)器人的核心部分，為了優(yōu)化這些機(jī)器人的平衡機(jī)制，開發(fā)一種機(jī)電控制系統(tǒng)使自平衡機(jī)器人能夠盡快平衡自身顯得尤為重要。

兩輪自平衡機(jī)器人的運(yùn)動行為類似于經(jīng)典的倒立擺機(jī)械系統(tǒng)，可以在垂直位置進(jìn)行平衡。該系統(tǒng)具有固有的不穩(wěn)定性，即使輕微的干擾也會導(dǎo)致系統(tǒng)跌落。因此，中外眾多專家學(xué)者提出了多種不同方案，也取得了重要成果[2-6]。楊興明等[7]分層滑模控制策略推導(dǎo)系統(tǒng)總的控制律，利用模糊邏輯的萬能逼近功能進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)一步改善了控制系統(tǒng)的品質(zhì)。張俊杰等[8]采用模糊自適應(yīng)控制策略解決了兩輪自平衡機(jī)器人的模型多樣化的自適應(yīng)運(yùn)動控制問題。文獻(xiàn)[9-10]針對兩輪自平衡機(jī)器人的參數(shù)不確定性開展了基于滑模變結(jié)構(gòu)跟蹤控制的研究。宋寅卯等[11]采用線性自抗擾控制解決了兩輪自平衡車因不同用戶身高體重差異導(dǎo)致系統(tǒng)控制穩(wěn)定性能差的問題。這些研究取得了很重要的理論成果及應(yīng)用。當(dāng)然，自平衡機(jī)器人控制系統(tǒng)的研究還逐漸以產(chǎn)品的形式出現(xiàn)在人們的日常生活，例如Segway或Hoverboard平衡車。此外，該類機(jī)器人緊湊的結(jié)構(gòu)和良好的機(jī)動性在更多方面可以幫助人們?nèi)粘Ｉ頪10-11]，它們可以很大，可以在建筑工地周圍幫助工人運(yùn)輸混凝土塊，它們也可以很小，在辦公室內(nèi)為人們端茶送水、傳遞文件，例如助理機(jī)器人[12]、殘疾人輪椅[13]。

為了深入理解兩輪自平衡機(jī)器人的運(yùn)動平衡機(jī)制并以此來設(shè)計(jì)控制器，從而實(shí)現(xiàn)對兩輪自平衡機(jī)器人的控制。首先，通過分析自平衡機(jī)器人的運(yùn)動原理；其次，建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型并在狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)中表示；此外，設(shè)計(jì)狀態(tài)估計(jì)反饋控制器使機(jī)器人穩(wěn)定在不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)附近；最后，引入線性二次調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator，LQR)控制方法得到更好的控制效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，LQR控制方法對于這類自平衡機(jī)器人運(yùn)動平衡控制具有良好的穩(wěn)定性和魯棒性。

1 問題定義與解決方案

1.1 問題定義

倒立擺是控制系統(tǒng)中的經(jīng)典問題，這類系統(tǒng)的不穩(wěn)定性和非線性很適合用于探索不穩(wěn)定的動力學(xué)。常見的例子如圖1所示。

影響雙輪自平衡機(jī)器人機(jī)體保持平衡和直立的原因可以分為軟件和硬件兩個(gè)方面，軟件方面的問題是所使用的慣性傳感器輸出噪聲大，需要對傳感器的原始輸出進(jìn)行濾波處理，并使用控制理論方法加以控制，才能給控制器提供可靠的性能，并且防止階躍擾動。而硬件方面的問題是微控制器運(yùn)行控制算法所需的計(jì)算時(shí)間。過量的計(jì)算延遲導(dǎo)致倒立擺傾斜角的修正時(shí)間較長，使系統(tǒng)偏離垂直平衡位置。與傳統(tǒng)的機(jī)器人相比，在自動平衡機(jī)器人的情況下，驅(qū)動電機(jī)保持平衡位置所需的功率要高數(shù)倍。

1.2 解決方案

在軟件方面，為了濾除慣性傳感器的噪聲輸出，需要使用濾波算法融合加速度計(jì)和陀螺儀的輸出，以提供可靠的傾斜角度信息。目前常見的濾波算法有卡爾曼濾波、互補(bǔ)濾波、粒子濾波等。良好的數(shù)字控制算法可以提供最佳控制比例積分微分(proportion integration differentiation，PID)和線性二次調(diào)節(jié)器(LQR)。其他研究工作也探索了線性-高斯控制(LQG)，模糊邏輯和極點(diǎn)配置方法的使用。

1.2.1 PID控制器

PID控制器是一種控制回路反饋，廣泛用于工業(yè)和需要連續(xù)調(diào)節(jié)的控制系統(tǒng)。控制器連續(xù)計(jì)算系統(tǒng)的誤差值e(t)，并通過比例、積分和微分項(xiàng)調(diào)節(jié)控制輸入量u(t)，以使其隨時(shí)間變化將誤差降到最小。在數(shù)學(xué)上，其控制函數(shù)可表示為

(1)

式(1)中：u(t)為控制器的輸出；Kp、Ki、Kd分別為非負(fù)比例、積分和微分系數(shù)。

1.2.2 LQR控制器

LQR控制集中于線性系統(tǒng)或線性化非線性系統(tǒng)以及成本函數(shù)的選擇其中成本函數(shù)是狀態(tài)和控制的二次函數(shù)。

通常情況下，線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)由其狀態(tài)空間表達(dá)式給出，其中包括矩陣A、B和C，表達(dá)式為

(2)

尋找一個(gè)使成本函數(shù)J最小的控制函數(shù)u，即

(3)

式(3)中：Q為正定(或正半正定)對稱矩陣；R為正定對稱矩陣。兩個(gè)成本矩陣Q和R被稱為權(quán)重矩陣，以便在稱重狀態(tài)向量需要每個(gè)相應(yīng)元件有多快達(dá)到其所需的最終值引入。

利用代數(shù)黎卡提方程計(jì)算增益并最小化成本函數(shù)，則有

(4)

式(4)中：K為增益矩陣；P為軸心的位置。

在硬件方面，芯片技術(shù)的飛速發(fā)展為微控制器提供了更通用、更高效、更便宜和更可靠的選擇。例如Arduino就是一款性能強(qiáng)、功耗低和成本低的開發(fā)板，濾波算法和控制算法都可以在Arduino中輕松實(shí)現(xiàn)。同時(shí)，配備高扭矩直流電機(jī)可以將機(jī)器人驅(qū)動至其垂直平衡位置并平衡整個(gè)物理結(jié)構(gòu)。此外跟蹤速度也是至關(guān)重要的，因?yàn)樗俣刃畔⒃谲囕喚幋a器的反饋回路中反饋給微控制器，以最大限度地減少誤差以達(dá)到平衡。

2 兩輪自平衡機(jī)器人數(shù)學(xué)模型

2.1 運(yùn)動原理

通常而言，自平衡機(jī)器人平臺由兩個(gè)輪子連接在一個(gè)帶有馬達(dá)的車軸上。從車軸起，平臺將垂直延伸以能夠保持平衡。當(dāng)平臺傾斜時(shí)，其上的力不再與車軸垂直方向?qū)R，在平臺的質(zhì)心周圍產(chǎn)生一個(gè)力矩。因此，必須有一個(gè)扶正的時(shí)刻，防止機(jī)器人翻倒。電機(jī)將在車輪上施加力矩并在平臺上施加相等且相反的力矩。這種機(jī)制允許平臺在傾斜時(shí)保持垂直。如果平臺向前傾斜，那么輪子就會向前移動以保持它的直立。驅(qū)動車輪前進(jìn)的時(shí)刻在平臺上產(chǎn)生了一個(gè)向后的力矩，從而使它恢復(fù)平衡。

2.2 兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)模型建立

系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立是為物理結(jié)構(gòu)設(shè)備形成一套有效控制策略的重要前提。為了推導(dǎo)兩輪自平衡機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型，將車身建模為質(zhì)量集中于重心且旋轉(zhuǎn)軸高于車輪軸的倒立擺，它將機(jī)器人限制為其功能的基本要素，以便將系統(tǒng)縮減為更簡單的形式，可以更輕松地處理而不會損失實(shí)際系統(tǒng)的準(zhǔn)確性。在該系統(tǒng)中，機(jī)器人的電機(jī)驅(qū)動車輪從原點(diǎn)行進(jìn)時(shí)的移動距離與車輪的角加速度直接相關(guān)，同時(shí)，期望在運(yùn)動過程中車體保持角度為0 rad。因此，兩輪自平衡機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型可以分為直流電機(jī)線性模型、車輪模型和擺體模型3個(gè)部分，最終得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。如圖2所示為兩輪自平衡機(jī)器人平面模型。通常認(rèn)為兩輪自平衡機(jī)器人屬于倒立擺的范疇，因此在進(jìn)行物理建模時(shí)，常采用類似倒立擺的模型，其平面模型與倒立擺平面模型不同的是，兩輪自平衡機(jī)器人還需要加以分析輪子的運(yùn)動模型。

α為擺角；C為車軸位置；θ為車輪旋轉(zhuǎn)角度；L為車體軸心到車軸之間的距離；rw為車輪半徑

2.2.1 直流電機(jī)線性模型

機(jī)器人使用兩個(gè)直流電動機(jī)來驅(qū)動車輪，電動機(jī)的電氣等效模型如圖3所示。

V為電機(jī)電壓；R為電機(jī)電阻；La為銜鐵電感；i為銜鐵電流；kb為電機(jī)反電動勢常數(shù)；emf為反電動勢；kt為電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)；Tm為電機(jī)扭矩；ξ為電機(jī)相對于定子的旋轉(zhuǎn)速度

電機(jī)模型需要將施加的電壓與傳遞的扭矩相關(guān)聯(lián)。該模型可以通過將電壓與電流關(guān)聯(lián)得到相關(guān)表達(dá)式為

(5)

電流與扭矩的關(guān)系為

(6)

式(6)中：Im為電機(jī)轉(zhuǎn)子慣量；bm為電機(jī)轉(zhuǎn)子的黏滯阻力。

假設(shè)電氣系統(tǒng)響應(yīng)比機(jī)械響應(yīng)快得多，則電感可以忽略。此外，電刷電壓和黏滯摩擦也都可以忽略不計(jì)。結(jié)合式(5)、式(6)，并注意到電樞旋轉(zhuǎn)角度是機(jī)器人主體角度α與車輪旋轉(zhuǎn)角度θ之差，扭矩可以表示為

(7)

2.2.2 車輪模型

電機(jī)驅(qū)動車輪，車輪將機(jī)器人連接到地面。圖4為車輪的平面運(yùn)動模型。

Fp為擺體在車輪上的作用力；Fs為車輪與地面之間的反作用力；F為電機(jī)軸上的水平力；mw為車輪的質(zhì)量；rw為車輪半徑；Tm為電機(jī)扭矩；Tf為與電機(jī)角速度成比例的摩擦轉(zhuǎn)矩

對繞車輪軸的扭矩求和以得出運(yùn)動的旋轉(zhuǎn)方程，得

(8)

式(8)中：Icm,w為車輪質(zhì)心的慣性矩。

式(8)可與電動機(jī)轉(zhuǎn)矩表達(dá)式組合以消除變量，得

(9)

車輪的運(yùn)動平移方程為

(10)

2.2.3 擺體模型

針對水平方向，繞機(jī)器人質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)以及垂直于擺的運(yùn)動，得出了圖5所示的機(jī)器人主體的運(yùn)動方程為

P為擺體參考點(diǎn)；α為擺體與垂直方向的俯仰角；L為車輪中心到P點(diǎn)的距離；mp為擺體質(zhì)量；Ip為P點(diǎn)的慣性矩；x為車輪的水平位移；C為車輪中心位置

(11)

(12)

(13)

假設(shè)車輪不打滑，x=rwθ，并且等價(jià)于電機(jī)軸上的力，可以將式(7)、式(12)和式(13)組合在一起，以消除電機(jī)軸上的水平力，得

(14)

上述方程式中具有非線性項(xiàng)。因此，使用小角度假設(shè)將系統(tǒng)圍繞所需的平衡點(diǎn)(擺角，α=0)進(jìn)行線性化[其中sinα≈α,cosα≈1]，可得

(15)

最終多項(xiàng)公式整理可得

(16)

2.2.4 狀態(tài)空間模型

得到系統(tǒng)的線性化方程后需要將其轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間形式。對于物理設(shè)備機(jī)器人而言，系統(tǒng)的狀態(tài)變量x、系統(tǒng)輸入u和系統(tǒng)輸出y的定義為

(17)

使用模型中的線性化方程，可以將該模型的狀態(tài)空間表示為

A=

(18)

(19)

(20)

式中：

(21)

測量單個(gè)機(jī)器人的參數(shù)與模型推導(dǎo)分析同樣重要，系統(tǒng)模型中機(jī)器人的質(zhì)量、擺的慣性常量等都會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制器的控制效果。因此，經(jīng)過多次仿真測試與實(shí)體機(jī)器人測試，得到機(jī)器人的測量參數(shù)，如表1所示。

表1 兩輪自平衡機(jī)器人測量參數(shù)

3 系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)與仿真分析

閉環(huán)系統(tǒng)也稱為反饋系統(tǒng)，其使用系統(tǒng)之前的狀態(tài)及其模型來計(jì)算系統(tǒng)的輸入。這種類型的系統(tǒng)會檢查其輸出是否達(dá)到結(jié)果，是否存在任何錯(cuò)誤。同時(shí)，該系統(tǒng)可以糾正錯(cuò)誤，并且可以容忍系統(tǒng)中發(fā)生的任何干擾。對于兩輪自平衡機(jī)器人而言，其控制器效率將通過垂直平衡、位置控制和干擾抑制能力進(jìn)行測試。

3.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

對于穩(wěn)定系統(tǒng)，可以利用能控能觀判別條件檢查系統(tǒng)的可控性和可觀察性。根據(jù)系統(tǒng)線性化空間狀態(tài)方程的A、B、C和D矩陣，其中D為四行一列的0矩陣，并使用MATLAB對系統(tǒng)的可控性和可觀性進(jìn)行判斷，如圖6所示。

圖6 系統(tǒng)能控能觀性判斷結(jié)果

從系統(tǒng)的可控制性矩陣和可觀察性矩陣中發(fā)現(xiàn)兩種矩陣的秩為4，即都是滿秩的。因此，該系統(tǒng)既可控制，又可觀察。

3.2 控制器設(shè)計(jì)

3.2.1 狀態(tài)估計(jì)

使用擺的狀態(tài)空間模型中的A和C矩陣找到閉環(huán)狀態(tài)估計(jì)器。估計(jì)器的A矩陣計(jì)算公式為

Aest=Asys-LCsys

(22)

式(22)中：L為估計(jì)器內(nèi)的反饋增益矩陣。

放置系統(tǒng)極點(diǎn)可以使系統(tǒng)穩(wěn)定，并通過將極點(diǎn)遠(yuǎn)離y軸放置在S平面的左半部分，從而找到增益L以使系統(tǒng)比原有系統(tǒng)速度快5～6倍。

利用系統(tǒng)狀態(tài)空間的A、B、C和D矩陣解得系統(tǒng)極點(diǎn)分布圖，如圖7所示。

圖7 系統(tǒng)極點(diǎn)分布圖

將系統(tǒng)極點(diǎn)重新放置在S平面左半部分，并代入估計(jì)器，得到系統(tǒng)輸出，如圖8所示。

從圖8可以看出，估計(jì)器狀態(tài)雖然完全遵循原始系統(tǒng)狀態(tài)，但是狀態(tài)從x軸向無窮大發(fā)散，因此系統(tǒng)仍然不穩(wěn)定。

圖8 狀態(tài)估計(jì)控制器與輸出結(jié)果

3.2.2 反饋控制

系統(tǒng)估計(jì)器已經(jīng)完美跟蹤狀態(tài)。現(xiàn)在需要通過設(shè)計(jì)反饋控制器來使系統(tǒng)穩(wěn)定。新的A矩陣可以表示為

Actr=Asys-BsysK

利用狀態(tài)估計(jì)獲得的增益L，可以得到系統(tǒng)的極點(diǎn)為[-67.2，-59.2，-12，-6]，如圖9所示。

圖9 重新配置后的系統(tǒng)極點(diǎn)分布

將極點(diǎn)放置在[-67.2，-59.2，-12，-6]上，并通過在MATLAB中使用place命令找到了最佳增益K。將增益K代入到反饋控制器中，得到系統(tǒng)的輸出如圖10所示。

從圖10可以看出，系統(tǒng)輸出最初變化很大，但最終穩(wěn)定到零。現(xiàn)在已限制輸出，并且系統(tǒng)已穩(wěn)定。

圖10 反饋控制器與輸出結(jié)果

3.2.3 具有狀態(tài)估計(jì)的反饋控制

根據(jù)狀態(tài)估計(jì)和反饋控制的效果，可以確定設(shè)計(jì)具有狀態(tài)估計(jì)的反饋控制器會形成一個(gè)完整的穩(wěn)定系統(tǒng)，如圖11所示。

圖11 狀態(tài)估計(jì)反饋控制器與輸出結(jié)果

從圖11可以看出，系統(tǒng)起初的誤差較大，但是隨著時(shí)間的增加而逐漸降低。此外，系統(tǒng)在狀態(tài)有界時(shí)變得穩(wěn)定，并且穩(wěn)定到零，同時(shí)估計(jì)器狀態(tài)完全遵循原始系統(tǒng)的狀態(tài)。

3.3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

根據(jù)設(shè)計(jì)好的具有狀態(tài)估計(jì)的反饋控制器雖然可以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，達(dá)到較好的控制效果，但初始條件下的誤差較大，對于實(shí)際的兩輪自平衡機(jī)器人而言，很容易出現(xiàn)起擺失敗甚至跌倒的情況。因此，在最終的系統(tǒng)仿真中利用兩輪自平衡機(jī)器人的實(shí)際物理數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬仿真，同時(shí)引入LQR控制方法以期望取得更好的控制效果和控制成本。

從式(4)中可以知道除了Q和R以外的其余參數(shù)均為已知的，其中Q與控制器精度有關(guān)，R與控制器工作量有關(guān)。通常情況下，Q矩陣都是根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)估計(jì)得到，需要依照實(shí)際控制效果進(jìn)行修改。

經(jīng)過多次仿真后，確定矩陣Q和R為

利用式(4)使用MATLAB求解方程，可以得到控制器的極點(diǎn)位置和增益。而有了這些參數(shù)，機(jī)器人就可以保持平衡運(yùn)動。利用MATLAB設(shè)計(jì)兩輪自平衡機(jī)器人運(yùn)動動畫界面，其中可以看到機(jī)器人在10 s內(nèi)的運(yùn)動位置，擺體的旋轉(zhuǎn)角度以及擺體與垂直方向的狀態(tài)對比，如圖12所示。

從圖12可以看出，機(jī)器人在運(yùn)動過程中的整個(gè)運(yùn)動狀態(tài)分為加速、勻速、減速和保持平衡4個(gè)狀態(tài)。此外，機(jī)器人剛啟動時(shí)向前的加速度較大，擺體向前傾斜以平衡向后的反作用力，因此機(jī)器人擺體與垂直方向的角度偏差較大；當(dāng)機(jī)器人運(yùn)動到0.3 m處時(shí)，機(jī)器人從勻速狀態(tài)逐漸進(jìn)入減速狀態(tài)，此時(shí)機(jī)器人加速度為負(fù)，從而導(dǎo)致機(jī)器人擺體稍微向后傾斜；當(dāng)機(jī)器人接近并到達(dá)0.5 m處時(shí)，機(jī)器人進(jìn)入保持平衡狀態(tài)，機(jī)器人擺體與垂直方向基本重合，偏差為-4.778×10-6rad。

圖12 兩輪自平衡機(jī)器人運(yùn)動動畫

系統(tǒng)的響應(yīng)速度與穩(wěn)定性分析結(jié)果如圖13所示。從圖13可以看出，機(jī)器人在0～0.5 s的運(yùn)行過程中擺體與垂直方向的角度偏差最大(約為 0.1 rad)，而且機(jī)器人啟動時(shí)的狀態(tài)類似于倒立擺起擺狀態(tài)(先向負(fù)方向回?cái)[，后向正方向加速)，機(jī)器人進(jìn)入加速階段；機(jī)器人在1～1.5 s的運(yùn)行過程中擺體角度逐漸減小，位移曲線的斜率基本不變，說明機(jī)器人進(jìn)入勻速階段；機(jī)器人在1.5～4.5 s的運(yùn)行過程中，擺體角度逐漸趨于0 rad，位移曲線斜率變小，說明機(jī)器人進(jìn)入減速階段；4.5～10 s的運(yùn)行過程中，擺體角度基本保持在0 rad，位移基本保持在0.5 m，說明機(jī)器人進(jìn)入保持平衡階段。此外，可以看出加入LQR控制方法可以有效地降低機(jī)器人啟動時(shí)的系統(tǒng)誤差，雖然延長了系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)間，但是可以避免出現(xiàn)擺體傾角過大而可能出現(xiàn)起擺失敗甚至跌到的情況。

圖13 階躍響應(yīng)下LQR優(yōu)化控制器的擺體角度與運(yùn)動位移的輸出圖

4 結(jié)論與展望

兩輪自平衡機(jī)器人的核心是必須能夠在兩個(gè)車輪上保持平衡，否則機(jī)器人的所有其他功能都會崩潰。根據(jù)直流電機(jī)線性模型、車輪模型和擺體模型推導(dǎo)出兩輪自平衡機(jī)器人的運(yùn)動控制數(shù)學(xué)模型并利用系統(tǒng)能控和能觀性判斷條件確定了系統(tǒng)具有能控和能觀性。但是由于某些特征值位于S平面的右半部分，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。為了得到一套完整的穩(wěn)定系統(tǒng)，結(jié)合狀態(tài)估計(jì)和反饋控制設(shè)計(jì)狀態(tài)估計(jì)反饋控制器并引入LQR控制方法優(yōu)化控制器性能。系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的控制器對于移動機(jī)器人的平衡移動具有良好的控制效果。

系統(tǒng)具有完整的數(shù)學(xué)模型，因此，系統(tǒng)可以用作測試控制器的基準(zhǔn)，對各種控制器的性能進(jìn)行比較研究，例如，以設(shè)計(jì)非線性控制器并可以測試其性能，還可以定量地研究線性控制系統(tǒng)在實(shí)際非線性系統(tǒng)上的穩(wěn)定性分析。

進(jìn)一步的工作將通過添加視覺系統(tǒng)來提高機(jī)器人的自主水平，從而使機(jī)器人能夠避開障礙物。此外，通過改進(jìn)機(jī)器人的組件，希望獲得更高的速度。另一個(gè)可能的擴(kuò)展是將Arduino系統(tǒng)與其他傳感器相結(jié)合，例如超聲波和紅外感應(yīng)、GPS、數(shù)字羅盤和相機(jī)，以解決其他高級應(yīng)用程序，例如避障和周邊追隨。