螺栓法蘭連接結構的拉壓不同剛度動力學模型

欒 宇，關振群，程耿東，陽志光，馮韶偉

（1.北京宇航系統工程研究所，北京，100076；2.工業裝備結構分析國家重點實驗室，大連，116023）

0 引 言

螺栓法蘭連接結構是一種典型的結構連接形式，廣泛應用于航天器等工業結構中。但是，連接本身破壞了結構的連續性，在連接面（對接面）引入了接觸與摩擦、甚至碰撞等非線性因素，這就使得螺栓法蘭連接結構的動力學特性較為復雜，不易分析[1]。

連接結構的靜力分析一般通過基于有限元的接觸算法實現，但限于動力學算法、動力學建模技術、碰撞—摩擦與耗散以及計算成本等因素，螺栓法蘭結構的動力學計算還沒有形成統一的范式[2]。

傳統上，為了計算運載火箭、導彈等結構的整體動力學特性及動力響應，首先建立簡化線性梁模型，結合試驗模態方法進行動剛度修正與模型確認[3]，然后將動力學外載加載在模型上，以獲取截面的內力響應數據（彎矩、剪力、軸力）作為結構設計中的載荷依據[4]。線性梁模型中法蘭的連接剛度通常被等效為梁的彎曲剛度或扭矩彈簧的扭轉剛度[5]。但是，法蘭連接結構實際上是接觸非線性問題，即連接剛度取決于連接面的狀態[6]，因此，線性模型無法準確描述其力學特性。

本文首先對典型螺栓法蘭連接結構的靜力特性進行了研究，闡明了其軸向拉壓不同剛度這一重要特性；然后，在連接結構的動力學簡化建模中引入了雙線性彈簧模擬其拉壓不同剛度特性。為研究沖擊響應機理，本文將螺栓法蘭連接結構抽象為兩自由度的質量-彈簧系統，對系統的沖擊響應進行了理論分析，并開發自適應遞歸算法進行動力學數值求解。

1 螺栓法蘭連接結構靜力響應特性

為了研究螺栓法蘭連接結構的力學特性，選取典型的螺栓法蘭連接結構（見圖1）進行靜力分析。選取結構由兩段相對連接面完全對稱的柱殼結構組成，柱殼材料為Q235 結構鋼；兩段柱殼之間由外翻法蘭和4顆M10 螺栓進行連接，螺栓材料為S45 合金鋼。

圖1 典型螺栓法蘭連接結構Fig.1 Typical Bolted Flange Connection

靜力分析通過有限元軟件ANSYS 實現，在一端固支的條件下，在自由端對結構施加軸向拉壓荷載與彎矩，分析考慮了連接面的接觸與摩擦（摩擦系數0.2）。

1.1 軸向載荷下的變形響應

由連接結構的軸向拉壓載荷-位移曲線（見圖2），螺栓法蘭連接結構在軸向表現出明顯的拉壓剛度不同特性，這是其連接剛度非線性的重要體現。

圖2 軸向位移-載荷曲線Fig.2 Curve of Axial Displacement and Load

研究表明，螺栓法蘭連接結構的軸向拉壓不同剛度是由連接面的接觸狀態及連接區域的傳力路徑在拉壓荷載作用下不同造成的[8]。

1.2 彎矩下的變形響應

在彎矩作用下，螺栓法蘭連接結構不僅產生了彎曲變形，還產生了軸向變形（如圖3 所示），即橫向荷載可引起橫向與軸向耦合變形，這是螺栓法蘭連接結構的另一重要特性。

圖3 彎矩作用下連接結構位移曲線Fig.3 Curve of Axial Displacement and Load

產生這種響應特性的原因為受拉側與受壓側的剛度不同，即軸向拉壓剛度不同，從而使得在彎矩的作用下受壓和受拉產生了不同數值的軸向位移所致[7]。

綜上所述，螺栓法蘭連接結構在軸向存在顯著的拉壓剛度不同特性。在橫向載荷作用下，軸向剛度拉壓不同特性又導致連接面同時產生軸向和橫向變形響應。

2 螺栓法蘭連接結構動力學建模

2.1 將螺栓法蘭連接結構等效為轉角彈簧

2.1.1 將連接結構等效為轉角彈簧

使用線型方法對連接結構進行建模，如圖4 所示。

圖4 單自由度線性模型Fig.4 Linear Model for One DOF

只考慮彎矩引起的轉角變形θ，而不考慮軸向變形（見圖4b），這樣就可將連接結構等效為一轉角彈簧。轉角彈簧連接面的轉動剛度可表述為

式中M為作用于連接面的彎矩；θ為連接面的轉角。

建立線型梁模型，將被連接結構簡化為梁單元，在兩段梁單元的連接處建立獨立重節點，并用轉角彈簧單元連接兩重節點，對兩節點間除相對轉動外的其他自由度進行耦合（見圖4c）。

2.1.2 動力學響應

將與連接結構相連的部段簡化為相應的轉動慣量J，并對連接剛度kM的彈性部分進行線性擬合，如圖5所示。

圖5 彎曲剛度Fig.5 Curve of Axial Displacement and Load

連接面的無阻尼振動方程可表示為

通過待定系數法，可解得連接結構在初始條件（θ(0)=θ0，）的動力學響應為

式中ωθ為連接結構的轉動頻率，。

由式（2）及式（3）可知，線性建模的實質是將螺栓連接轉化為轉角彈簧的一維問題，動力響應中只有轉動響應，并無軸向響應。

2.2 螺栓法蘭連接結構的拉壓不同動力學模型

2.2.1 拉壓剛度不同彈簧的引入

通過第1.1 節的討論，螺栓法蘭連接結構的一個重要特性是軸向拉壓不同剛度。為了模擬連接結構軸向的拉壓剛度不同特性，這里引入用拉壓剛度不同的單軸彈簧單對連接段進行建模，彈簧拉壓曲線如圖6 所示。

圖6 彈簧拉壓曲線Fig.6 Curve of Axial Displacement and Load

彈簧的剛度可由拉伸剛度k+和壓縮剛度k-確定，其數值可由有限元分析或靜力試驗獲取。

彈簧剛度可寫為

式中 上標“*”表示彈簧的剛度實際取決于彈簧的拉壓狀態；δ表示彈簧的變形，受拉為正，受壓為負。

引入符號函數sgn(δ)，k*可表示為

2.2.2 理論模型的建立

在建模過程中，同樣將連接結構等效為梁單元；對于連接結構，使用剛性梁單元（位移偶和約束）來模擬連接面，剛性梁的中點與梁單元相連，兩端與雙線性彈簧單元相連，如圖7 所示，其中δ1和δ2為兩彈簧的軸向變形，b為連接結構寬度。這樣，就可在準確模擬彎曲剛度的同時，在軸向準確模擬拉壓剛度不同。

圖7 含有拉壓不同彈簧的非線性模型Fig.7 Model with Bilinear Springs

2.2.3 動力學響應研究

為研究螺栓法蘭連接的動力響應，進一步將模型簡化為1 個兩自由度的質量-彈簧系統，如圖8 所示。

圖8 質量彈簧系統Fig.8 Bilinear Model with 2 DOFs

假設整體結構相對于對接面完全對稱，僅留取上半部分進行研究。將被連接結構表示為質量m與轉動慣量J；連接結構的力學性能由拉壓剛度不同彈簧來表述，彈簧只能發生軸向變形，彈簧的下端完全固支，彈簧上端與質量塊兩端相連。

通過以上簡化，將螺栓法蘭連接非線性模型抽象為兩自由度質量-彈簧模型問題，連接結構的運動可以由連接面中心O的軸向位移u和轉角θ描述。

系統的無阻尼自由振動方程為

式中M為質量矩陣；K為剛度矩陣；y為位移向量，y=(u,θ)T；T為質點的動能，可表述為

系統的彈性勢能可表述為

式中k1*，k2*為兩彈簧的剛度。

由圖8b 可知，在彎矩作用下，可獲取O點位移與彈簧變形δ1、δ2間的轉換關系：

將式（9）代入式（8），系統的彈性勢能可進一步寫為以(u,θ)為變量的形式：

最后，將式（7）、式（10）代入拉格朗日方程，即可得到系統的無阻尼自由振動方程：

其中，

由式（11）可知，只需確定剛度矩陣，即確定k1*與k2*，就可在給定的初始條件下定解。將式（9）代入式（5），彈簧剛度可表示為(u,θ)的函數：

通過以上的討論發現：系統剛度矩陣的取值實際取決于彈簧的拉壓狀態。若以彈簧變形為0 作為分界，質點的運動可在運動平面上劃分為4 個區域（見圖9），每個區域含有獨立的、與其他區域不同的彈簧拉壓狀態組合。這樣就把系統的運動根據運動區域劃分為4種情況，并可逐一確定各區域的剛度矩陣，進而求得各區域的頻率與振型。

圖9 運動分區Fig.9 Divisions of Vibration

由圖9，在II、IV 運動分區，剛度陣存在耦合項，這表明存在發生u、θ耦合振動，由于u、θ分別代表縱向橫向位移，因此這里將這種現象稱為橫縱耦合振動。橫、縱耦合振動產生的根本原因是拉壓剛度不同。當拉壓剛度相同時（I、III 分區），耦合項變為零，不會出現橫縱振動之間的耦合。

設系統的控制方程（式（11））的解為

式中A和φ分別為響應的振幅與相角。將初初始條件帶入運動方程即可確定系統在各區域的振動響應。

3 橫向沖擊荷載作用下的動力響應計算

3.1 計算說明

3.1.1 非線性模型數值計算

根據動量定理，將橫向沖擊荷載等效為一初始轉角速度。這樣，系統的初始條件可表示為

對于拉壓不同問題的求解，困難在于如何有效地確定彈簧恢復到平衡位置的時刻，即彈簧拉壓狀態的轉換時刻。若直接使用積分法對控制方程（式（11））進行求解，將導致在跨區時產生能量損耗，從而降低求解的精度，而利用光滑函數對剛度曲線進行擬合并不適合階躍函數的求解[9]。

為了確定跨區時刻（彈簧過零檢查）并同時減少跨區時系統能量的損失，本文應用遞歸算法，使用二分法對跨區時刻進行捕捉，以獲取系統在計算時長T內任意精度ε下的跨區時刻。

非線性模型計算流程計算流程如圖10 所示，其中t為計算時長，t0為分區內計算時長，i(t)為t時刻運動所在分區（i=1～4），y(t)為系統狀態，Dt為初始輸入步長預定義步長，數值計算使用C 語言實現。

圖10 計算流程Fig.10 Program for Solution

非線性計算時長為T=2 s，計算規定步長為Dt=1×10-3s，ε=1×10-15s，初始轉角速度為θ(0)=0.5 rad/s，非線性模型計算其他參數如表1 所示。

表1 拉亞不同剛度模型計算參數Tab.1 Parameters for Bilinear Model

為方便建立響應的線性模型，這里使用快速傅里葉變換對計算結果的進行了分析，系統的轉動振動響應基頻為fθ=5.6 Hz，軸向振動響應基頻為fu=11.2 Hz。

3.1.2 線性模型數值計算

為了建立與非線性模型頻率相等的線性模型，在已知非線性模型響應頻率fθ的條件下，轉角彈簧的彎曲剛度可按式（17）計算，再代入式（3）即可直接求取模型的響應：

其中，ωθ=2πfθ。數值解由式（3）差值而得，插值間隔Δt=1×10-3s，時長為2 s，計算參數如表2 所示。

表2 單自由度線性模型計算參數Tab.2 Parameters for Linear Model

3.2 計算結果比較

3.2.1 位移響應比較

圖11、圖12 分別為轉角、軸向位移的時程響應，在橫向彎矩沖擊的作用下，拉壓不同模型同時產生了等量級的軸向與橫向振動；拉壓相同線性模型只產生了轉動位移響應。

圖11 轉角時程響應Fig.11 Respond of Rotational Displacement

圖12 軸向位移時程響應Fig.12 Respond of Axial Displacement

3.2.2 內力響應比較

在拉壓不同彈簧模型中，若有k+=k-=，即彈簧的拉壓剛度相同時，則拉壓不同彈簧模型可等效為線性模型；換言之，若將第2.1 節中的線性模型等效為與圖8 相同的軸向質量-彈簧系統，轉角彈簧的剛度轉化為兩軸向拉壓剛度相同的彈簧即可，其等效關系可表示為

代入第3.1.2 節中求得的kM，可得對應的等效拉壓彈簧剛度=1.55×106N/m。接著，將求得的扭轉彈簧時程響應代入式（9），即可得與其等效的軸向彈簧的軸向變形，如圖13 所示。

圖13 彈簧變形時程響應Fig.13 Deformation of Springs

對于線性模型，等效彈簧內力響應可按下式計算：

拉壓不同彈簧模型的彈簧內力響應根據彈簧的變形響應按下式計算：

通過對比圖13、圖14 結果可知，轉動初速度為0.5 rad/s 時，拉壓不同模型中彈簧最大伸長為0.024 m，轉角最大值為0.008 53 rad，最大彈簧拉力為24 kN；線性模型等效彈簧最大伸長為0.014 m，轉角最大值為0.014 03 rad，等效彈簧最大拉力為22 kN。以彈簧最大拉力進行比較，拉壓不同模型結果比傳統線性模型結果要高出9%，也就是說，傳統模型獲得的荷載結果可能偏小。

圖14 彈簧力時程響應Fig.14 Spring Force for Both Model

4 結束語

本文對典型螺栓法蘭連接結構的靜力響應進行分析發現，在軸向荷載作用下，螺栓法蘭連接結構具有明顯的拉壓不同剛度特性；使得其在彎曲荷載的作用下，產生了轉角變形的同時產生了軸向變形，這是螺栓法蘭連接結構的另一重要特性。

通過引入拉壓剛度不同彈簧對連接結構進行簡化建模，不但可以準確的模擬結構軸向的拉壓不同剛度特性，還可以模擬彎矩作用下連接結構產生的軸向變形。理論分析與數值模擬均表明，拉壓不同剛度非線性動力學模型在橫向荷載作用下將發生橫縱耦合振動現象。在相同的橫向沖擊荷載作用下，拉壓不同剛度非線性動力學模型產生了比傳統模型更大的變形以及截面內力響應，也就是說，傳統模型獲得的荷載結果可能偏小。本研究對于提高螺栓法蘭連接結構的安全可靠性具有重要意義。