位形概念對(duì)“理論力學(xué)”課程的重要性

謝華

摘 ? ?要：剛體位形是“理論力學(xué)”課程知識(shí)體系的基礎(chǔ)概念，運(yùn)動(dòng)方程是在此基礎(chǔ)上引出的關(guān)鍵問(wèn)題。傳統(tǒng)教材學(xué)生求解微分方程，僅限于求解速度、加速度等瞬態(tài)量，學(xué)生沒(méi)有位形概念，不利于其后續(xù)課程的學(xué)習(xí)。為改變這一現(xiàn)狀，文章提出教學(xué)應(yīng)圍繞位形概念和運(yùn)動(dòng)方程展開(kāi)，在運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)甚至靜力學(xué)部分均應(yīng)聯(lián)系位形概念，并增加求解運(yùn)動(dòng)方程的內(nèi)容，注重知識(shí)的系統(tǒng)性和相關(guān)性，從而提高教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：位形;運(yùn)動(dòng)方程;理論力學(xué)

中圖分類號(hào)：G642 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1002-4107（2021）07-0078-02

“理論力學(xué)”是航天航空、機(jī)械和土木等眾多工科專業(yè)的基礎(chǔ)課程。國(guó)內(nèi)“理論力學(xué)”課程教學(xué)多采用哈爾濱工業(yè)大學(xué)體系[1]，特點(diǎn)是內(nèi)容由淺入深，從靜力學(xué)開(kāi)始，再進(jìn)入到運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)，強(qiáng)調(diào)概念的物理意義，以理解為主;運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)以瞬態(tài)分析為主，運(yùn)動(dòng)學(xué)主要學(xué)習(xí)剛體兩點(diǎn)瞬態(tài)速度、加速度關(guān)系以及點(diǎn)的速度、加速度瞬態(tài)合成等問(wèn)題。無(wú)形中忽略了運(yùn)動(dòng)分析的一個(gè)關(guān)鍵，即運(yùn)動(dòng)方程的問(wèn)題。而運(yùn)動(dòng)方程的概念與研究對(duì)象的位形描述密切相關(guān)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)理解后續(xù)課程意義得大，因此，筆者在“理論力學(xué)”教學(xué)中，有意識(shí)地強(qiáng)調(diào)位形概念和運(yùn)動(dòng)方程問(wèn)題，并將其貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程，取得了較好的教學(xué)效果。

一、位形是“理論力學(xué)”的基礎(chǔ)概念

（一）“理論力學(xué)”知識(shí)體系圍繞位形概念展開(kāi)

“理論力學(xué)”研究對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)及質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。首要問(wèn)題就是對(duì)研究對(duì)象瞬態(tài)樣子的描述，對(duì)課程的一個(gè)主要研究對(duì)象剛體來(lái)說(shuō)，通過(guò)位置和姿態(tài)來(lái)確定剛體的空間樣子，即剛體的位形。剛體位形隨時(shí)間的變化規(guī)律即運(yùn)動(dòng)方程，這是“理論力學(xué)”研究的一個(gè)核心問(wèn)題。

位形概念是由運(yùn)動(dòng)學(xué)部分引出的，并隨即得到剛體的運(yùn)動(dòng)方程。以平面運(yùn)動(dòng)剛體為例，如圖1所示，在固定坐標(biāo)系上可以確定平面運(yùn)動(dòng)剛體上任意方向一點(diǎn)A的位置，BC為剛體上任意一條線，其與固定方向x方向之間的夾角φ確定，這樣剛體的位形確定，確定A點(diǎn)位置需要兩個(gè)坐標(biāo)（位置坐標(biāo)），加上角度φ（姿態(tài)坐標(biāo)），構(gòu)成平面運(yùn)動(dòng)剛體的位形坐標(biāo)。其隨時(shí)間變化的關(guān)系形成運(yùn)動(dòng)方程xA=f1（t），yA=f2（t），φ=f3（t）。

動(dòng)力學(xué)是“理論力學(xué)”教學(xué)內(nèi)容的核心，動(dòng)力學(xué)方程與位形概念密切相關(guān)。以平面運(yùn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)微分方程為例，mαcx=∑Fx mαcy=∑Fx Jcα=∑mc（F），與運(yùn)動(dòng)方程相似，也是3個(gè)方程，反映了力與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和力與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)之間的關(guān)系，也就是力與剛體位置和姿態(tài)變化的關(guān)系。前面兩個(gè)定理即動(dòng)量定理，表達(dá)的是力與剛體位置變化的關(guān)系，位置坐標(biāo)可以用剛體上任意一點(diǎn)，但質(zhì)心位置與力的數(shù)學(xué)關(guān)系最為簡(jiǎn)單，故比較多采用質(zhì)心來(lái)確定剛體位置。第三個(gè)是動(dòng)量矩定理，動(dòng)量矩定理表達(dá)了力與剛體姿態(tài)變化的關(guān)系，不同矩心方程可能不同，同樣選擇質(zhì)心其方程比較簡(jiǎn)單。靜力學(xué)是動(dòng)力學(xué)的特殊情況，平面問(wèn)題靜力學(xué)方程同樣是3個(gè)，以一矩式為例∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑mc（F）=0，實(shí)際上從平面運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)微分方程中，直接令加速度和角加速度等于0即得。當(dāng)然，此時(shí)由于矩心均為定點(diǎn)，故矩心實(shí)際可任意選擇。同樣是動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理對(duì)于位置和姿態(tài)的控制的特殊情形。因此，靜力學(xué)方程本質(zhì)上也與位形概念相關(guān)。由于靜力學(xué)各點(diǎn)固定，由動(dòng)力學(xué)固定點(diǎn)動(dòng)量矩定理，其矩心確實(shí)可以任選。

（二）位形概念是“理論力學(xué)”與中學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)區(qū)別的關(guān)鍵

“理論力學(xué)”研究質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，中學(xué)階段已經(jīng)涉及不少，但中學(xué)階段的學(xué)習(xí)主要以質(zhì)點(diǎn)為主，即便是研究物體，也是把它看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，而對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，比較典型的如一個(gè)剛體，其運(yùn)動(dòng)分析與質(zhì)點(diǎn)的本質(zhì)區(qū)別就在于剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的軌跡速度、加速度都可以不一樣，并沒(méi)有所謂物體的速度、加速度這樣的概念（平動(dòng)剛體除外）。但只需確定剛體位形即一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和一個(gè)角度及其變化，其余每個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)就都確定了，其中形即姿態(tài)，是剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)表達(dá)的關(guān)鍵，也是區(qū)別于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)表達(dá)的關(guān)鍵，同樣也是學(xué)生從中學(xué)知識(shí)過(guò)渡到“理論力學(xué)”的一個(gè)難點(diǎn)，需要教師首先重點(diǎn)明確剛體位形的概念，才能完成從中學(xué)知識(shí)的過(guò)渡。

二、教學(xué)過(guò)程中注意強(qiáng)調(diào)位形概念

（一）教學(xué)內(nèi)容應(yīng)圍繞位形概念，注意完整性和相關(guān)性

目前國(guó)內(nèi)高校較多使用哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室編寫的《理論力學(xué)》教材，其體系安排是按照靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)順序，其優(yōu)點(diǎn)是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，但通常多數(shù)學(xué)生進(jìn)入運(yùn)動(dòng)學(xué)后感覺(jué)難以適應(yīng)，效果并不好。而國(guó)內(nèi)一些比較新的教材如清華大學(xué)李俊峰編寫的教材是首先講述運(yùn)動(dòng)學(xué)，然后講述靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)，先通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)提出剛體位形的概念，動(dòng)力學(xué)實(shí)際是力與位形變化的關(guān)系，靜力學(xué)是動(dòng)力學(xué)的一種特殊情況，相對(duì)是比較合理的[2-3]。

使用傳統(tǒng)教材應(yīng)特別注意知識(shí)之間的關(guān)系，首先在運(yùn)動(dòng)學(xué)部分，剛體位形的概念和運(yùn)動(dòng)方程必須重點(diǎn)講清楚，從而明確運(yùn)動(dòng)方程的概念。在講述動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，應(yīng)與位形概念相聯(lián)系，即動(dòng)力學(xué)微分方程本質(zhì)就是力與剛體運(yùn)動(dòng)變化，即剛體位形變化的關(guān)系。也應(yīng)注意與動(dòng)力學(xué)方程相比較，靜力學(xué)是其特殊情況。工程中確實(shí)存在大量靜力學(xué)問(wèn)題，特別是對(duì)于土木大類，靜力學(xué)問(wèn)題是其主要的研究?jī)?nèi)容，故將靜力學(xué)獨(dú)立列出是有道理的，但應(yīng)該注意靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)之間的聯(lián)系，以及與位形控制的關(guān)系。

（二）例題和習(xí)題安排應(yīng)強(qiáng)調(diào)運(yùn)動(dòng)方程的建立和求解

對(duì)于傳統(tǒng)“理論力學(xué)”教材，在運(yùn)動(dòng)學(xué)部分強(qiáng)調(diào)瞬態(tài)分析，特別缺乏關(guān)于位形的練習(xí)，筆者認(rèn)為應(yīng)增加建立運(yùn)動(dòng)方程的練習(xí)。如下題：如圖2所示純滾動(dòng)圓輪，半徑為R，沿直線向右做純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，輪心A的速度：v0 = 常數(shù)。試求圓輪的平面運(yùn)動(dòng)方程。實(shí)際上，只需選擇輪心A作為基點(diǎn)，t時(shí)刻其坐標(biāo)為xA=v0t，yA=R=常數(shù)，再選剛體上任意一條線段如A0B0，經(jīng)過(guò)t時(shí)間后轉(zhuǎn)過(guò)的角度φ= ? ? = ? ? ，三個(gè)方程形成剛體的運(yùn)動(dòng)方程。通過(guò)這種簡(jiǎn)單的例子，讓學(xué)生對(duì)于剛體的位形概念有深刻的認(rèn)識(shí)。

動(dòng)力學(xué)部分題目如圖3（a）所示，復(fù)擺由可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體構(gòu)成。已知復(fù)擺的質(zhì)量是m，重心 C 到轉(zhuǎn)軸O的距離 OC = b，復(fù)擺對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是JO，設(shè)擺動(dòng)開(kāi)始時(shí)OC與鉛直線的偏角是φ0，且復(fù)擺的初角速度為零，試求復(fù)擺的微幅擺動(dòng)規(guī)律。軸承摩擦和空氣阻力不計(jì)。

三、注重位形概念的理解有利于學(xué)生學(xué)習(xí)

（一）位形概念有助于解決學(xué)生學(xué)習(xí)的兩個(gè)難點(diǎn)

由于與中學(xué)知識(shí)部分重復(fù)，導(dǎo)致學(xué)生在課程學(xué)習(xí)中對(duì)一些概念認(rèn)識(shí)不清，其中角速度概念是一個(gè)典型。容易把物體角速度、角加速度理解成一個(gè)點(diǎn)的角速度和角加速度。如前所述，位形概念中形即姿態(tài)，對(duì)于平面運(yùn)動(dòng)即剛體上任一條線與一個(gè)不變方向的夾角，其變化率即角速度（平面運(yùn)動(dòng)），角速度的變化率即二維運(yùn)動(dòng)的角加速度。顯然，從姿態(tài)的概念出發(fā)角速度、角加速度不是定義在一個(gè)點(diǎn)上的，至少是一條線才談得上角速度。又由于相同時(shí)間內(nèi)同一剛體上不同線轉(zhuǎn)過(guò)的角度相等，故角速度、角加速度實(shí)際是剛體的概念，即同一瞬時(shí)剛體角速度、角加速度是唯一的。這樣從姿態(tài)角出發(fā)引出的角速度、角加速度概念易于接受，也不會(huì)產(chǎn)生哪個(gè)點(diǎn)的角速度的說(shuō)法，圓周運(yùn)動(dòng)的角速度本質(zhì)是點(diǎn)和圓心連線的角速度。

課程學(xué)習(xí)的另一個(gè)難點(diǎn)是錯(cuò)把點(diǎn)的速度、加速度落到物體上，形成所謂物體的加速度。在位形的概念中，位置實(shí)際上是剛體上某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，這個(gè)點(diǎn)是可以任意選擇的，但不同點(diǎn)位置顯然是不一樣的，故必須明確哪個(gè)點(diǎn)。在動(dòng)力學(xué)中，力與剛體位置變化的關(guān)系，同樣應(yīng)該是力與剛體上某個(gè)點(diǎn)的位置變化的關(guān)系，不存在力與剛體加速度的關(guān)系。如果在運(yùn)動(dòng)學(xué)部分學(xué)生透徹理解了位置坐標(biāo)是某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)概念，就不會(huì)產(chǎn)生剛體加速度這樣的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。

（二）有利于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的銜接

“理論力學(xué)”后續(xù)內(nèi)容中的一個(gè)重要部分是三維剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)，而三維剛體運(yùn)動(dòng)方程也是二維運(yùn)動(dòng)位形概念向三維的發(fā)展，即需要3個(gè)坐標(biāo)描述1個(gè)點(diǎn)的位置，3個(gè)姿態(tài)角描述剛體姿態(tài)，當(dāng)然，關(guān)于角速度的概念會(huì)復(fù)雜很多。另外，多剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)、機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)中位形的概念也是基礎(chǔ)概念，從理論力學(xué)二維運(yùn)動(dòng)分析開(kāi)始就強(qiáng)調(diào)位形的概念，必然有利于學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)和研究工作的開(kāi)展[4-5]。

參考文獻(xiàn)：

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[4]劉延柱，潘振寬，戈新生.多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)[M].高等教育出? ? 版社，2014：7.

[5]蔡自興.機(jī)器人學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2015：10.