磁粉制動器的改進全局快速終端滑模控制

王 惠，白國振，王海波，宋慧文

（上海理工大學 機械工程學院，上海 200093）

0 引言

常見的模擬加載方法有電動伺服加載、機械式加載、電液加載和磁粉制動器加載［1］。由于磁粉制動器具有良好的恒轉矩特性和可控性［2-3］，因而在模擬加載領域中得到廣泛應用。但由于磁粉制動器存在一定的非線性和滯后性［4］，對加載系統的動態響應和加載精度影響很大。因此，研究加載系統的控制算法對提高系統的加載質量具有十分重要的意義。

針對磁粉制動器的滯后性及非線性，學者提出了多種控制方法：孫毓斌［5］提出了模糊自適應的控制方法；Jing等［6］研究了PID 控制方法在磁粉制動器中的應用；袁宇鳳［7］提出引入積分作用的模糊Smith 控制方法，在一定程度上提高了磁粉制動器的加載性能。模糊控制根據系統的實時誤差及誤差變化率進行模糊推導，得到最佳的控制參數。在進行模糊規則設定時，只需對其數學模型有初步了解即可，因而具有一定的自適應能力，從而提高控制效果，但是在確定模糊規則時需要大量專業人士的相關控制經驗［8］；金昊等［9］提出一種模糊單神經元復合智能控制方法，通過單神經元學習算法進行參數自整定，實現單神經元控制器輸出增益的實時調節；胡超等［10］、邢華［11］設計了神經網絡PID 控制算法，該算法在結構和原理上模擬了人腦中的局部調整和感受野，具有收斂速度快、逼近任意連續函數能力突出的特點，但神經網絡的初始權重和閾值對最終的控制效果影響較大，且較難選取。上述幾種控制算法雖然在一定程度上不再依賴被控對象的精確數學模型，具有一定的魯棒性，但其加載的響應速度、加載精度及抗干擾能力等依然需要進一步提高。

本文針對上述算法中存在的問題，從快速性、加載精度、抗干擾能力方面設計一套更適合于磁粉制動器的智能控制算法——基于擾動觀測器的磁粉制動器全局快速終端滑模控制算法。該算法對磁粉制動器精確的數學模型依賴度相對較低，能夠進一步提高系統的加載精度、抗干擾能力和響應速度。

1 磁粉制動器扭矩加載系統數學模型

1.1 系統基本模型

建立數學模型方法主要分為機理分析法和系統辨識法兩種［12］。本文首先通過機理分析法推導出系統的名義模型，然后利用系統辨識法確定名義模型中的未知部分。磁粉制動器扭矩加載系統的典型控制結構如圖1 所示。

Fig.1 Typical control structure of torque loading system of magnetic powder brake圖1 磁粉制動器扭矩加載系統典型控制結構

由圖1 可知，磁粉制動器扭矩加載系統由功率放大器和磁粉制動器兩部分組成。

1.1.1 功率放大器數學模型

功率放大器把控制器輸出電壓信號轉換成磁粉制動器的輸入電流信號，其數學模型如下：

1.1.2 磁粉制動器數學模型

設磁粉制動器內定子的外徑為Dm、寬度為Lm，則其輸出轉矩為：

式（2）中：σ為內定子單位面積上的剪切應力。

依據莫爾—庫侖原理［13］有：

式（3）中：σ為氣隙磁導率，B為磁粉間的磁感應強度，μδ為磁粉槽內磁粉磁導率。

將式（3）代入式（2）有：

將式（4）線性化并拉式變換得：

在磁粉制動器磁路中，由磁場歐姆定律得：

式（6）中：Rδ為隙及磁粉總磁阻，Ri為鐵磁阻，L為電感量，N為線圈匝數，I為線圈電流。

不考慮邊沿磁通量帶來的影響，則穿過粉槽中的磁通量為：

式（7）中：Sδ為磁粉填充區域垂直于磁路的有效面積。

將式（7）代入式（6）得：

將式（8）拉氏變換得：

聯立式（5）和式（9）得：

由于磁粉材料存在一定的滯后性，因此在式（10）的基礎上串聯一個滯后環節，則磁粉制動器的數學模型為：

由式（11）可知，磁粉制動器是一階慣性純滯后系統，影響其工作性能的參數有增益Km、時間常數T以及滯后時間τ。

結合式（1）和式（11）得到系統的傳遞函數為：

1.2 系統近似數學模型

經典系統辨識方法中，最小二乘法具有計算量小、原理簡單的特點，但其估計有偏差，要求輸入信號已知且具有豐富的變化［14-16］。現代系統辨識方法中，粒子群優化算法具有實現容易、精度高、收斂快等特點，其在解決系統辨識問題中具有顯著的優越性［17-19］。

針對同一系統模型，分別使用兩種方法進行辨識。兩種方法采取同樣的準則函數進行評判，即二乘模，具體步驟如下：

（1）選定模型傳遞函數。

（2）在MATLAB 中對模型輸入幅值為1 的階躍信號采樣時間設為1s，仿真時間為35s，得到35 組輸入輸出數據。在輸出數據上加入均值為0、方差為0.1 的白噪聲作為干擾信號。

（3）采用最小二乘法辨識結果如式（14）所示，辨識曲線如圖2 所示，辨識準則函數值J 為8.509 6。

（4）利用粒子群優化算法辨識。辨識參數集為X=［K1 K2 T1 T2］，粒子群規模為80，最大迭代次數為200 次，X中3個參數范圍均為［-2，2］，粒子最大速度Vmax設置為1.0，學習因子c1=1.3，c2=1.7，采用線性遞減的慣性權重，wmax=0.90，wmin=0.1。辨識結果如式（15）所示，辨識曲線如圖3所示，辨識準則函數值J 為2.556 9。

Fig.3 Identification curve of particle swarm optimization algorithm圖3 粒子群優化算法辨識曲線

對系統采用上述兩種方法進行辨識，對辨識結果進行分析比較，可知粒子群優化算法的辨識效果優于最小二乘法，因此本文采用粒子群優化算法對系統參數進行辨識。

本文加載系統的控制回路為單回路形式，其系統框圖如圖4 所示。

Fig.4 Diagram of single loop control system圖4 單回路控制系統框圖

由圖4 可知，需要辨識的控制對象傳遞函數為Gp（s），在不考慮噪聲干擾情況下，Y（s）即為該控制對象的輸出信號，R（s）為整個控制系統的輸入信號，U（s）為控制器的輸出信號，也是控制對象的輸入信號。本文不考慮控制器傳遞函數的辨識，只關心控制對象傳遞函數的辨識，即Gp（s）。因此，輸出信號和輸入信號分別為Y（s）和U（s）。

本次辨識采用的輸入信號為階躍信號，信號幅值大小為2V，采樣時間為1ms，采樣次數5 000 次。采樣結束后，將從現場采集到的數據保存。將保存的輸出數據利用粒子群算法進行辨識，通過機理分析法得到控制對象的基本數學模型，得到待辨識的參數個數為3 個，因此取粒子維數為3。粒子群數量設置為80，最大迭代次數G=200，參數搜索范圍為［0，50］，粒子速度范圍為［-1，1］，學習因子c1=1.3、c2=1.7，采樣線性衰減0.1≤w≤0.9，準則度函數為二次模。利用采集到的數據進行辨識后結果如下：

1.3 辨識結果分析

為保證辨識后系統數學模型的精確度，對粒子群優化算法的辨識結果進行驗證。將粒子群算法辨識模型的開環輸出值與系統的實際輸出值進行比較，結果如圖5 所示。

Fig.5 Validation results of identification model圖5 辨識模型驗證結果

由圖5 可知，兩個輸出值的波形基本吻合，因此可將粒子群優化算法的辨識結果作為被控對象的實際模型進行后續控制算法研究。

在MATLAB 中繪制系統的開環伯德圖，如圖6 所示，由圖6 可知系統的增益裕度和相位裕度均大于0，系統穩定。

Fig.6 Open loop Bode diagram of the system圖6 系統開環伯德圖

2 全局快速終端滑模控制器設計

2.1 控制器設計

將磁粉制動器的傳遞函數轉化成狀態空間方程：

2.2 滑模運動時間分析

對式（28）兩邊取對數，即可求得系統到達平衡狀態的有限時間為：

因此，通過設定α、β和q可使系統在有限時間內達到平衡狀態。

2.3 穩定性分析

3 基于擾動觀測器的磁粉制動器全局快速終端滑模控制器設計

3.1 擾動觀測器設計

擾動觀測器利用已知名義模型信息，觀測實際對象與名義模型的輸出差異，即等效干擾，然后將等效補償引入到控制器一側，實現對擾動完全抑制，其標準結構如圖7 所示。

Fig.7 Basic structure of disturbance observer圖7 擾動觀測器基本結構

圖7 中，Gp（s）為被控對象模型，u為參考控制輸入，e為實際控制輸入，d為外部干擾，y為系統輸出，n為測量噪聲，為觀測出的等效干擾。由圖7 可得等效干擾值為：

式（33）說明，如果觀測器可在實際物理系統中實現，則利用上述方法就可實現對擾動的準確觀測。但實際構造觀測器時存在以下問題：①被控對象的傳遞函數階次通常不為零，因此其在物理上無法實現；②被控對象的精確傳遞函數無法獲取；③在實際測量時難免存在測量噪聲，會導致測量精度下降。為解決這些問題，在等效干擾后引入低通濾波器Q（s），用名義模型的逆系統代替（s），得到擾動觀測器等效框圖如圖8 所示。

Fig.8 Equivalent block diagram of disturbance observer圖8 擾動觀測器等效框圖

由式（35）可知，濾波器Q（s）對y（s）的影響非常大，Q（s）帶寬的設計與擾動觀測器的魯棒性和干擾抑制能力密切相關，Q（s）的設計與系統輸出y（s）的關系為：

在低頻段，Q（s）=1，擾動觀測器可以實現對干擾的完全抑制。在高頻段，Q（s）=0，擾動觀測器可以完全克服高頻測量噪聲的影響，但對于模型參數的攝動及外部干擾完全沒有抑制作用。因此，本文采用低通濾波器來設計Q（s）。

3.2 低通濾波器Q（s）設計

目前較為流行的低通濾波器設計方法由Lee［20］提出，其表達形式為：

式（38）中：N為分母的階次，M為分子的階次，N-M為相對階次，τ為時間常數。

在全局快速終端滑模基礎上引入擾動觀測器后，系統控制框圖如圖9 所示。

Fig.9 System control frame with disturbance observer圖9 帶擾動觀測器的系統控制框圖

3.3 抗擾動仿真分析

在MATLAB/simulink 平臺進行抗擾動能力仿真，外界干擾信號和指令信號分別為d（t），y（dt）：

擾動觀測器中Q（s）低通濾波器參數設置為：N=3，M=1，k=0.1，τ=0.001；滑模控制部分參數取c=10，ε=0.5，k=10。加入擾動觀測器和未加入擾動觀測器的全局快速終端滑模控制仿真結果如圖10、圖11 所示。

Fig.10 Control effect after adding disturbance observer圖10 加入擾動觀測器后的控制效果

Fig.11 Control effect without disturbance observer圖11 未加入擾動觀測器的控制效果

4 仿真分析

利用MATLAB/Simulink 平臺建立磁粉制動器扭矩加載系統控制仿真模型，采用常規PID 控制、指數趨近律的滑模控制、加入擾動觀測器的全局快速終端滑模控制3 種方法，對周期為6s、幅值為1NM 的正弦信號進行跟蹤，驗證本文提出策略的正確性和可行性。

ε=0.5，k=10；基于擾動觀測器的全局快速終端滑模控制（GFTSMC+DOB）系統初始狀態為x=［0，0］，α=2，β=1，n=1，m=3，q=5，p=9，γ=10，φ=10，Q（s）低通濾波器的參數設置：N=3，M=1，k=0.1，τ=0.001。3 種控制方法的仿真結果如圖12 所示。

Fig.12 Sinusoidal tracking effect of three methods without interference圖12 無干擾下3 種方法正弦跟蹤效果

在系統模型中加入干擾信號，干擾信號為1.5sin（2πt），輸入信號與各控制器的參數如上所述。加入干擾信號后的仿真結果如圖13 所示。

由圖12 和圖13 可知，在無干擾情況下，GFTSMC+DOB和RLSMC 控制比PID 控制的跟蹤效果好，GFTSMC+DOB 的跟蹤效果最優。在有干擾情況下，GFTSMC+DOB 控制方法效果最優；相比于其他兩種控制方法，RLSMC 控制方法對系統的控制性能影響較小；而常規PID 對系統的控制性能影響較大，證明GFTSMC+DOB 控制方法具有較強的抑制干擾能力。

5 結語

本文針對磁粉制動器的非線性和滯后性對加載系統動態響應和加載精度的影響，設計了一種基于擾動觀測器的磁粉制動器全局快速終端滑模控制器。通過電磁學原理推導出系統的基本數學模型，并分析比較了最小二乘法與粒子群優化算法對系統辨識的優缺點。采用粒子群優化算法對系統進行辨識，得到系統近似的數學模型。對擾動觀測器進行設計，并在MATLAB/Simulink 平臺上進行抗擾動能力仿真，完成本文控制算法與PID 控制算法、趨近律滑模控制算法對正弦信號進行有干擾信號和無干擾信號的仿真對比實驗。實驗結果表明，本文設計的控制算法對系統的不確定性和外部擾動具有較好的魯棒性，在無干擾情況下，GFTSMC+DOB 的跟蹤效果最優，在有干擾情況下，GFTSMC+DOB 控制方法效果最優。后續將對本文提出的控制方法在平臺中進行驗證。