借助數學草圖培養學生數形結合思想

葉俊

【摘要】數與形是焦不離孟、孟不離焦的關系.對于復雜難懂的數學習題、概念知識，數學教師可以借助數學草圖引導學生找出解決問題的有效策略.對此，本文從題目中的數量關系、圖形與數據的內在聯系、小學生的解題思考習慣入手，淺談借助草圖培養學生數形結合思想的策略.

【關鍵詞】數學草圖;數學思想;數形結合

在數學學習中，數與形本就形影不離，通過圖形的輔助，題目中的復雜數據、數量關系都能以直觀的方式呈現出來.數學教師可以利用草圖幫助學生代入思考，讓學生體會以形助數的便利之處，循序漸進地養成數形結合的思考習慣.

一、應用數學草圖，梳理題目中復雜的數量關系

小學生在面對數學習題時，通常難以把握好題目中的數量關系.由于慣性思維的影響，小學生很容易在解題時迷失方向.這種情況在分數乘除法中尤其常見，要想解決分數應用題，經常需要找準單位“1”，從而確定突破的角度應該選擇乘法還是除法.筆者在教學中大膽應用數學草圖，通過畫線段圖的方式引導學生進行思考、分析，指導小學生利用線段圖將題目中復雜的數量關系梳理清晰.

以蘇教版小學數學六年級上冊“分數乘法”“分數除法”的教學為例，對以下應用題進行分析講解：甲、乙、丙、丁四個好朋友一同去開墾一塊田地，甲開墾了其他三人總數的一半，乙開墾了其他三人總數的13，丙開墾了其他三人總數的14，丁開墾了39畝，這塊田地的大小為多少畝？

小學生在面對這道題時，往往會感到為難，因為每個題干條件中的數量關系都不相同.其中出現了三個不一樣的總數，讓學生感到無從入手.對此，筆者應用畫線段圖的方式，帶領學生針對題干條件逐一展開探究.比如根據題目第一個數量關系條件“甲開墾了其他三人總數的一半”繪制線段圖.因為甲開墾的數量是其他三人總數的一半，所以甲的開墾數是總數的13，

繪制結果如圖1所示.

以此類推，分別將剩下的條件用線段圖進行表示，可得乙的開墾數是總數的14，丙的開墾數是總數的15，那么四個人的開墾數量就能繼續通過線段草圖從整體角度建立關系.田地總畝數始終沒變，應當視為單位“1”，那么丁所開墾的畝數就占總數的1-13-14-15，因此，列式為39÷1-13-14-15，即可得出最后的答案，結果為180畝.

針對這道題的學習，學生可以從中得到一定的啟示：當面對數量關系條件不斷發生改變的問題時，首先要敏銳地抓住其中的不變量.比如這道題中的不變量就是田地的總畝數，可以作為其中的單位“1”進行突破.其次要通過草圖來建立變量之間的數量關系，比如題中的“甲乙丁”“甲丙丁”“乙丙丁”就是總數的三種變量形式，雖然其中發生了改變，但都包含在單位“1”中.因此，應用線段圖將變量與單位“1”的關系綜合到一起，就能分別剖析出“甲、乙、丙、丁”在總量中所占的比例.學生按照這種解題思路先循序漸進地剖析各種復雜的題干條件，再結合已知數據，就能準確得出最后的答案.

二、應用數學草圖，加強圖形與數據之間的聯系

數學教師需要想方設法地將抽象的物體、圖像以更為直觀的方式呈現在小學生面前，激發學生的空間想象能力，使其在腦海中構建出良好的幾何結構.數學教師可以通過草圖幫助小學生進行思維過渡，將圖形與數據更為緊密地聯系到一起，幫助小學生理解并解決某些較為復雜的圖形類習題，構建出優秀的空間觀念.

以蘇教版小學數學六年級上冊“長方體和正方體”的教學為例，對以下習題進行解析：奧運會上有一個頒獎臺，是由三個不同大小的長方體合并成的.現在打算將這個頒獎臺的前后貼滿白色的壁紙，其他露出的表面貼滿紅色的壁紙，所貼的白色壁紙和紅色壁紙的面積分別是多少？圖形的主要信息如圖2所示.

解析這道題，學生需要具備良好的空間觀念，并從整體的角度分析問題，尋求解題的有效辦法.在實際思考時，學生需要仔細探究，從上、下、前、后、左、右各個方向進行細致的觀察，并且繪制出對應的圖形形狀.明確白壁紙和紅壁紙分別貼在哪些地方.如果沒有草圖的提示，學生很容易將貼紙的部分全部列舉出來.比如長方體2需要在左邊和上邊貼紅壁紙，長方體1的上面、左右兩側各自露出的部分也需要貼紅壁紙，以此類推，學生會將每一個貼紙部分的面積單獨計算，從而使整個計算步驟變得十分復雜.筆者引導學生結合草圖進行數形結合，如圖3、圖4所示（單位：cm），將觀察得到的圖形以平面圖的方式繪制出來，其中圖3為貼紅壁紙的部分，圖4為貼白壁紙的部分，這樣就能將許多需要單獨計算的部分綜合成一個整體，便于進行直觀的計算.

由此可知，貼紅壁紙部分的面積可以按照圖3來計算，列式為65×40×2+40×40×3=10000（cm2），貼白壁紙部分的面積可以按照圖4來計算，列式為[40×（65-10）+40×40+40×65]×2=12800（cm2）.通過草圖的思維啟示，學生以后面對這類涉及空間思維的習題時，就能有條理地從直觀角度進行分析了.通過這道例題的講解學習，我們可以得到以下教學收獲：學生應用數學草圖能夠將三維立體圖形分解成二維平面的形式，同時這種應用能夠提升學生對數形結合思想的應用能力.

三、應用數學草圖，培養學生以形助數的思考習慣

蘇教版數學教材中的許多內容都著重將“數”和“形”作為主要的研究對象.教材中大部分的“數”都結合“形”來表示，將數形結合的數學概念無聲地滲透到學生的解題思維中.數學教師可以應用草圖，將蘇教版教材的編寫理念淋漓盡致地體現出來，從而引導學生在不知不覺中樹立形象、直觀的數形結合觀念，傾向從“以形助數”的角度思考解題方法，在繪制圖形的同時，將題干信息或知識要素敘述得更為形象、簡潔.

比如在一條100米長的馬路上，每隔5米就要安裝一個路燈，如果分別按照兩端都安裝、只安裝一端、兩端都不安裝的方式安裝路燈，這條路上安裝路燈的數目分別為多少個？雖然這道應用題只是簡單地應用了整數除法與加減法的混合運算，但是小學生還是很容易在分類思考的過程中，將加一還是減一弄混.對此，教師可以讓學生先按照題目要求，通過草圖將各種情況分別繪制出來，按照以形助數的思維方式，養成良好的思考習慣.繪制結果如圖5所示，兩端都不安裝路燈、只一端安裝路燈、兩端都安裝路燈可以與直線、射線、線段分別關聯到一起.

對圖5進行觀察，可見第一條直線代表馬路兩端都不安裝路燈，第二條射線代表這條馬路只在一端安裝路燈，第三條線段代表這條馬路兩端都安裝路燈，那么按照觀察的結果進行列式計算，分別為

100÷5-1=19（個），

100÷5=20（個），100÷5+1=21（個）.這樣學生就能直觀地了解這些題干要求的論述路徑了，有助于加深學生對數形結合思想的學習體會.在講解這道題目后，教師需要進行教學反思：想要通過數學草圖滲透數形結合思想的培養教育，不一定要選擇十分復雜的高難度習題，也可以從簡單的數學基礎知識入手，由小見大，一樣可以收獲良好的教學成效.教師可以先引導小學生養成結合圖形思考數學問題的習慣，將題干數據融合到繪制的草圖當中，再逐漸提高習題難度，這樣學生才能高效、迅速地習慣以形助數模式的解題思路與解題方法.

總之，數學教師應當深入探索草圖的高效應用方法，讓學生習慣從畫圖的角度思考數學問題，引導學生深刻體悟數形結合思想的內涵，為學生數學綜合能力的提升打下堅實的基礎.

【參考文獻】

[1]石艷平，尚小舟.數形結合在小學數學課堂教學中的探索[J].佳木斯職業學院學報，2020，36（06）：102-103.