深入進行試題研究，不斷提升教學水平

王治民

【摘要】利用列舉和推理的方法對小學低年級學生進行等差數列基本知識的訓練，以及利用分數拆分的方法在小學高年級進行計算能力訓練，可以豐富學生的知識素養，讓學生積累解題經驗，同時激發學生探究疑難問題的興趣，培養其頑強的意志品質，提升其數學能力.

【關鍵詞】試題;深入;研究;提升

在小學數學教學中有許多內涵豐富、思路復雜的習題，教師在教學中加強對此類疑難題目的教學，有利于學生思維能力的發展，同時對學生初、高中階段的數學能力提升具有重要意義.利用列舉和推理的方法對小學低年級學生進行等差數列基本知識教學，以及利用分數拆分的方法對小學高年級學生進行計算能力訓練，是筆者積累的兩個比較典型的案例，希望對大家有所啟發.

一、低年級學生妙解“等差數列”一法

在對三年級學生進行小學數學奧數知識輔導時，遇到這樣一題：

1? 2? 3? 4

3? 4? 5? 6

5? 6? 7? 8

7? 8? 9? 10

……

請問，第15行的第三個數是多少？

此題的基本結構是每一行都是四個連續的自然數，前一行的后兩個數在下一行的前兩個數的位置重復出現，同時，每一列都是由連續奇數（偶數）構成的.

要知道第15行的第三個數，就應該先知道該行的第一個數，而要得到第15行的第一個數，對低年級學生來說，常用的方法只有推理，但這種方法只適合項數較少的數列.如果要求出第50行、第100行甚至更多行上的數時，別說小學生，對成人而言，也絕不是個簡單的問題.此時，找到符合三年級學生理解能力和知識水平的規律，才是最好的辦法.

筆者邊鼓勵學生自主探索，邊仔細觀察.原來本題可以分成四個單一的等差數列：（1）1，3，5，7…… （2）2，4，6，8…… （3）3，5，7，9…… （4）4，6，8，10……每個數列前后兩個數之間都差2，但第一個數不同.

筆者想，既然這四個數列的前后兩個數之間都差2，它們的每一位上的數肯定也與2有關.第一個數列中，第一個數是1，比2少1，第二個數比4少1，第三個數比6少1……而2，4，6，8，…，每個數都正好是2的倍數.

原來，在這個數列中，每兩個相鄰項之間都相差2，用表示第一個數的位數1乘差數2再減1，便是第一個數1，用表示第二個數的位數2乘差數2再減1，就得到了第二個數3.

依次類推，即可得到相應位置上的數5，7，9……同理，用表示第15位的15乘差數2再減1，就可以得到第十五個數29.筆者按上述思路引導學生觀察并詳細講解后，多數學生都能迅速理解.之后筆者又隨機加以深化：請你算出第一列的第50個數是多少？不到30秒，全班78位同學幾乎全都得出了正確答案50×2-1=99.接下來，這一列的任意一項，學生都能通過計算快速求得了.

意外的收獲讓筆者十分高興，既然能根據規律求出第一個數列中的每一項，那么第二列、第三列、第四列中的每一個數一定也能通過計算求得.于是，筆者激勵學生繼續探索，同學們的興趣很高，一會兒工夫便“大功告成”，大家都踴躍匯報學習成果：第二列的每一個數直接用位數乘差數2即可，這一列的第15個數是15×2=30;第三列的每一個數是用位數乘差數2再加1，依次為1×2+1=3，2×2+1=3，3×2+1=7……這一列的第15個數是15×2+1=31;而第四列中的每一個數分別為位數乘差數2再加2，依次為4，6，8，10……這一列的第15個數是15×2+2=32.這樣，例題中第15行的四個數依次為29，30，31，32，完全符合題意.

根據這一規律，我們可以輕松求出每一列中的任意一個數.如：第一列的第99個數是99×2-1=197，第二列的第99個數是99×2=198，第三列的第99個數是99×2+1=199，第四列的第99個數是99×2+2=200，真是妙不可言啊！

筆者意猶未盡，借著剛才的興致繼續思考，用位數乘2再加幾（或減幾）的方法能解決差數為2的等差數列問題，那么其他數列是否也能用這一方法呢？筆者立即構建了一個差數為6的數列：0，6，12，18，（? ），（? ）……通過嘗試，筆者發現第二個數6等于位數2乘差數6再減6，第四個數就應該是位數4乘差數6再減6等于18，沒問題，那么第五個數肯定是5×6-6=24，第六個數等于6×6-6=30.也就是說，在這個數列中，每個數都等于位數乘差數6再減6，第100個數是100×6-6=594，第1000個數是1000×6-6=5994.

為了驗證上述結論的正確性，筆者又構建了一個差數為8的數列：5，13，21，29，（? ），（? ），（? ）……根據已知條件，筆者很快找到方法：用位數乘差數8再減3，所以括號內的數依次是5×8-3=37，6×8-3=45，7×8-3=53，這一數列的第999個數是999×8-3=7989.通過反復驗證，這一方法對于每一個等差數列都適用.

筆者由此得出結論：要求等差數列中的某一個數，可先根據已知條件求出該數列的差數（公差），再嘗試用要求數的位數乘差數再加幾（或減幾）的方法找到該題的構造規律，然后便可輕松求出任何一位上的數.即：差數×位數±幾=該位上的數.

在之后的教學中，筆者將這一方法專門介紹給學生，效果非常好.三年級同學對任何一組等差數列都能快速找出規律并輕松解答.這一方法對沒有“專業經驗”的中小學生解決等差數列問題具有很大的應用價值，對豐富學生的數學方法和提高學生的數學素養也有很好的作用，在此和大家分享.

二、運用“拆分”思想探索一道競賽題的解法