淺議新課標下高中數學向量教學的難點

陳子喻

【摘要】在高中數學教學的過程中，向量教學一直都是大家研究的重要內容.尤其是在新課標的背景下，提高學生對向量知識的掌握程度，能夠進一步完善其數學思維.所以，為了強化教師對這方面的教學認識，本文對新課標背景下高中數學向量教學的難點展開分析，希望起到一些積極的參考作用.

【關鍵詞】新課標;高中數學;向量教學;難點分析

大量教育工作者、學者通過分析、統計發現，向量在高考中所占據的分量不容小覷，并且其與其他的考點，也有一定的交匯性.所以，為了強化學生的解題認知，教師在展開向量教學的時候，需要把控其中的重點、難點內容，深化學生的數學學習認知，開闊其解題視野.這樣在幫助學生利用向量建立解題思維的同時，還可以有效提高學生的解題速度，對學生數學思維能力的提升大有裨益.

一、新課標下高中數學向量教學存在難點的原因

（一）教材和教學因素

在新課程標準下，教材特點更加突出其基礎性，強調引導學生體會知識的形成過程，知識難度增加，交叉性比較強.同時，數學知識具有抽象性和系統性特點，結構緊湊，應用較為廣泛.向量是高中數學的基本數學概念之一，邏輯嚴謹、抽象性強，在運算的過程中，和以往的運算具有很大的不同.這些因素都使得向量知識的學習有著一定的難度.

（二）學生認知能力方面

在學習新的知識和技能的過程中，學生會受到很多因素的影響，其中的基本因素包含學生已有的認知和技能.夯實學生的基礎知識，能使學生對數學基本概念的理解更加準確.但是，在以往的數學學習中逐漸形成了一定的思維定式，教師常常將實數運算法則照搬向量運算，使得學生出現解題錯誤.

（三）非智力方面因素

在解題的過程中，學生興趣、動機、意志以及情感等非智力因素，對學生同樣有著一定的影響.對于一些復雜的數學問題，學生需要具備一定的意志與自信心，才能保證解題活動順利開展.因此，教師在教學中要注重情感態度和價值觀等非智力因素對學生的影響.

二、新課標下高中數學向量教學的難點突破策略

（一）幾何問題的代數化思路

在高中數學解題中，針對幾何類的問題，教師可以考慮借助向量內容，進而從代數化的角度解決問題.當向量的大小、方向相同時，可以根據其特性分析出進一步的解題思路.

例1 圓O的方程是x2+y2=9，點P位于圓上，過點P作PD，使PD垂直于x軸，垂足為點D，點E的坐標為（1，1），動點Q滿足DQ=23DP.在動點Q的軌跡上，是否有兩個不重合的點M，N，使OE=12（OM+ON）（O是坐標原點）？如果不存在，請說出理由;如果存在，求出直線MN的方程.

針對這類問題，在解決的時候，我們需要認識到，幾何知識點中有較多的向量內容，我們可以對其中的向量知識展開坐標化的分析，將幾何問題轉化為代數問題.

解 將點Q設定為（x，y），點P為（x0，y0），則D（x0，0），

進而推出DQ=（x-x0，y），DP=（0，y0），

又因為DQ=23DP，所以x-x0=0，y=23y0.

又因為點P在圓O上，

易得點Q的軌跡方程為x2+94y2=9.

假設點M，N存在，設M（x1，y1），N（x2，y2），

因為OE=12（OM+ON），所以E（1，1）是線段MN的中點，所以x1+x2=2，

y1+y2=2，

又M，N在點Q的軌跡上，所以x21+94y21=9，

x22+94y22=9，

進而得出（x1-x2）（x1+x2）+94（y1-y2）（y1+y2）=0，

設直線MN的斜率為k，

則易得2+92k=0，解得k=-49.

因為點E（1，1）在橢圓內，

所以直線MN與橢圓相交，

且直線MN的方程為：4x+9y-13=0.

在這類題目中，針對向量內容，需要讓學生掌握其中的幾個關鍵點，首先是對坐標點的情況進行相應的分析;其次，對于所求的點可以利用設而不解的思路進行求解;最后，還應該考慮存在性的內容，即在得出解的時候對其展開相應的驗證，以免產生根的增失情況.

（二）向量的平行和共線問題

對于向量內容，教師在帶領學生解題的時候，還可以用平面向量解決幾何中經常會出現的平行及共線的問題，解題的時候，可以先從平行知識的相關條件入手，然后在解析平面幾何的基礎上，對非零平行向量的充要條件展開合理化的應用，這樣就能達到理想化的解題效果.

例2 點A的坐標是（2，0），直線l為x=-1，并且上面存在一動點B，∠AOB的平分線與AB在C點處相交，請求出點C的軌跡.

針對這種類型的題目，在解決的時候，首先要把握住角平分線這一關鍵點.當然，為了降低解題的難度，同時建立更為清晰的思路，教師不妨帶領學生從向量坐標的角度出發，以此來提升大家解題的效率.

解 設C點坐標為（x，y），B點坐標為（-1，p），

則OC=（x，y），OB=（-1，p），OA=（2，0）.

因為cos ∠BOC=cos ∠AOC，

所以-x+yp1+p2x2+y2=2x2x2+y2，

整理得p（y2-x2）=2xy.

又因為AB=（-3，p），AC=（x-2，y），

且AB∥AC，所以-3y=p（x-2），

進而推出x2-3y2+4x=0，

即（x+2）24-3y24=1.

進而C點的軌跡是雙曲線（x+2）2[]4-3y2[]4=1的右支.

在解題中，大家需要了解到，向量平行是充要的條件，根據平行、共線的內容，還應該注意三項知識點，首先是根據條件的特征對向量方面的知識建立一個綜合性的應用意識;其次，在利用向量知識解決問題的時候，需要明確其中的限制性條件，這樣解題思路可以更為綜合;最后，在解題的時候，對于向量知識，還應該明確基礎性的概念，進而靈活應用.