高等數(shù)學(xué)教學(xué)中極限算法探究

李會芳

【摘要】本文首先提出解決極限問題的首要步驟，接著對極限過程進(jìn)行具體分類，然后針對不同類型提出了行之有效的解決方法.

【關(guān)鍵詞】極限;基本初等函數(shù);分類

極限是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，把我們研究的領(lǐng)域從有限元過渡到無限元，實現(xiàn)了質(zhì)的飛躍.同時極限是高等數(shù)學(xué)后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，可以說高數(shù)每一個領(lǐng)域的研究都離不開極限的思想，例如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)的定義、積分的定義等.

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，我們首先接觸到的是極限的定義及計算.很多學(xué)生不適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)的思維模式，導(dǎo)致其對這部分內(nèi)容掌握得不扎實，一做題就出錯.經(jīng)過多年的教學(xué)實踐，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在剛開始接觸極限的計算時存在很多問題，比如極限類型分不清，具體計算時思維混亂，經(jīng)常半途而廢等，究其原因就是學(xué)生對極限的理解不到位，沒有把握住求極限的本質(zhì)，并且此時還沒講導(dǎo)數(shù)，不能使用洛必達(dá)法則，故筆者在此探討不使用洛必達(dá)法則計算函數(shù)極限的方法.

我們在計算極限之前，首先需要把極限過程代入目標(biāo)函數(shù)，得到極限類型.這一步至關(guān)重要，是我們計算所有極限的大前提，只有判斷對了類型，才能根據(jù)不同的極限類型采用不同的方法，才有助于我們快速而有效地解決極限問題.判斷對了類型后，我們接下來要“對號入座”，針對不同類型采取不同方法.

一、可以直接帶入求值型極限

當(dāng)我們把極限過程代入目標(biāo)函數(shù)后，發(fā)現(xiàn)函數(shù)極限已經(jīng)可以直接得到，例如：

limx→π2sin 2xcos x-1=0-1=0

這種類型比較簡單，對于該種類型的極限，帶入極限過程后我們發(fā)現(xiàn)可以直接計算出結(jié)果，其根本原因就是待求極限的初等函數(shù)在極限點是連續(xù)的，所以極限值等于該點的函數(shù)值.這是一種基本類型，我們在求極限的所有題目中都會用到這種方法，一般情況下，我們得到極限值的最后一步都是使用該方法.

特別地，我們要注意0a（a≠0），k·∞（k≠0），（+∞）+（+∞），（-∞）+（-∞），∞+a均屬于該種類型.

二、00型或者0·∞型極限

當(dāng)我們把極限過程代入后，發(fā)現(xiàn)所求極限為00型或者0·∞型時，我們接著要這么分析：

1.如果極限的分子分母只是單純的冪函數(shù)形式，那么我們就利用因式分解或者分子分母有理化的方式消去零因子，具體來說就是如果函數(shù)里面含有根號我們就有理化，否則就因式分解，有時需要二者結(jié)合，要具體問題具體分析，例如：

limx→1x2-1x3-1=limx→1（x+1）（x-1）（x-1）x2+x+1=limx→1x+1x2+x+1=23

limx→4x-2x-4=limx→4（x-2）（x+2）x-4（x+2）=limx→41x+2=14

2.如果極限的分子或分母中含有三角函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)或者指數(shù)函數(shù)等其他初等函數(shù)，我們就要使用等價無窮小代換.在這里我們要熟悉無窮小代換的形式，并且明白在公式中我們可用f（x）整體代替x，只要f（x）→0.我們要熟記以下代換公式：當(dāng)f（x）→0時，sin f（x）∶f（x），tan f（x）∶f（x），arcsin f（x）∶f（x），arctan f（x）∶f（x），1-cos f（x）∶12f 2（x），ef（x）-1∶f（x），ln（1+f（x））∶f（x），1+f（x）-1∶12f（x），（1+f（x））a-1∶af（x），舉例如下：

limx→0etan x-11-esin x=limx→0tan x-sin x=limx→0x-x=-1

limx→0lnx2+1arcsin22x=limx→0x24x2=14

3.如果遇到0·∞型極限，我們就要先把0·∞型轉(zhuǎn)換為01∞=00型，然后按照前面的兩種情況進(jìn)行計算.例如：

limx→∞x·sin1x=limx→∞sin1x1x=1

三、∞∞型極限

當(dāng)我們遇到∞∞類型的題目時，要先找到分子分母的最高次冪，然后分子分母同時除以未知量的最高次冪，舉例如下：

limx→∞3x4-5x2-3x4+x3-2x2+6=limx→∞3-5x2x4-3x41+x3x4-2x2x4+6x4=3

我們在使用這個方法時要注意，這里的無窮大可以為+∞或者-∞，并且只能是冪函數(shù)時使用，遇到其他類型函數(shù)我們一般使用洛必達(dá)法則.

當(dāng)我們熟練使用該方法后會發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律：當(dāng)分子最高次冪等于分母最高次冪時，極限結(jié)果為分子分母最高次冪的系數(shù)比;當(dāng)分子最高次冪高于分母最高次冪時極限結(jié)果為∞;當(dāng)分子最高次冪低于分母最高次冪時極限結(jié)果為0.

四、1∞型極限

對于這種類型的極限，我們要使用第二重要極限，并且即便學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中的洛必達(dá)法則，一般情況下第二重要極限的計算過程也要簡便于洛必達(dá)法則.舉例如下：

limx→0（cos x）csc x

=limx→0（1+cos x-1）1cos x-1·（cos x-1）sin x

=elim[]x→0 （cos x-1）sin x=elim[]x→0 - 12x2x=1

從上題可以看出我們使用的是第二重要極限的推廣形式，也可以用f（x）整體代替x，只要f（x）→0.也就是說當(dāng)我們遇到以下類型極限時均要使用第二重要極限：limf（x）→0（1+f（x））1f（x）及l(fā)imf（x）→∞（1+1f（x））f（x）.

五、∞-∞型極限

帶入極限過程后，如果極限類型為∞-∞，我們就需要通分或者將分子分母有理化轉(zhuǎn)化為00或者∞∞型，舉例如下：

limx→+∞（x2-3-x2+x）

=limx→∞（x2-3-x2+x）（x2-3+x2+x）（x2-3+x2+x）

=limx→∞-x-3（x2-3+x2+x）

=limx→∞-1-3x1-3x2+1+xx2=-12

六、其他類型極限

1.利用無窮小的性質(zhì)計算極限

limx→+∞sin xx=limx→+∞1x·sin x=0

這是根據(jù)無窮小的性質(zhì)：無窮小和有界函數(shù)的乘積仍為窮小.

2.根據(jù)無窮小和無窮大的關(guān)系計算極限

limx→+∞x+2ln xxln x

=limx→+∞1+2ln xxln x=1+0∞=0

我們利用無窮大和無窮小的關(guān)系計算極限，即：無窮大的倒數(shù)是無窮小，無窮小的倒數(shù)是無窮大.

3.利用夾逼準(zhǔn)則計算極限

1=limn→∞nn2+n≤limn→∞∑ni=11n2+i≤nn2+1=1

這種計算極限的思想就是利用兩個較簡單的極限從兩邊夾著目標(biāo)極限，并且這兩個極限要收斂于同一個數(shù)值，我們的放縮不能過大或過小，所以該種方法的重點是如何找到合適的極限，這是一個難點.

4.變量代換法

limx→-∞x2+xx2+2t=-x

=limt→+∞tt-t2+2t+t2+2t+t2+2=-1

變量代換時我們一般要把不會做的類型轉(zhuǎn)換為見過的類型，把未定式轉(zhuǎn)化為定式.

極限有很重要的理論地位，筆者依據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗，參考同類院校的不同教學(xué)方法，總結(jié)出了在學(xué)習(xí)極限初期如何幫助學(xué)生快速、準(zhǔn)確地計算極限的方法和步驟.在教學(xué)過程中我們應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度不斷總結(jié)方法，以便我們的高等數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)更加清晰，教學(xué)過程更加順利.為了讓學(xué)生徹底掌握極限的算法，教師需要在課堂上將極限分類清晰地教給學(xué)生，向?qū)W生強(qiáng)調(diào)判斷類型的重要性，通過“判斷類型”→“對號入座”→“計算總結(jié)”這幾個步驟反復(fù)練習(xí).

【參考文獻(xiàn)】

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