金融數(shù)學(xué)的隨機變量假設(shè)錯誤及糾正

高宏　梅圣烽

本文從隨機變量和隨機過程的定義出發(fā)，分析了金融數(shù)學(xué)在建立股票價格模型時，將股票價格與時間之間的數(shù)量關(guān)系抽象為隨機變量的基本概念錯誤，無形中導(dǎo)致研究對象從一個樣本函數(shù)改變?yōu)闃颖竞瘮?shù)的集合，從而推導(dǎo)出了“股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布”這一與事實不符的錯誤結(jié)論。本文將股票價格與時間之間的數(shù)量關(guān)系還原為時間函數(shù)，根據(jù)“股票價格的對數(shù)收益率為白噪聲序列”的實證研究結(jié)果，建立了可正確描述股票價格波動現(xiàn)象及規(guī)律的樣本函數(shù)模型，為解決金融市場中資產(chǎn)定價、最優(yōu)配置、風(fēng)險管理及金融監(jiān)管等實際問題提供了正確的數(shù)學(xué)模型及方法。

一、引言

金融數(shù)學(xué)是一門運用數(shù)學(xué)模型及方法，研究和揭示金融資產(chǎn)價格數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律，并解決金融市場中資產(chǎn)定價、最優(yōu)配置、風(fēng)險管理及金融監(jiān)管等實際問題的應(yīng)用數(shù)學(xué)理論。金融數(shù)學(xué)的歷史最早可追溯到1900年法國巴黎大學(xué)巴舍利耶（Bachelier）的博士論文《投機理論》，巴舍利耶首先使用概率方法來研究股票價格波動現(xiàn)象，并將隨時間變化的股票價格看作一個增量獨立的隨機過程，構(gòu)建出隨機游走模型來描述股票價格隨時間的變化過程，根據(jù)中心極限定理推導(dǎo)出了股票價格服從正態(tài)概率的結(jié)論。巴舍利耶的研究不僅標(biāo)志著金融數(shù)學(xué)理論的誕生，而且也為后來金融數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了“將股票價格假設(shè)為隨機變量”的研究方法。1952年，馬科維茨（Markowitz）使用隨機變量的均值和方差分別描述證券投資的收益和風(fēng)險，建立了引發(fā)“第一次華爾街?jǐn)?shù)學(xué)革命”的組合投資理論，馬科維茨因在金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域的開創(chuàng)性工作，獲得了1990年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。1973年，布萊克（Black）和斯科爾斯（Scholes）基于幾何布朗運動模型，推導(dǎo)出了著名的B-S期權(quán)定價公式，帶動了金融衍生品市場的快速創(chuàng)新發(fā)展，引發(fā)了“第二次華爾街?jǐn)?shù)學(xué)革命”，金融數(shù)學(xué)的理論大廈就此在隨機變量假設(shè)的基礎(chǔ)上建立起來。

金融數(shù)學(xué)在金融市場的應(yīng)用，使金融市場獲得了空前規(guī)模的發(fā)展，但是也造成了人類歷史上最大的金融體系崩潰。人們從眾多的案例分析中得出結(jié)論：金融數(shù)學(xué)建立的股票價格模型并不能正確描述股票價格的波動現(xiàn)象及規(guī)律，金融數(shù)學(xué)在金融領(lǐng)域的應(yīng)用是失敗的，金融數(shù)學(xué)因此陷入了嚴(yán)重的學(xué)科危機（高宏，2021）。本文從隨機變量和隨機過程的定義出發(fā)，分析了金融數(shù)學(xué)在建立股票價格模型時，將股票價格與時間之間的數(shù)量關(guān)系假設(shè)為隨機變量的基本概念錯誤，無形中改變了股票價格的定義域，導(dǎo)致研究對象從一個樣本函數(shù)改變?yōu)闃颖竞瘮?shù)的集合，從而推導(dǎo)出了“股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布”這一與事實不符的錯誤結(jié)論。本文將股票價格與時間之間的數(shù)量關(guān)系還原為時間函數(shù)，根據(jù)“股票價格的對數(shù)收益率為白噪聲序列”的實證研究結(jié)果，建立了可正確描述股票價格波動現(xiàn)象及規(guī)律的樣本函數(shù)模型。

二、概率論中的隨機變量定義

隨機變量是概率論中一個極為重要的基本概念，也是研究隨機現(xiàn)象的基本工具。引入隨機變量的主要目的是：把隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，將隨機事件的結(jié)果映射為實數(shù)，這樣就可以利用數(shù)學(xué)分析方法來研究隨機現(xiàn)象。

隨機變量的定義涉及隨機試驗、樣本點和樣本空間三個基本概念。隨機試驗是指人們對隨機現(xiàn)象進(jìn)行的觀察或觀測，隨機試驗具有以下3個特征：一是可重復(fù)性。在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行;二是多結(jié)果性。試驗結(jié)果不止一個，但所有可能的結(jié)果都是事先明確可知的;三是不確定性。每次試驗之前不能確定會出現(xiàn)哪一個結(jié)果，但可以肯定會出現(xiàn)上述所有可能結(jié)果中的一個。

盡管一次隨機試驗將要出現(xiàn)的結(jié)果是不確定的，但其所有可能結(jié)果是明確的。我們把大量重復(fù)隨機試驗會出現(xiàn)的每一種可能的結(jié)果稱為一個樣本點，一般記為ω;全部樣本點的集合稱為樣本空間，一般記為Ω。

定義：設(shè)隨機試驗的樣本空間為Ω={ω}，若X（ω）為定義在樣本空間Ω上的單值實數(shù)函數(shù)，則稱X（ω）為隨機變量，簡記為X。

隨機變量的取值可以是連續(xù)的，也可以是離散的，根據(jù)隨機變量取值的不同，可以分為連續(xù)型隨機變量和離散型隨機變量。

通常用大寫英文字母X，Y，Z，…來表示隨機變量，用小寫英文字母x，y，z，…表示實數(shù)。如果隨機試驗的結(jié)果本身就是一個實數(shù)x，即樣本點ω本身是一個實數(shù)，這時常定義X= X（ω）= ω= x。

對于拋硬幣試驗，試驗結(jié)果可能是硬幣正面向上，也可能是硬幣反面向上，即有兩種可能的結(jié)果，而且只有這兩種結(jié)果，事先可以明確。因此該試驗所對應(yīng)的樣本空間Ω由ω1和 ω2兩個樣本點構(gòu)成，我們指定實數(shù)1和-1分別與樣本點ω1和 ω2對應(yīng)（圖1），則隨機變量可寫成：

從上述隨機變量的定義可以看出，隨機變量X的取值由樣本點ω決定，也就是說，隨機變量X是樣本點ω的函數(shù)，即有X= X（ω），因此，隨機變量的定義域為樣本空間Ω。

隨機變量實質(zhì)上是一個定義在“隨機試驗所有可能結(jié)果集合”上的單值實數(shù)函數(shù)，隨機變量的不同取值與隨機試驗的所有可能結(jié)果一一對應(yīng)，隨機變量的值隨試驗結(jié)果的不同而變化。從數(shù)學(xué)上講，隨機變量就是一個從隨機試驗結(jié)果的集合到實數(shù)集的映射。

三、隨機過程與隨機變量的關(guān)系

在現(xiàn)實世界中，許多隨機現(xiàn)象都是隨著時間的進(jìn)程而變化發(fā)展的，這類動態(tài)隨機現(xiàn)象就是所謂的隨機過程。例如在相同條件下重復(fù)10次觀察一個從原點出發(fā)的布朗粒子位移x隨時間t的變化過程，可得到圖2所示的10條布朗粒子位移曲線，這10次測量結(jié)果也可分別用10個時間函數(shù)x1（t），x2（t），…，x10（t）表示。盡管每次的試驗結(jié)果各不相同，但每次的結(jié)果卻是一個確定性的時間函數(shù)xi（t）。若同時觀測10個從原點出發(fā)的布朗粒子位移x隨時間t的變化過程，也會得到與圖2類似的試驗結(jié)果曲線。

顯然，對每個布朗粒子的觀測結(jié)果均為一個隨時間變化的實數(shù)，亦即隨機過程的試驗結(jié)果是一族時間函數(shù)x1（t），x2（t），…，xi（t），…，也就是說，隨機過程試驗的樣本點ωi與時間函數(shù)xi（t）一一對應(yīng)（圖3）。