一面兩銷夾具布局的魯棒性研究

沈?yàn)榍澹瑥?磊

（1.江蘇財(cái)經(jīng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院智能工程技術(shù)學(xué)院，江蘇 淮安 223003；2.徐州工程學(xué)院江蘇省工程機(jī)械檢測(cè)與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 徐州 221018）

1 引言

一面兩銷以其能對(duì)零件實(shí)現(xiàn)完全定位、便于施加夾緊力等優(yōu)點(diǎn)，在箱體、蓋板、杠桿、支架類等零件的夾具設(shè)計(jì)中得到了廣泛應(yīng)用。傳統(tǒng)一面兩銷定位方案的設(shè)計(jì)常采用經(jīng)驗(yàn)法和試錯(cuò)法，設(shè)計(jì)效率低下，無法獲得最優(yōu)布局［1］。近年來，隨著CFAD（Com?puter Aided Fixture Design）技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用，以定位零件受力變形最小，基于有限元分析耦合各類智能仿生算法成為求取一面兩銷最佳布局設(shè)計(jì)的主流方法［2-10］。一面兩銷中的“一面”，即定位面，其定位方案一經(jīng)確定，“兩銷”，即圓柱銷和菱形銷的布局就成為設(shè)計(jì)重點(diǎn)。最優(yōu)的定位銷布局應(yīng)盡可能減小定位零件上加工或被測(cè)要素對(duì)于誤差輸入的敏感程度，增大夾具設(shè)計(jì)的魯棒性［11］。本文即是研究一面兩銷中定位銷的布局優(yōu)化問題，與基于CFAD的求解思路不同，根據(jù)剛體動(dòng)力學(xué)分析和矩陣?yán)碚撎岢隽艘环N面向定位銷誤差輸入的敏感度指標(biāo)，實(shí)例證明，使用該指標(biāo)進(jìn)行定位銷布局設(shè)計(jì)，能夠增加一面兩銷夾具設(shè)計(jì)的魯棒性，且不產(chǎn)生使用智能仿生算法的計(jì)算消耗。

2 狀態(tài)空間偏差建模

文獻(xiàn)［12］曾采用狀態(tài)空間方法描述一面兩銷定位零件在笛卡爾坐標(biāo)系下的偏差狀態(tài)，本文引用該方法進(jìn)行零件偏差狀態(tài)的分析和計(jì)算。如圖1所示為某一剛體零件，采用一面兩銷定位，圓形為圓柱銷，橢圓形為菱形銷，銷距為L，L與x軸正向間的夾角為γ；0點(diǎn)和1點(diǎn)是零件上的任意兩點(diǎn)，其中0點(diǎn)與圓柱銷中心位置重合，二者連線長為l，則由圖1左圖可得0點(diǎn)和1點(diǎn)的理想位置坐標(biāo)關(guān)系應(yīng)滿足。

圖1 零件上任意兩點(diǎn)間的偏差狀態(tài)關(guān)系Fig.1 The Deviation State Relationship Between Any Two Points on a Part

式中：（x0，y0），（x1，y1）—0點(diǎn)和1點(diǎn)的坐標(biāo)；x01和y01—坐標(biāo)偏差。

由于定位銷定位偏差或者磨損故障，零件由圖1左圖所示的理想位置偏置到圖1右圖所示的位置，0點(diǎn)和1點(diǎn)偏置到0′和1′點(diǎn)，分別產(chǎn)生了δx0，δy0，δx1，δy1的偏置位移和δγ的偏置角位移。則由圖1所示的平面幾何關(guān)系，偏置后的坐標(biāo)關(guān)系如下式所示：

其中，（x0′，y0′），（x1′，y1′）為0′、1′點(diǎn)位置坐標(biāo)。由于δγ極小，cosδγ≈1，sinδγ≈δγ，故上式可近似為：

將（1）式代入（3）式，因?yàn)閤′1-x1=δx1，y′1-y1=δy1，x′0-x0=δx0，y′0-y0=δy0，則可得：

將（4）式寫成向量式，可得：

（5）式的左端為1點(diǎn)的偏差，右端為0點(diǎn)的偏差，故式（5）為零件上任意兩點(diǎn)間的偏差狀態(tài)模型；但仔細(xì)觀察式（5），兩點(diǎn)偏差尚未與定位銷偏差建立數(shù)學(xué)聯(lián)系，且其系數(shù)矩陣中包含有δγ的未知量。為此，需要進(jìn)行零件上任一點(diǎn)偏差狀態(tài)與定位銷偏差關(guān)系的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。

3 定位銷偏差輸入下的零件偏差

如圖2所示為定位銷有偏差輸入時(shí)的零件定位情形，此處為與圖1上的1點(diǎn)區(qū)分，記圓柱銷為P1，菱形銷為P2，其它符號(hào)標(biāo)識(shí)的含義不變。首先考慮最簡單的情形：單銷、單坐標(biāo)軸有偏差輸入，如圖2所示，圓柱銷P1有偏差輸入，菱形銷P2無偏差輸入；且偏差位移僅沿y方向，記為δP（1y）。在δP（1y）的作用下，定位孔的中心偏置到了P1′，零件產(chǎn)生了δγ的微小角位移，逆時(shí)針為正，如局部放大圖2（b）所示，則由圖2（b）的平面幾何關(guān)系可得：

圖2 圓柱銷y向偏差導(dǎo)致的零件偏差Fig.2 Part Deviation Caused by y-Direction Deviation of Cylindrical Pin

式中：δP（1y）—P1在y方向偏差位移；L—銷距；γ—L與x軸正向間的夾角。

同理，若P2僅有y向磨損位移δP（2y），P1無磨損，則：

若P1和P2同時(shí)僅有y向磨損位移，則由（6）、（7）可得：

若P1和P2同時(shí)僅有x向磨損位移，則由式（8）可得：

若P1和P2同時(shí)有x、y向磨損位移，則由（8）、（9）可得：

式中：δP（1x）、δP（1y）和δP（2x）、δP（2y）—定位銷偏差。、

將式（10）代入式（5）的系數(shù)矩陣，且δx0=δP（1x），δy0=δP（1y），可得下式所示的矩陣式：

式（11）的左端為零件上任意一點(diǎn)的偏差量，可以看作加工要素或被測(cè)要素偏差；右端為定位銷輸入偏差，故式（11）為這里所推導(dǎo)的有定位銷偏差輸入下的零件偏差模型。兩銷布局設(shè)計(jì)的最優(yōu)方案應(yīng)是使零件加工或被測(cè)要素的偏差，即式（11）的左端，對(duì)式（11）右端輸入下的定位銷偏差最不敏感。故下面由式（11）推導(dǎo)兩銷布局設(shè)計(jì)的敏感度指標(biāo)。

4 敏感度指標(biāo)

由（11）式，［δx1，δy1］T是向量，這啟發(fā)作者可以使用向量的模作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行大小比較，即定義下式作為敏感度評(píng)價(jià)指標(biāo)。由（11）式，令：

其中，v=［δP1（x），δP1（y），δP2（x），δP2（y）］T，A=T T T。則由（12）式，f是關(guān)于向量v的元素的二次型。由二次型的性質(zhì)，v TA v經(jīng)正交變換后必定可以化為下式所示的標(biāo)準(zhǔn)型

式中：λ1，λ2，λ3，λ4—矩陣A的特征值。

由（13）式，欲令f最小，就是最小（λ1+λ2+λ3+λ4），而（λ1+λ2+λ3+λ4）=tra（A），為矩陣A的跡。故根據(jù)（11）式，將A展開，計(jì)算tra

由（14）式可知，最優(yōu)的定位銷布局方案就是確定圓柱銷和菱形銷的位置使下式所列出的平面幾何關(guān)系式最小：

式中：i=1，2，…n，—零件上加工要素或被測(cè)要素的個(gè)數(shù)；D—這里推導(dǎo)的定位銷布局的最終敏感度優(yōu)化指標(biāo)。式（15）說明，確定定位銷布局僅需進(jìn)行平面幾何距離計(jì)算，無需采用智能仿生算法。下面將敏感度指標(biāo)應(yīng)用于實(shí)例并通過數(shù)據(jù)分析揭示指標(biāo)后所隱藏的規(guī)律。

5 實(shí)例研究

如圖3所示為某型號(hào)液壓閥端蓋零件，有T、P、B、A、G五個(gè)通油口，已被加工完畢，當(dāng)前工序進(jìn)行F1、F2、F3、F4四個(gè)安裝孔的加工，若采用一面兩銷定位，T、P、B、A、G均可作為兩銷的定位選擇，下面采用本文所提出的敏感度指標(biāo)來獲得最優(yōu)的圓柱銷和菱形銷布局。

圖3 某型號(hào)液壓閥端蓋Fig.3 A Certain Type of Hydraulic Valve End Cover

將T、P、B、A、G的排列共計(jì)20種列表，首字母表示圓柱銷位置，次字母表示菱形銷位置，按（15）式計(jì)算每種排列的敏感度指標(biāo)，將敏感度指標(biāo)由小到大排列，得到結(jié)果，如表1所示。

表1 圓柱銷、菱形銷不同排列的誤差敏感度計(jì)算Tab.1 Calculation of Error Sensitivity of Cylindrical and Rhombic Pins in Different Arrangements

由表1可知，采用A孔為圓柱銷，G孔為菱形銷的布局可使加工要素對(duì)銷的制造和磨損誤差最不敏感。故AG為最佳銷布局方案。仔細(xì)觀察表1中的計(jì)算數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)L和D表現(xiàn)出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，做回歸分析如圖4所示，可求得相關(guān)系數(shù)為-0.8822。

圖4 L和D的回歸分析Fig.4 Regression Analysis of L and D

6 結(jié)論

（1）本文所提出的敏感度指標(biāo)可在一面兩銷定位方案中，有效評(píng)價(jià)零件上加工要素或測(cè)量要素對(duì)定位銷制造或磨損誤差輸入的敏感程度；

（2）敏感度指標(biāo)D與兩銷距離L的回歸分析揭示：L越大，定位方案對(duì)定位銷誤差的輸入敏感度越小，即定位方案越健壯；

（3）實(shí)例分析顯示：同一定位方案中，互換兩銷的位置，對(duì)定位方案的健壯性影響不大。