圖像表征：讓數學教學與兒童理解并軌

南京大學教育研究院、江蘇省南京市東山小學 李一婷

美國教育心理學家和教育家杰羅姆·布魯納從心理學角度研究個體智力發展的特點，把兒童認知的發展分為三個階段：動作性表征階段、映象表征階段、符號表征階段。其中小學一至四年級的兒童（6~10歲）正處于映象表征階段，而五、六年級的兒童（11~12歲）處于映象表征向符號表征的過渡階段。因此，眾多學者倡導在教學中遵循直觀性原則，將知識可視化，把抽象的內容轉變為易于理解的圖形或圖像。

反觀我們數學教學的現狀：大部分數學教師都認為數學是一門嚴謹而又系統的學科，因此常常忽視了兒童的心理特點和已有的數學活動經驗，試圖“成人化”、系統化地將數學知識完整地呈現在學生們的面前，對他們的奇思妙想、異想天開并不在意。這種現象越到中高年級越明顯，有時甚至連教材也不經意地拔高了教學要求。因此，基于兒童的認知特點，聚焦圖像表征——將抽象化的信息以圖像的方式（含配適當的文字）集中呈現出來，讓數學教學與兒童理解并軌就顯得尤為重要。

一、圖文轉換，看“圖”啟“思”

我國教育家從古至今就倡導將知識轉譯成圖形進行傳播。早在兩千多年以前，我國教育家荀子就倡導“不聞不若聞之，聞之不若見之”“聞之而不見，雖博必謬”，強調直觀經驗的重要性。我國古代的教材中也蘊含著圖像表達知識的思想，如明朝的《蒙養圖說》、清朝的《字課圖說》都是圖文結合的教材。現在我們使用的小學數學教材中的圖像素材數量眾多，以鮮明的色彩、豐富的數學情境，生動形象地呈現著學習內容。但仍有一小部分學習內容相對抽象，僅用文字語言來敘述呈現，難免會阻礙學生對數學信息的提取和對數學知識的理解。因此，教師可以適時地進行圖文轉換，以此來啟發學生的思維。

例如，在“用字母表示數”這一課中，教材用文字的形式呈現了例題（見圖1），教學的要點有三個方面：初步學會用字母來表示數和數量關系，結合具體情境思考字母的取值范圍，代入取值。在教學中，筆者發現學生對字母b的取值范圍理解存在困難，同時不能很好地體會“已經行駛的路程”和“剩下的路程”之間的聯系。那么，在教學中針對這樣的現象，教師可以有意識地改變例題的呈現方式（見圖2），用圖像來取代抽象的文字語言，也可以借助多媒體技術來動態地呈現三幅圖，讓學生感受隨著“已經行駛的路程”的變化，“剩下的路程”也在變化著，但兩種數量的總和是不變的，因此，b的取值范圍在0千米~280千米。

二、改編素材，以“圖”引“理”

教育學家對教科書圖像的教學效果進行了研究。1979年，Willows Dwyer的分組實驗研究得出結論：純文字性教科書和純插圖性教科書的教學效果沒有顯著差異，并且效果都不太理想，相比較而言，插圖與文本結合的教科書閱讀的效果要好得多。在小學階段，尤其是低年段，圖像占據了學生數學學習的絕大部分，大約有97%的例題配有插圖。作為教師，不但需要利用好這些教材的原有圖像，更要根據自己的教學實際情況做相應的調整，用心編排圖像素材，以實現高質量的教學效果。例如，現行小學數學教材的版面通常為豎版16K大小，在編排時，編者除了從數學需要的角度考慮內容和圖像的選擇，還往往會受到頁面呈現方向和大小的限制。教師在教學時就不能機械地照搬教材的呈現方式，而應考慮學生學習的實際情況，靈活機動地做出調整。

例如，在“兩位數加兩位數（不進位）”一課中，教材借助圖片和算式呈現了三種不同的計算方法（見圖3），分別是擺小棒、撥計數器、列豎式，先是橫向呈現了擺小棒和撥計數器這兩種較為直觀的方法，而后另起一行呈現了列豎式的方法。按照這樣的呈現形式，在教學時教師通常分為兩步：先引導學生用小棒擺或撥計數器計算，這認為是學生已有的、能自主探索的方法；再教學用豎式計算，這通常認為是學生未知的、需要教師傳授的方法。但在教學活動中，我們常常發現，對于一年級的學生來說，列豎式計算并不能算是未知的新方法，絕大部分學生都會用豎式計算，而且最先想到的方法也是列豎式，但大部分學生并不理解為什么要這樣列豎式計算，同時對擺小棒和撥計數器的方法不重視。事實上，對于學生來說，這三種方法并沒有新舊之分，還有著密切的關聯，它們三者之間有著本質的共同點：相同數位相加。如果用割裂的眼光去實施教學，學生對算理的理解和對算法的歸納就無法深入下去。

因此，教師可以對教材做出如下改編（見圖4）：三種方法豎排展示，用不用顏色的區域標出相應的區域，如用藍色突出“十位”，橙色突出“個位”，在教學時促使學生對三種方法進行縱向對比，直觀地感受三種方法的共同本質，便于學生抽象和歸納兩位數加兩位數的算理和算法。

三、設計活動，畫“圖”表“義”

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，要重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。圖像表征正是將復雜抽象的數學知識轉化為直觀形象的圖像進行呈現，在教學中，教師要鼓勵學生變“說”為“畫”，自主嘗試用圖像進行自我認知表征，促使內隱思維外顯，這樣有助于教師理解學生，從而有針對性地開展教學，同時也有助于學生清晰掌握思路，有效培養學生的符號意識和抽象思維。

例如，在“分數的意義”一課中，抽象的“單位1”對于學生來說既難以理解也無法清晰地表達，因此，在教學中筆者設計了兩個活動幫助學生理解單位“1”，促使學生隱形的、內在的思維活動顯性化，讓思維可“視”，從而使分析有“跡”可循。

一是“看數補圖”。在初步接觸單位“1”時，教材是這樣安排的（見圖5）：首先，要求學生用分數表示各圖中的涂色部分，并說說每個分數的含義。由于學生在三年級時就已經初步認識了分數，并且對這些圖例也極為熟悉，因此，都能準確地填出分數并說出每個分數的含義。其次，教材引出了單位“1”的概念，同時讓學生思考下列分數分別是把單位“1”平均分成了幾份，又表示了這樣的幾份。在這個過程中，學生被動地認識了單位“1”，機械地進行了概念的記憶，似懂非懂，并沒有真正了解單位“1”的意義。為了引導學生更好地理解單位“1”的意義，在教學時，筆者給出了具體的分數和不完整的圖例（見圖6），讓學生根據已有的知識經驗看分數補出完整的圖例，從而揭示加上補出的部分其實就是這個分數的單位“1”，把抽象的單位“1”具體直觀地呈現了出來。

二是“看圖想數”。在學生對單位“1”有了一定的了解之后，筆者又開展了“看圖想數”的活動：看圖想出分數，同時用圈一圈的方法表示出所想的分數（見圖7）。在這個活動中，學生想的分數不同，圈畫方式也就不同，單位“1”和分數所表示的含義也隨之不同（見圖8），從而深化了學生對單位“1”的認識。小小的示意圖，外化并折射出學生不同的思維線索、路徑和水平，給教師教學提供了有力的支撐。

綜上所述，圖像表征是學生數學學習的一種重要方式，它不僅符合小學階段學生的認知發展特征，更能將抽象的知識具體化、直觀化，有效提升學生的數學理解。在實際教學中，教師要善于圖文轉化，以鮮明直觀的圖像來呈現學習內容，以“圖”來啟發學生思考；還要適當改編素材，靈活運用教材的圖像，以“圖”引發學生理解；更要精于設計，誘發學生以“圖”進行自我認知表征，從而讓數學教學與兒童理解并軌，讓數學學習煥發出不一樣的“色彩”！