“三教”改革背景下矩陣乘法的教學設計

王曉平 阮杰昌 任建英

[摘? ? ? ? ? ?要]? “三教”改革背景下對教師的教學設計提出了更高要求。在矩陣乘法的教學設計中推陳出新，采用了先通過實例創設情境引出本次課重點內容，并通過恰當的問題引導法逐步引導學生探索矩陣乘法的運算規則，再通過例題計算讓學生自己總結歸納其運算規律，利用特殊矩陣乘法進行拓展，利用矩陣乘法解決實際問題。這種教學設計符合學生的認知規律，讓學生在動手解題過程中逐漸建構起矩陣乘法運算方法。

[關? ? 鍵? ?詞]? “三教”改革;矩陣乘法;建構主義

[中圖分類號]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2021）23-0048-02

矩陣是線性代數中最基本的概念，也是研究實際問題的重要工具。矩陣本身就是一個數表，有類似數的“加減乘法”運算規則，其中矩陣乘法運算用得頗多，不僅可以解決后續學習的很多內容，諸如用矩陣表示線性方程組、解矩陣方程、向量組的線性表示、向量組的線性相關性、線性變換等;還可以解決很多實際問題，比如信息的加密和解密等。這決定了矩陣乘法在矩陣運算中的重要地位，因此教師教學務必要講解透徹。筆者通過多年教學積累了一定的矩陣教學設計經驗，并將這種設計應用于多屆學生，教學效果都非常好?，F將矩陣乘法的教學設計分享如下。

一、創設情境，激發興趣

矩陣的乘法運算與矩陣的加法、減法、數乘及以往數的乘法運算區別很大，相對以往的運算更加抽象，學生不容易理解和掌握。因此教師需要借助生活中簡單的實例計算，讓學生自己總結歸納乘法的計算規則，這樣既能激發學生的學習興趣，調動學生的積極性，也能提高學生的分析和歸納能力，還能幫助學生鞏固所學知識，一舉多得。

例1：甲、乙兩超市銷售三種水的日銷售量見下表：單位（瓶）

單價與飲料見下表：單位（元）

求甲、乙兩超市日銷售水的總收入和總利潤。

二、問題啟迪，建構新知

在“三教”改革教育理念的視閾下，教師是教育改革實施者，在教學中處于主導地位，不能一味用以往的講授法傳授知識，而是應當引導學生，發揮學生的主體作用，幫助學生建構新知識。在矩陣乘法的教學中，教師可以針對學生的認知基礎設置適當的問題，通過提問的引導方式引發學生思考，自我總結歸納知識，最終建構新知。

問題一：如何列式求甲超市的總收入和總利潤？如何列式求乙超市的總收入和總利潤？

甲超市的總收入=甲超市礦泉水收入+甲超市可樂收入+甲超市雪碧收入

=25×2+30×4+15×3

=215（元）

甲超市的總利潤=甲超市礦泉水利潤+甲超市可樂利潤+甲超市雪碧利潤

=25×1+30×2+15×1

=100（元）

與甲超市的計算相似，學生能快速計算出乙超市的總收入和總利潤：

乙超市的總收入=乙超市礦泉水收入+乙超市可樂收入+乙超市雪碧收入

=40×2+20×4+30×3

=250（元）

乙超市的總利潤=乙超市礦泉水利潤+乙超市可樂利潤+乙超市雪碧利潤

=40×1+20×2+30×1

=110（元）

問題二：如何把所算的數據用表格直觀表示出來？

引導學生回顧矩陣的本質是一個數表，那么對于以上三個數表都可以將其用對應矩陣表示并進行研究。

問題三：如何將以上三個數表轉化為矩陣呢？

引導學生回顧數表轉化為矩陣的方法：去掉橫向、縱向表頭以及表格線，把數據按原有順序寫下來，外面加上圓（方）括號。學生能夠準確寫出下面三個矩陣。

接下來教師介紹由A、B矩陣得到C矩陣的過程，蘊含了矩陣的一種計算規則，這種計算在實際當中應用廣泛，數學研究中把這種運算規則進行概括抽象，命名為矩陣的乘法運算規則。教師可以將具體的算式板書在黑板上，這樣有助于學生觀察，分小組討論總結。如：

問題四：A乘B矩陣是如何得到C矩陣的？

這樣展示后，學生很容易總結出矩陣乘法計算規則：

①前面矩陣的1行與后面矩陣的1列對應相乘的和為所得矩陣的1行1列的元素。

②前面矩陣的1行與后面矩陣的2列對應相乘的和為所得矩陣的1行2列的元素。

③前面矩陣的2行與后面矩陣的1列對應相乘的和為所得矩陣的2行1列的元素。

④前面矩陣的2行與后面矩陣的2列對應相乘的和為所得矩陣的2行2列的元素。

此處“對應相乘”是計算的關鍵，學生需要深入理解。講解時教師可以先借助連線的方法展示對應相乘的計算。再將A矩陣增加1列或者B矩陣增加1行，讓學生再進行對應相乘運算，讓學生體會到對應相乘的深刻含義。這樣既能幫助學生深入理解，同時也給基礎差的學生知識內化的緩沖時間。

接下來教師需要趁熱打鐵，幫助學生鞏固剛剛總結的計算規則。選取元素分別為數字和字母的矩陣乘法計算例子，通過這種形象的對比，可以讓數學基礎很弱、抽象思維能力弱的學生也能夠順利掌握矩陣乘法的計算方法。