高中生學習微積分的困境及教學策略

張家瑞 王鑫

[摘? ? ? ? ? ?要]? 介紹高中生在學習微積分中遇到的一些問題及相對應的教學策略，探討微積分在高中教學中的現狀，包括微積分中有關問題的處理與研究、導數與積分在高考中的命題、微積分與其他知識點相關聯的應用舉例，并列舉了高中生學習微積分的困境，最后還提出了一些針對高中生微積分的學習策略，包括重視教學策略和教育觀念的更新、重視現代教育技術的使用、利用數形加強學生對抽象概念的理解，營造積極的課堂氛圍。

[關? ? 鍵? ?詞]? 微積分;高中數學教育;教學策略

[中圖分類號]? G633.6? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2021）20-0180-02

一、引言

微積分經歷了數百年的發展，其思想在實際生活中逐漸滲透，教育部頒布的《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《數學課程標準》）對高中微積分的教學提出了更高的要求，通過學習微積分的相關知識，對學生在解題思路的拓展及后續的學習中都有十分重要的影響。因此，對高中微積分教學方法的研究成為數學教師教學研究的新課題，文章最后提出了幾點針對《數學課程標準》背景下高中微積分的教學策略。

二、微積分在高中教學中的現狀

（一）微積分中有關問題的處理研究

《數學課程標準》對微積分的教學這一方面進行了重大調整，主要加強了對導數和積分應用的教學。《數學課程標準》在導數及其應用課程的教學上做出的調整主要包括：（1）強調微分概念的本質。在以往的教科書中，學生一開始對極限的概念并不理解，這會影響學生對導數本質的理解和掌握。因此，《數學課程標準》在這方面有了很大的改變，極限的概念暫且不談，而是通過對實際的背景和具體例子的應用，在速度、效率、成長率等實例中來反映導數的思想和本質，引導學生從函數的平均變化率到瞬間變化率再到導數的概念的過程，從具體到抽象，這樣可以更好地引導學生對導數本質的理解和掌握。（2）強調導數在研究事物變化速度、變化率以及對函數的基本性質和優化問題等方面的應用。通過與之前方法相比較，可以感受到導數在處理這些問題中的有效性和一般性。這部分教育內容的改革確實具有創新性，體現了數學理論的新應用。

（二）導數與積分在高考中的命題

導數這部分的派生詞在高考的各種問題中都出現過。研究的方向一般是驗證導數和函數的單調性，驗證導數和函數的最大值和最小值，驗證導數和函數圖象的切線問題，考查導數和函數不等式的證明，將導數問題和函數建模（應用題）作為導數與其他知識點相結合來考查，其考查范圍比較廣，因此進入中學的課程時間雖不長，但已經是一個重要的考點了，同時也受到許多命題老師的青睞。對導數這方面具體考查的方向在判定函數的單調性和極值、討論方程的根，證明不等式和恒等式、求切線方程以及求平面區域面積等方面的應用。

（三）微積分與其他知識點相關聯的應用舉例

微積分在解決數學問題上的用途更為廣泛。在新課標中，中學微積分的導數教學主要將講課重點放在應用價值上。以下是應用舉例。

例：某種產品的總成本C（萬元）與產量q（萬件）之間的函數關系式（即總成本函數）為C=C（q）=100+4q-0.2q2+0.01q3。求生產水平為q=10（萬件）時的平均成本及邊際成本，并判斷繼續提高產量是否有利于降低成本。

解：當q=10時，總成本為：

C（10）=100+4×10-0.2×102+0.01×103=130（萬元）

所以平均成本（單位成本）為：

C（10）÷10=130÷10=13（元/件）

邊際成本MC=C′（q）= 4-0.4q+0.03q2

MC=4-0.4×10+0.03×102=3

因此，在生產水平為10萬件時，每增加一個產品總成本增加3元，遠低于當前的單位成本，從降低成本角度看，應該繼續提高產量。

邊際收益函數：

總收益函數R=R（Q），

邊際收益函數R′=R′（Q）

當商品銷售量為Q0時的邊際收益用R′（Q0）來表示，其經濟意義為：當銷售量達到Q0時，如果增加或減少一個單位產品，則收益將相應地增加或減少R′（Q0）個單位?？偸找鎀R為產量Q與價格P的乘積，即TR=P×Q，總利潤為總收益TR與總成本TC的差值，即π=TR-TC。

三、高中生微積分學習困境分析

高考對微積分內容的考查在難度及分量上的要求比較嚴格，這便使影響學生學習微積分的問題層出不窮，文章主要對以下三個問題進行分析。

（一）高中生的“自主性”學習習慣未能及時形成，學習枯燥無味

初中階段，教師在課堂中的主體性比較明顯，學生基本上是接受知識的對象，主體對客體的主動性影響很大。有的教師盲目追求班級的升學率，讓學生靠死記硬背來解決一些常見的數學難題。利用充足的上課時間講更多的題，但是一些學生根本不懂其知識本身的意義。在高中階段，學生逐漸成為課堂的主體，教師變成了引導和延伸學生的知識的存在。由于高中的學科比初中多，而且數學的內容比初中要深得多，每節課學習的知識量非常大，容易造成學生神經疲勞、注意力不集中、興趣減弱，甚至導致每節課學到的知識微乎其微，長此以往，以前學過的知識也會逐漸丟棄。