逆向思維在高等數學例題解析中的應用研究

陳超

[摘? ? ? ? ? ?要]? 逆向思維在學術研究中是被經常運用的重要思維，它為學術研究提供了多角度研究突破的可能性。而在高等數學的教學中許多的知識點都可以被逆向思維驗證。整體結構是先分析逆向思維在高等數學教學中的應用意義，而后研究其應用方法，并結合具體的例題解析來求證逆向思維在高等數學中的實際意義。主要目的是幫助大學生在高等數學的學習中能夠使用逆向思維來進行思考，為他們學習高等數學提供一些學習方法的參考及高等數學例解中逆向思維應用的理論依據。

[關? ? 鍵? ?詞]? 逆向思維;高等數學;例題解析

[中圖分類號]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2021）19-0188-02

逆向思維的應用不是刻意從反方向來思考問題，這是很多學生經常會走入的思想誤區，只有在從正向思考上無法有所收獲的時候，逆向思維才會成為此時的最優解。逆向思維在學術研究中有不可撼動的地位，其經常幫助許多自然科學家發現存在于自然現象中的真理，如法拉第就從奧斯特“電生磁”現象中逆向思維發現了電磁感應定律。同理可得，將逆向思維與高等數學教學相互融合，培養學生的逆向思維，讓他們習慣應用逆向思維去思考問題，必然能取得不錯的效果。

一、逆向思維在高等數學中的應用意義

逆向思維的價值不僅僅體現在它能夠給紛繁復雜的學術研究提供簡單、有效的解決思路，更重要的是其克服了人類的固定思維，改變了思維慣性。大學教學中的高等數學與初等數學在應用方面和研究方向上區別就體現在其并不糾結于必須得出運算的具體結果，如具體的數值或者是關系式，其研究的重點在于分析，中學數學研究的范圍極廣，如代數學、幾何學、初等的分析學、統計學等，主要突出的是全面，是基礎性的數學內容。而大學教學中的高等數學則以連續函數為主要研究對象，無論是歐式空間還是初等函數，都是連續函數的研究內容。因此，對于高等數學的教學來說，逆向思維能夠讓學生更好地理解錯綜復雜的各種知識點和數學難題。逆向思維從教學層面來看具有工具性和內在性兩種特性，想要讓逆向思維發揮出最大作用，就要在高等數學教學中充分體現出這兩種特性。

二、逆向思維在高等數學中的應用方法及具體案例分析

（一）待定系數法

逆向思維在待定系數法上體現在通過將原項與多個多項式之間的轉換，進而利用兩個多項式恒等式同類項系數相等的原理或其他已知條件確定這些系數，從而得到待求的值。簡單的說就是在已知答案形式或結構的前提下，設定一定的待定系數，轉化成由單個方程組或者是多個方程組來求解的思維模式。高等數學在微分方程、級數等部分會經常運用到待定系數法。例如求y″+py′+qy=f（x）的通解，以待定系數法進行解答的話，就要設定f（x）為某種形式下，根據微分方程進行方程組轉化，從而得出答案。再例如g（y）dy=f（x）dx，也同樣可以得出∫g（y）dy=∫（x）dx。待定系數法之所以能夠使原有問題化繁為簡，其關鍵就是轉換了思考角度，不執著于題目的原定形式，以未知系數和已知條設定數學表達式，利用待定系數法促進方程求解。待定系數法的運用也相當于是學生在數學學習生涯中的一次轉變，從具體的數學問題進階到概念性的數學問題，待定系數法可以讓學生習慣高等數學中的認知形式，轉換數學思維。而在這個轉換的過程中，就需要逆向思維的加持讓他們能夠順利過渡到這個階段。另外，需要注意的是雖然在初等數學中也經常用到待定系數法，如韋達定理二次函數求解、因式分解、復數等內容，但是在初等數學中經常會與具體的數值或者是固定的關系式相互結合使用，這就會讓學生在高等數學的學習過程中走入思想誤區，會習慣性地去尋找，教師要及時糾正，免得他們鉆牛角尖，影響學習進度。

（二）反證法

反證法可以算是在形式上最能體現逆向思維的數學證明方法，在初等數學中經常會在幾何證明和命題證明中用到這一方法，而在高等數學中也同樣有重要的地位。反證法是間接證明常用的方法，以相反的數學視角去設定已知問題的相反狀態，能得出與原題目相反的絕對結果之后，從而證明原定命題的正確性。例如，證明tan90°的數值不存在實際意義。以反證法進行證明的話，就要先設定一個意義相反的命題：tan90°是有實際意義的，而后就是要朝相反命題的方向去求得結果，如正切值的定義是某一銳角邊與另一側直角邊的比值，而tan90°就是要求一個直角的正切值，不存在另一側的直角邊，因命題設定與一般定義存在矛盾，所以可得tan90°的數值存在實際意義這一命題不成立，也就是說tan90°的數值不存在實際意義這一命題是相對成立的，從而得出結果。從這個應用過程中就能歸總出反證法在解決分析問題中最關鍵的一步就是尋找出原命題與假設命題之間存在的根本矛盾，然后進行邏輯推理，進而得出結論。而在高等數學中最常用到反證法的教學內容便是證明極限的存在，通過對定義域和值域的間接證明，得出了所存在極品的唯一性質，進而得出結果。反證法應用的局限性在于間接二字，只有在問題難以順利證明或者是直接證明的情況下，反證法才能夠體現出其價值，不過在與其他方式的結合運用上，反證法又能得到新的生命，如分析法、綜合法等，只要通過有機結合，并且在合適的時機進行運用，反證法總能夠在高等數學當中占據一席之地。

（三）逆推法

逆推法是根據前后變量的動態變化進行逆向推理，推導出原有的已知條件，重視數學邏輯的應用方法。逆向思維在逆推法中的體現是在推理方向上，例如小學數學在學習四則運算的時候，都會要求學生進行驗算，這就是根據已知的運算結果，而后推理出其運算結構，進行再次證明運算結果的正確性。除此之外，還有已知圓的面積求周長、已知圓柱的體積求表面積等，都是逆推法在數學問題解答時的經典運用方式。而在高等數學中，逆推法表達形式變成要根據已知原理，設定條件進行深入分析，從而求出問題答案。例如，在用數列極限的定義證明極限的存在問題中，可以用逆推法給定一個任意的正數ε，然后通過分析推導，得出定義中所提到的正整數N確實存在，最后求證出問題的答案。例如這樣一道高等數學題：y=2x2+1，證明其是否為偶函數。以逆推法進行證明的話，就要先從定義著手，首先是奇偶函數的定義：對于任何x，恒有f（x）=-f（x）成立，則稱f（x）為奇函數，若任何x恒有f（x）=f（x），則稱其為偶函數。根據定義可知問題答案的基本形式，便從偶函數的形式代入原式當中，若是符合定義，則證明為偶函數;若不符合，則不是。通過驗證可得：f（-x）=2（-x）2+1=2x2+1，符合偶函數的基本定義，因此y=2x2+1是偶函數。逆推法能夠幫助學生從例題中梳理高等數學的基本定義，也能夠讓學生掌握高等數學定義的多角度證明方式。除此之外，逆推法的應用還能夠提高學生的數學邏輯思維能力。