基于網絡的液壓馬達伺服位置系統自適應魯棒積分控制

沈 偉， 劉 帥， 武 毅

（1. 上海理工大學 機械工程學院，上海 200093；2. 中國船舶集團公司 第七〇三研究所，哈爾濱 150000）

在實時反饋控制閉環回路中，傳感器的采樣信號通過共享網絡發送到控制器，控制器接收并更新，之后控制信息通過共享網絡發送到執行器，這樣的新型控制系統被稱為網絡控制系統（NCS）。NCS擁有以下優勢：a. 系統搭建成本低；b. 提高了系統的安裝靈活性，易于維護；c. 突破了物理空間上的限制，有利于實現遠程訪問和控制等[1-2]。這些優勢使NCS迅速應用于機器人、遠程醫療和許多其他領域[3-4]。基于網絡的液壓伺服控制系統面臨時變網絡引起的延遲和閥控馬達模型的結構和非結構不確定性等問題，這些因素不僅會降低整個系統的性能，而且會導致系統失穩。

Yi等[5]考慮利用BP神經網絡預測網絡的延時，但是，該方法僅適用于線性動態系統，沒有考慮系統的穩定性。Pade定理可以近似用于系統中可變網絡誘導延時的建模[6-7]。Shen等[8]在液壓變壓器中使用網絡控制，并且針對網絡延時和液壓變壓器的非線性提出了解決方案，但是，將網絡控制系統與液壓系統結合的文獻并不多見。麥云飛等[9]提出的分數階PID（比例積分控制器）常被用來處理液壓系統的復雜模型，但是，需要將液壓系統中非線性項進行線性化。因此，誤差符號的魯棒積分（RISE）被提出用來補償光滑的有界擾動，且這個方法對非結構不確定性有著極強的包容性。文獻[10-11]將RISE用于液壓系統中，控制器具有漸近跟蹤性能。

本文提出了一種新的基于Pade定理的自適應魯棒積分控制器，通過反推的方法，將復雜的非線性系統逐層降階，并由輔助誤差得到虛擬控制律。仿真結果證明了該控制策略在液壓系統遠程控制中的可行性和優越性。

1 問題描述和數學模型

基于網絡的液壓伺服系統原理如圖1（a）所示，圖1（b）為系統結構原理圖。i為輸入電流信號，Q1，Q2分別為進油腔室和出油腔室液壓油流量。借助先進的控制算法，控制器可以遠程精確控制帶有慣性負載的閥控馬達旋轉位置。通過設計物理系統的狀態空間方程，有利于推導出先進的控制算法。

圖1 基于網絡的電液伺服系統原理圖Fig.1 Schematic diagram of electro-hydraulic servo system based on network

伺服閥的流體動力學模型為非線性，負載時馬達的輸出流量QL與閥芯位移xv的數學關系可表示為

式中：Cd為小孔系數；w為伺服閥的面積梯度；ρ為油液的密度；Ps為進油口壓力；PL為相鄰兩腔室壓力差，PL=P1-P2，P1，P2分別為進油腔室和出油腔室壓力。

液壓旋轉執行器的流動連續性方程為

式中：Dm，Vt分別為液壓馬達旋轉位移和腔室總的體積；Q(t)，βe分別為時變不確定流量和油液體積模量；Ct為總泄漏系數；θ˙為閥控馬達的角速度。

根據牛頓第二定律，可以得到力的平衡方程

式中：J表示液壓馬達總轉動慣量；B為粘性阻尼系數；F(t)表示外部負載隨時間變化的擾動值；θ¨為閥控馬達的角加速度。

目前，伺服閥的制造技術成熟、控制精度高。本文采用的伺服閥的工作頻率遠高于液壓馬達，因此，可以將伺服閥的動態特性簡化為比例環節xv=kiu，ki為伺服閥的動態比例系數，u為控制電壓。伺服閥的流量方程為

式中：kt為總的流量增益。

選擇狀態變量

假設外界擾動|d(t)|＜D，D為未知外干擾上邊界。通過將網絡控制系統中的延時轉變為系統中存在一個時變的輸入時滯，從而得到非線性動態系統的模型，由式（1）～（7）可知，基于網絡的閥控馬達系統狀態方程為

式中：τ為網絡時變參數，表示網絡誘導的延時；τ取決于網絡的狀態；d2為建模不確定項誤差。

為了滿足上面的閥控馬達系統數學模型，必須考慮以下假設：

a. 不考慮管道的摩擦損失、流體質量。

b. 液壓回轉馬達的每個腔室中的壓力在任何地方都是相等的。

c. 液壓馬達中的每處泄漏都是層流。

d.干擾d(t)在系統模型中是足夠平滑的，且滿足均為已知的正數。

利用Pade定理來逼近系統的輸入延時是可行的。因此，有

式中：φ{u(t)}為u(t)的拉普拉斯變換；s為拉普拉斯變量。

一種新的狀態變量x4定義為

經過拉普拉斯變換可以得到

定義γ=2/τ，可得

則延時動態系統（8）可以改寫為

2 自適應魯棒積分控制器設計

控制目標是確保慣性負載能夠跟蹤期望的時變軌跡x1d，為量化此目標，定義位置跟蹤誤差

假設理想的位置軌跡x1d∈C3，且有界。

為了簡便設計過程，首先對式（13）中前2個方程構造二次Lyapunov函數，定義跟蹤誤差e2,e3和輔助誤差r。

式中：k1，k2為正常數；α1，α2分別為對x2，x3的虛擬控制律。

根據式（13）～（15）可求得輔助誤差r。

根據r的靜態方程式（16），設計虛擬控制律

式中：kr為反饋增益，kr＞0；α2a為模型的前饋控制律；α2s為模型魯棒控制律；α2s1為穩定液壓系統模型的線性魯棒反饋律；α2s2為積分魯棒項；為α2s2的魯棒反饋增益。

式中，φ為自適應率增益，φ＞0。

由式（14）～（18）可以求得r的時間導數。

將式（14），（16），（18）代入式（19），則

τ(x4,t)的自適應更新律

式中，η為自適應增益，η＞0。

式中：k3為正反饋增益；us為魯棒控制項。

根據式（22），式（20）可以改寫為

另外，e3的動態誤差導數可以表示為

3 穩定性證明

定理在自適應律式（18）和式（21）控制下，選擇合適的反饋增益k1，k2，k3，kr，所提出的控制律式（22）能夠保證系統信號(e1,e2,e3)在閉環操作下都是有界的，在此基礎上，當t→∞時，系統的位置跟蹤誤差e1→0。

引理1設輔助函數

選擇增益 β滿足下面的條件：

那么，函數P（t）總是正的。

設V（t）為連續可微的正定函數，定義

根據式（18）和式（21），式（29）可以表示為

式中，λmin(Λ)是λ(Λ)最小特征值，λmin＞0。

根據Barbalat定理[12]可得，2,3，即可以得到系統的位置跟蹤誤差是收斂的。

4 仿真實驗

4.1 系統參數選取

為了驗證本文提出的自適應魯棒積分控制算法，依據給出的閥控馬達位置伺服系統的實際工況，在Matlab/Simulink軟件中搭建系統仿真模型，設置仿真步長為0.001 s。物理系統主要參數如表1所示。

表1 液壓馬達伺服系統主要參數Tab.1 Main nonminal parameter of hydraulic motor servo system

4.2 比較實驗結果

圖2為外部負載隨時間變化的擾動軌跡。考慮網絡控制系統的誘導延時常常是不穩定的，可以將丟包認為是一種大延時狀態[13]，因此，考慮時變范圍(0.001s＜τ＜0.2s)。Matlab/Simulink軟件的Variable Time Delay模塊能夠使延時均勻概率分布，對2個控制器的仿真結果進行對比，以驗證所提控制方案的有效性。

圖2 外界擾動扭矩Fig. 2 External disturbance torque

a. 自適應魯棒積分控制器。控制增益給定如下：k1=800,k2=800,k3=100,k4=100,kr=900, 控制器的自適應增益η=0.5。

b. PID。通過試錯法得到控制器增益kp=900,ki=1000,kd=0。

輸入信號①為正弦平滑軌跡，x1d=10(1-cos(πt))(1-exp(-t))?。如圖3（a）所示，將自適應魯棒積分控制器和PID控制器跟蹤曲線進行比較，自適應魯棒積分控制器輸出位置能夠很好地跟蹤期望軌跡。圖3（b）為2種控制器的跟蹤誤差曲線。由表2可知，相比于PID控制器，自適應魯棒積分控制器具有較小的跟蹤誤差，并且最終保持良好的穩態跟蹤性能。圖3（c）為自適應魯棒積分控制器的控制信號。此外，x4是一個重要的參數，該參數的振動可能導致控制信號振蕩，為了避免這些振蕩，如圖3（d）所示，必須保持穩定的延時補償信號。圖3（e）是建模不確定項和延時誤差和的估計值。仿真結果表明，當網絡控制系統存在時變延時時，PID的最終跟蹤誤差是自適應魯棒積分控制器的4倍多，這是因為自適應魯棒積分控制器中的Pade定理補償了網絡系統中的時變延時和自適應律補償了液壓系統中的結構不確定性。

圖3 輸入信號①時，擾動和網絡誘導延時影響下的閥控馬達響應Fig.3 When the input signal is ①, the response of the valve-controlled motor under the influence of disturbance and networkinduced delay

為了更加直觀地展現2個控制器最終的跟蹤精度，Deng等[14]使用3個性能指標衡量設計的控制算法的質量，即跟蹤誤差的最大值Me，平均值μe和標準差σe，由表2的指標參數可以看出，設計的自適應魯棒積分控制器在各個性能方面均優于PID。

表2 在輸入信號①狀態下整個周期的性能指標Tab.2 Performance indicators for the entire cycle under the input signal ① state

輸入信號②為快速運動軌跡，x1d=10(1-cos(4πt))(1-exp(-t))?，最大角速度為125.6（°）/s。圖4（a）給出了自適應魯棒積分控制器和PID的跟蹤誤差對比，PID并不能很好地處理這種快速變化的運動，出現了±0.27?左右的跟蹤誤差。圖4（b）為自適應魯棒積分控制器在快速軌跡運動時的輸出信號，在整個運行過程中，自適應魯棒積分控制器的跟蹤誤差控制在±0.06?以內，對比表3的指標參數，說明本文所設計的自適應魯棒積分控制算法在提高閥控馬達跟蹤精度方面具備較好的效果。

圖4 輸入信號為②時，在擾動和網絡誘導延時影響下的閥控馬達響應Fig.4 When the input signal is ②, the response of the valve-controlled motor under the influence of disturbance and networkinduced delay

表3 在輸入信號②狀態下整個周期的性能指標Tab.3 Performance indicators for the entire cycle under the input signal ② state

5 結論

提出了一種基于網絡的液壓伺服系統高精度跟蹤控制算法，不僅考慮了系統的非線性不確定性，而且針對網絡中的延時，利用Pade定理補償。對狀態方程反向推導，在得到的虛擬控制律中引入積分魯棒項和自適應律，通過構造Lyapunov函數驗證了閉環系統的全局穩定性，保證閉環系統所有信號的有界性和跟蹤誤差漸進收斂性。仿真結果驗證了自適應魯棒積分控制算法的有效性。在未來的工作中，也可以考慮建立具有丟包情況的模型，利用多層神經網絡、狀態觀測器等來設計基于網絡的液壓伺服控制器。