基于參數(shù)化水平集法的約束阻尼結(jié)構(gòu)動力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化

吳永輝， 張東東， 陳靜月， 鄭 玲

（1. 上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093；2. 重慶大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，重慶 400044）

約束阻尼結(jié)構(gòu)（constrained layer damping，CLD）主要依靠粘彈性阻尼材料的剪切變形消耗振動能量，實(shí)現(xiàn)主體板殼結(jié)構(gòu)的振動噪聲控制，具有結(jié)構(gòu)簡單、易于工程實(shí)現(xiàn)、減振降噪效果良好以及可靠性高等優(yōu)點(diǎn)[1]，廣泛應(yīng)用于艦船、航天飛行器、汽車等的承載板殼減振降噪設(shè)計中。但將粘彈性阻尼材料敷設(shè)于整個結(jié)構(gòu)表面，不僅難以獲得最優(yōu)的減振降噪性能，而且會增加附加質(zhì)量。因此，在輕量化設(shè)計背景下，為充分有效地利用材料，對約束阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，具有重要的工程意義。

約束阻尼結(jié)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計已有非常廣泛的研究[2-4]，多以模態(tài)損耗因子和結(jié)構(gòu)的峰值響應(yīng)為目標(biāo)函數(shù)，對約束層和阻尼層材料的幾何參數(shù)和材料參數(shù)等進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。參數(shù)優(yōu)化多以表面全部敷設(shè)約束阻尼材料的結(jié)構(gòu)為對象，這顯然難以有效利用材料。隨著連續(xù)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的發(fā)展，拓?fù)鋬?yōu)化方法被引入到約束阻尼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題中。王明旭等[5]借助固體各向同性微結(jié)構(gòu)懲罰（solidisotropic microstructures with penalization，SIMP）模型，以模態(tài)阻尼比最大化為目標(biāo)，對約束阻尼板殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋵?yōu)。Fang等[6]以最小化諧振響應(yīng)為目標(biāo)，采用漸進(jìn)優(yōu)化方法（(evolutionary structural optimization，ESO）尋找板結(jié)構(gòu)表面的約束阻尼材料的最優(yōu)布局。竇松然等[7]基于材料屬性的有理近似（rational approximation of material prop-erties，RAMP）插值模型密度法，以模態(tài)損耗因子最大化為目標(biāo)，對約束阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化分析。Araújo等[8]采用直接多元搜索法，以限定頻率范圍的模態(tài)損耗因子為目標(biāo)，對約束阻尼夾層板進(jìn)行多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化。Zhang等[9]則以輻射聲功率為目標(biāo)函數(shù)，基于雙向漸進(jìn)優(yōu)化（bidirection evolutionary structural optimization，BESO）方法開展了基板表面約束阻尼材料的位置和厚度的兩級優(yōu)化。上述文獻(xiàn)的研究結(jié)果都表明：約束阻尼材料的最優(yōu)構(gòu)型與基結(jié)構(gòu)的振動能量存在聯(lián)系；在優(yōu)化過程中，都需預(yù)先確定材料的幾何參數(shù)。事實(shí)上，幾何參數(shù)對約束阻尼材料最優(yōu)構(gòu)型的影響仍需進(jìn)一步分析。

為了克服棋盤格式等數(shù)值問題，上述優(yōu)化方法都需引入濾波過程，且優(yōu)化結(jié)果存在中間密度單元。Osher等[10]最早提出了的水平集法（level set method, LSM），很快被引入到結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域，其基本思想是利用高一維的水平集函數(shù)的零水平集（邊界）表示結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的幾何邊界，通過控制水平集演化速度實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)形狀與拓?fù)鋬?yōu)化。理論上，水平集法可以獲得清晰的結(jié)構(gòu)邊界信息，也不再需引入濾波過程。Allaire等[11]將水平集法應(yīng)用于進(jìn)行連續(xù)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化，基于形狀靈敏度分析中獲得水平集的演化速度；Ansari等[12]以模態(tài)損耗因子為目標(biāo)，將水平集法應(yīng)用于約束阻尼結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化。上述的傳統(tǒng)水平集方法在進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化時，需求解復(fù)雜的哈密頓–雅可比偏微分方程，在每個迭代步都需采用符號距離函數(shù)重新初始化水平集函數(shù)，且最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對初始構(gòu)型依賴性較強(qiáng)。Wang等[13-14]提出了參數(shù)化水平集方法（parametric level set method, PLSM），將水平集函數(shù)解耦為基函數(shù)與擴(kuò)展系數(shù)乘積和的形式，避免了求解復(fù)雜哈密頓–雅可比偏微分方程。通過經(jīng)典的最小柔度設(shè)計問題說明了參數(shù)化水平集法具有收斂速度快、對初始構(gòu)型依賴弱等優(yōu)點(diǎn)。Pang等[15]利用參數(shù)化水平集法對自由阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，算例和實(shí)驗(yàn)證明了阻尼材料的優(yōu)化構(gòu)型與基板的應(yīng)變能分布的相似性；Cui等[16]在利用參數(shù)化水平集進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化時，通過增加形狀靈敏度約束因子來控制優(yōu)化步長，提高了結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的效率和穩(wěn)定性。

基于參數(shù)化水平集法的上述優(yōu)點(diǎn)，本文將參數(shù)化水平集法應(yīng)用于約束阻尼結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化研究，以模態(tài)損耗因子最大化為目標(biāo)函數(shù)，約束阻尼材料用量為約束條件，建立約束阻尼結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化模型。基于伴隨向量法進(jìn)行靈敏度分析，采用優(yōu)化準(zhǔn)則法更新設(shè)計變量。通過數(shù)值算例驗(yàn)證了參數(shù)化水平集法的可行性和有效性，著重討論了約束阻尼材料的初始構(gòu)型和材料幾何參數(shù)的變化對最優(yōu)構(gòu)型的影響。

1 約束阻尼板有限元模型

采用約束阻尼復(fù)合單元建立約束阻尼板的有限元模型[17]，如圖1所示。其中，h表示各層厚度；l和w表示單元節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)符號。每個單元包括4個節(jié)點(diǎn)，每個節(jié)點(diǎn)有7個自由度，分別是：基板層中性面內(nèi)位移分量ub和vb；約束層中性面內(nèi)的兩個位移分量uc和vc；約束阻尼板的橫向位移w以及繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)角φx和φy。

圖1 CLD有限元復(fù)合單元模型Fig.1 CLD finite composite element model

基于能量法得到基板、約束層和阻尼層的單元質(zhì)量矩陣和單元剛度矩陣[17]，并進(jìn)行組裝，那么，約束阻尼板結(jié)構(gòu)的整體質(zhì)量矩陣和剛度矩陣可表示為

式中：M為約束阻尼板的整體質(zhì)量矩陣；Mb，Kb為基板層的整體質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；mvi，kvi，mci，kci分別為阻尼層和約束層單元i的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；n為單元個數(shù)；kγv_Ri，kγv_Ii分別為阻尼層剪切剛度矩陣的實(shí)部和虛部；KR和KI為整體剛度矩陣的實(shí)部和虛部。

從而，可以寫出約束阻尼板結(jié)構(gòu)的自由振動動力學(xué)方程

其中，X為全局節(jié)點(diǎn)位移向量。那么，約束阻尼板結(jié)構(gòu)的特征方程為：

通常采用模態(tài)損耗因子表征約束阻尼結(jié)構(gòu)的抑振能力。定義第r階的模態(tài)損耗因子為

式中，Ψr表示第r階實(shí)模態(tài)振型向量。

2 基于參數(shù)化水平集法的約束阻尼結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

2.1 參數(shù)化水平集法

水平集法采用水平集函數(shù)的零等值線或面表達(dá)結(jié)構(gòu)邊界，通過追蹤水平集函數(shù)描述的曲面運(yùn)動，確定結(jié)構(gòu)邊界的演化[18]。那么，基板表面敷設(shè)的約束阻尼材料拓?fù)湫螤羁梢杂脴?biāo)準(zhǔn)水平集函數(shù)Φ(x)進(jìn)行描述。

式中：Ω為設(shè)計域；Γ為材料邊界；D為最終的材料區(qū)域；x為結(jié)構(gòu)設(shè)計域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。水平集函數(shù)及材料邊界描述如圖2。

圖2 三維水平集函數(shù)與二維結(jié)構(gòu)邊界Fig.2 3D LSF and 2D structural boundary

將優(yōu)化迭代構(gòu)型中的隱式水平集函數(shù)Φ(x,t)解耦成顯式的徑向基函數(shù)gj(x)和擴(kuò)展系數(shù)αj(t)形式方程[19]，其表達(dá)式為

式中：m為設(shè)計域內(nèi)徑向基函數(shù)個數(shù)；t為偽時間變量。將式（6）寫成矩陣形式為

本文采用一種緊支徑向基函數(shù)[18]gj(x)，其表達(dá)式為

式中，rj(x)為徑向基函數(shù)的支撐半徑，定義為

式中，R為徑向基函數(shù)的影響半徑，取2.5。

2.2 優(yōu)化模型

在設(shè)計域內(nèi)定義參數(shù)化水平集函數(shù)后，約束阻尼板結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣可以表示為

式中，H(Φ)為Heaviside函數(shù)，為方便求其偏導(dǎo)數(shù)，定義為[20]

本文中取a=0.0001,Δ=1。

那么，以參數(shù)化水平集函數(shù)的擴(kuò)展系數(shù)為設(shè)計變量，模態(tài)損耗因子最大化為目標(biāo)函數(shù)，建立約束阻尼結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化模型，表述為

式中：V為基板表面敷設(shè)的約束阻尼材料體積；為體積約束；vi為單個單元i內(nèi)約束阻尼材料的體積；e，f均為階數(shù)；δ是對H(Φ)進(jìn)行光滑化處理的區(qū)域界限；αj,min、αj,max為設(shè)計變量的上下限，取αj,min=2minα,αj,max=2maxα；βr是權(quán)重系數(shù)。

2.3 靈敏度分析

本文采用伴隨向量法進(jìn)行靈敏度分析。為避免計算目標(biāo)函數(shù)中振型對設(shè)計變量的偏導(dǎo)數(shù)，以及方便采用優(yōu)化準(zhǔn)則法更新設(shè)計變量，通過引入伴隨向量μ1和μ2將目標(biāo)函數(shù)改寫為

式中，Re表示取實(shí)部。

那么，目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計變量αj的靈敏度可表示為

式中，伴隨向量μ1、μ2是下列方程的解。

質(zhì)量矩陣和剛度矩陣對設(shè)計變量的靈敏度為

Heaviside函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)由式（11）可得

式中：a=0.0001；b=0.0001；Δ=1。水平集函數(shù)對設(shè)計變量的導(dǎo)數(shù)由式（7）可得

此外，體積約束對設(shè)計變量的靈敏度為

2.4 設(shè)計變量更新準(zhǔn)則

優(yōu)化準(zhǔn)則（optimization criterion，OC）法在求解帶約束條件的優(yōu)化問題時，先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，再利用庫恩-塔克條件（KKT）構(gòu)造極值條件函數(shù)，進(jìn)而確定設(shè)計變量更新準(zhǔn)則，構(gòu)造約束條件和目標(biāo)函數(shù)的拉格朗日函數(shù)

3 優(yōu)化流程

基于參數(shù)化水平集法的約束阻尼板殼結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化流程如圖3所示，具體描述如下：

圖3 參數(shù)化水平集法拓?fù)鋬?yōu)化流程圖Fig.3 Flowchart of topology optimization using PLSM

a. 初始化水平集函數(shù)Φ、徑向基函數(shù)G(x)，并依據(jù)式（7）初始化設(shè)計變量（擴(kuò)展系數(shù)）αj；

b. 依據(jù)初始化的水平集函數(shù)確定約束阻尼材料的初始構(gòu)型，并建立對應(yīng)的約束阻尼板結(jié)構(gòu)的有限元模型；求解約束阻尼結(jié)構(gòu)的特征方程，得到初始結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子；

c.采用伴隨向量法分析目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計變量的靈敏度；

d. 依據(jù)優(yōu)化準(zhǔn)則法更新設(shè)計變量，即參數(shù)化水平函數(shù)的擴(kuò)展系數(shù)，得到更新的水平集函數(shù)，更新約束阻尼板結(jié)構(gòu)的有限元模型和特征方程；

e.求解特征方程得到更新的目標(biāo)函數(shù)以及體積約束條件；

f. 判斷收斂條件是否滿足，若不滿足，重復(fù)步驟c～e，直至滿足迭代終止條件。本文中的收斂條件為：體積分?jǐn)?shù)與目標(biāo)體積之差、目標(biāo)函數(shù)值連續(xù)20代的變化值同時小于0.001。

4 算例分析和討論

基于上述的建模方法以及參數(shù)化水平集法，編制了約束阻尼板結(jié)構(gòu)的有限元模型及拓?fù)鋬?yōu)化程序。約束阻尼板的參數(shù)如表1所示，基板尺寸為0.4 m×0.3 m。粘彈性阻尼材料的剪切模量采用復(fù)常數(shù)模型，損耗因子取0.5，邊界條件為四邊固支，體積約束為全覆蓋約束阻尼材料的50%，有限元單元數(shù)為40×30。分別以一階和二階模態(tài)損耗因子及其加權(quán)最大化為優(yōu)化目標(biāo)，采用參數(shù)化水平集法對基板表面的約束阻尼材料進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化。

表1 約束阻尼板各層材料幾何參數(shù)和屬性參數(shù)Tab.1 Geometric parameters and materials properties of each layer CLD plate

4.1 優(yōu)化結(jié)果與分析

已有文獻(xiàn)研究表明，以模態(tài)損耗因子為目標(biāo)函數(shù)對約束阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化時，約束阻尼材料優(yōu)化構(gòu)型與基板的模態(tài)應(yīng)變能分布有一定的相似性[15]。本文中基板的前二階模態(tài)應(yīng)變能及歸一化加權(quán)模態(tài)應(yīng)變能分布如圖4。

圖4 基板結(jié)構(gòu)的模態(tài)應(yīng)變能分布Fig.4 Modal strain energy distribution of base plate structure

此外，基于參數(shù)化水平集法的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化對初始結(jié)構(gòu)依賴性較弱[14]，本文以一階模態(tài)損耗因子最大化進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化時，構(gòu)建了約束阻尼材料覆蓋率約為50%（體積約束）的兩種初始構(gòu)型：a.基板表面均勻覆蓋若干約束阻尼材料，記為初始構(gòu)型A，如圖5（a）所示；b. 約束阻尼材料依據(jù)基板單元應(yīng)變能分布構(gòu)建初始構(gòu)型，記為初始構(gòu)型B，如圖5（b）所示。

圖5 一階模態(tài)損耗因子最大化時的兩種初始構(gòu)型Fig.5 Two initial configurations of CLD materials for maximizing first modal loss factor

采用上述兩種初始構(gòu)型，優(yōu)化得到的水平集函數(shù)相同，如圖6（a）。進(jìn)一步，將圖6（a）的水平集函數(shù)規(guī)整后獲得約束阻尼材料在基板表面的最優(yōu)布局，如圖6（b）所示（藍(lán)色表示約束阻尼材料，白色表示基板結(jié)構(gòu)）。本文中水平集函數(shù)規(guī)整準(zhǔn)則為：

式中,d表示對水平集函數(shù)排序后第單元的水平集函數(shù)值，nnel是總單元數(shù)。顯然，基于參數(shù)化水平集法的約束阻尼拓?fù)鋬?yōu)化對初始構(gòu)型的選取依賴性很弱。圖7所示為兩種初始構(gòu)型的優(yōu)化歷程，初始構(gòu)型A優(yōu)化用時233 s，初始構(gòu)型B優(yōu)化用時188 s，可以看出，依據(jù)模態(tài)應(yīng)變能構(gòu)建初始構(gòu)型，可以提高拓?fù)鋬?yōu)化效率。因此，下文中約束阻尼材料的初始布局都基于基板結(jié)構(gòu)的模態(tài)應(yīng)變能分布構(gòu)建。

圖7 不同初始構(gòu)型的模態(tài)損耗因子迭代曲線和體積分?jǐn)?shù)收斂曲線Fig.7 Iteration history of modal loss factor and volume fraction under different initial configurations

為表征最優(yōu)構(gòu)型與依據(jù)基板應(yīng)變能構(gòu)建的初始構(gòu)型相關(guān)性，本文定義：約束阻尼材料最優(yōu)構(gòu)型和初始構(gòu)型的重合面積與初始構(gòu)型的面積之比為相似度。圖6的最優(yōu)構(gòu)型與初始構(gòu)型相似度為0.793 3，表明在表1參數(shù)下，約束阻尼材料的最優(yōu)布局與初始結(jié)構(gòu)布局B的相似度較高。但對比圖5（b）和圖6（b）可知，在應(yīng)變能比較大的板結(jié)構(gòu)中心區(qū)域，約束阻尼材料敷設(shè)面積明顯減小，優(yōu)化后的一階模態(tài)損耗因子為0.025 9，與初始結(jié)構(gòu)布局B對應(yīng)的模態(tài)損耗因子相比較，提高了14.1%。

圖6 一階模態(tài)損耗因子最大化的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.6 Topology optimization results for maximizing the first modal loss factor

以二階模態(tài)損耗因子最大化為目標(biāo)函數(shù)時，基于基板第二階模態(tài)應(yīng)變能分布構(gòu)建初始布局，如圖8（a），相應(yīng)的約束阻尼材料最優(yōu)布局如圖8（b），優(yōu)化迭代過程如圖8（c）。圖8中優(yōu)化構(gòu)型與初始構(gòu)型相似度為0.84。對比圖8（a）和（b），同樣可以看出，在應(yīng)變能比較大的板結(jié)構(gòu)中心區(qū)域，約束阻尼材料敷設(shè)面積明顯減小，優(yōu)化后的二階模態(tài)損耗因子為0.025 6，比初始結(jié)構(gòu)布局對應(yīng)的模態(tài)損耗因子提高了8.1%。

圖8 二階模態(tài)損耗因子最大化的初始構(gòu)型及優(yōu)化結(jié)果Fig. 8 Initial configuration and optimization results for maximizing second modal loss factor

進(jìn)一步，以一階和二階加權(quán)模態(tài)損耗因子最大化為目標(biāo)函數(shù)，基于基板的一階和二階加權(quán)模態(tài)應(yīng)變能分布構(gòu)建初始布局，如圖9（a）。利用參數(shù)化水平集法進(jìn)行加權(quán)優(yōu)化，約束阻尼材料最優(yōu)布局如圖9（b），優(yōu)化迭代過程如圖9（c）。權(quán)重系數(shù)取β1=β2=0.5。

圖9中優(yōu)化構(gòu)型與初始構(gòu)型相似度為0.8，優(yōu)化后的加權(quán)模態(tài)損耗因子為0.024，比初始結(jié)構(gòu)布局對應(yīng)的模態(tài)損耗因子提高了14%。從優(yōu)化歷程也可看出，以基板模態(tài)應(yīng)變能構(gòu)建初始構(gòu)型時進(jìn)行的拓?fù)鋬?yōu)化效率較高。表2列出了上述算例中的模態(tài)損耗因子優(yōu)化結(jié)果，可以看出，與初始構(gòu)型相比較，單一目標(biāo)下的模態(tài)損耗因子都有所提高；考慮加權(quán)目標(biāo)函數(shù)時，盡管第二階的模態(tài)損耗因子較初始結(jié)構(gòu)有所降低，但仍能很好地兼顧前兩階模態(tài)的減振性能。綜上所述，基于參數(shù)化水平集法的約束阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法有效可行。

表2 以不同階數(shù)為目標(biāo)函數(shù)時的優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Optimization results for different objective functions

圖9 一階和二階加權(quán)初始構(gòu)型及優(yōu)化結(jié)果Fig. 9 Initial configurations and optimization results for weighted first and second order modal loss factor

4.2 優(yōu)化結(jié)果對厚度參數(shù)的依賴性分析

進(jìn)一步討論在附加質(zhì)量保持不變的條件下，約束層材料和阻尼材料的厚度變化對約束阻尼材料模態(tài)損耗因子和最優(yōu)構(gòu)型的影響規(guī)律。

保持約束阻尼材料的附加質(zhì)量不變，即體積分?jǐn)?shù)（質(zhì)量分?jǐn)?shù)）為0.5，改變約束層和阻尼層的厚度，以一階和二階及其加權(quán)模態(tài)損耗因子為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，分析拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型以及模態(tài)損耗因子變化。優(yōu)化結(jié)果對應(yīng)的模態(tài)損耗因子和相似度變化如圖10。

從圖10可以看出，在保持約束阻尼層附加質(zhì)量相同的條件下，阻尼層厚度與約束層厚度的比值逐漸減小時，優(yōu)化構(gòu)型的相似度也減小，即最優(yōu)構(gòu)型與模態(tài)應(yīng)變能分布的布局差異變大。但是存在一個最優(yōu)的約束層和阻尼層厚度比，使得模態(tài)損耗因子最大，此時優(yōu)化構(gòu)型的相似度都大于0.75，且約束阻尼材料在基板中心區(qū)域覆蓋面積減小，四邊覆蓋面積增加。因此，在上述附加質(zhì)量的設(shè)計約束下，當(dāng)約束層和阻尼層厚度接近相同時，可依據(jù)上述約束阻尼材料分布特征構(gòu)建初步構(gòu)型。

圖10 約束層和阻尼層厚度變化時的優(yōu)化結(jié)果Fig. 10 Optimal results with varying thickness of constrained layer and damping layer

保持約束阻尼層附加質(zhì)量不變，同時設(shè)約束阻尼材料的總厚度不變，改變約束層和阻尼層的相對厚度。這種情況下，雖然附加質(zhì)量不變，但附加的體積分?jǐn)?shù)不同，如表3。以一階和二階及其加權(quán)模態(tài)損耗因子為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，不同約束層和阻尼層厚度對應(yīng)的模態(tài)損耗因子和相似度變化如圖11。

表3 不同約束層和阻尼層厚度對應(yīng)的目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)Tab.3 The target volume fraction corresponding to the thickness of different constraint layer and damping layer

圖11 改變約束阻尼層相對厚度的優(yōu)化結(jié)果Fig. 11 Optimization results of changing the relative thickness of constrained damping layer

從圖11可以看出，在保持約束阻尼層的厚度和附加質(zhì)量不變的條件下，隨著阻尼層與約束層厚度之比的逐漸減小，模態(tài)損耗因子先增大后減小，存在一個最適厚度比使得模態(tài)損耗因子最大，在本文的參數(shù)下，約束層與阻尼層最適厚度比約為7∶1。當(dāng)選取最適厚度時，優(yōu)化構(gòu)型的相似度大于0.75。這為在附加質(zhì)量和材料總厚度的設(shè)計約束下，提供了約束阻尼材料設(shè)計的參考思路。

5 結(jié)論

結(jié)合約束阻尼結(jié)構(gòu)的有限元模型，建立了基于參數(shù)化水平集法的約束阻尼結(jié)構(gòu)動力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化模型，以前兩階及其加權(quán)模態(tài)損耗因子最大化為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化。結(jié)果表明：基于參數(shù)化水平集法對約束層阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化是可行有效的，且以基板結(jié)構(gòu)應(yīng)變能分布構(gòu)建初始構(gòu)型可提高優(yōu)化效率。

在保持約束阻尼材料附加質(zhì)量相同的條件下，阻尼層厚度與約束層厚度的比值逐漸減小時，優(yōu)化構(gòu)型的相似度也減小；但是存在一個最優(yōu)的約束層和阻尼層厚度比，使得模態(tài)損耗因子最大，優(yōu)化構(gòu)型的相似度大于0.75。在保持約束阻尼層的厚度和附加質(zhì)量不變的條件下，隨著阻尼層與約束層厚度之比逐漸減小時，模態(tài)損耗因子先增大后減小，存在一個最適厚度比使得模態(tài)損耗因子最大，在本文的參數(shù)下，約束層與阻尼層最適厚度比約為7:1。當(dāng)選取最適厚度時，優(yōu)化構(gòu)型的相似度大于0.75。這為在附加質(zhì)量和材料總厚度的設(shè)計約束下，提供了約束阻尼材料設(shè)計的參考思路。