基于AKIMA插值法的整體式U形渠道溫度場數值模擬

汪菲，唐少容,2,3*，王紅雨,2,3

?灌溉技術與裝備?

基于AKIMA插值法的整體式U形渠道溫度場數值模擬

汪菲1，唐少容1,2,3*，王紅雨1,2,3

（1.寧夏大學 土木與水利工程學院，銀川 750021；2.寧夏節水灌溉與水資源調控工程技術研究中心，銀川 750021；3.旱區現代農業水資源高效利用教育部工程研究中心，銀川 750021）

揭示整體式U形混凝土渠道渠基土溫度場的分布和變化特征，為整體式U形混凝土渠道的抗凍脹工程提供理論依據。依據寧夏青銅峽市邵崗鎮沙湖村進行的整體式U形混凝土襯砌渠道的原型觀測試驗結果，采用AKIMA插值法對各部位渠基土的溫度梯度進行了計算，再利用有限元軟件ANSYS對渠基土的溫度場及溫度梯度進行了數值模擬。渠道陰坡溫度低于陽坡溫度，其產生凍脹時間更早、凍結深度更大。在2月初氣溫回暖時，地溫開始逐步升高。不同位置襯砌板下土體的溫度梯度變化規律基本相同，均隨土體深度的增加而減小。陰坡的平均溫度梯度高于陽坡，距離土表越遠溫度梯度越小。襯砌板以下20 cm范圍內的溫度梯度波動較大，50～100 cm范圍內的溫度梯度相對來說較為平緩。采用AKIMA插值法計算出的渠基土溫度梯度與通過有限元軟件ANSYS進行的溫度梯度模擬結果基本一致，ANSYS對溫度場的模擬所得結果與實測渠基土地溫結果一致。整體式U形混凝土渠道在不同位置襯砌板下的渠基土溫度變化趨勢一致，均隨深度的增加而升高；不同深度土體溫度梯度變化規律基本相同，均隨深度增大而減小。

U形渠道；溫度梯度；AKIMA插值法；數值模擬

0 引言

【研究意義】寧夏地處季節性凍土地區，渠基土會隨四季的交替變化發生凍融循環，使渠道襯砌產生嚴重的凍脹破壞、造成滲漏，影響渠道功能的發揮。渠基土的凍結是具有相變的水熱遷移過程[1]，除地形、地質、水文等因素外，土中的熱流和溫度梯度也是影響渠基土水熱遷移過程的重要因素。因此，研究渠基土溫度場的分布和溫度梯度變化特征對渠道抗凍脹破壞意義重大。【研究進展】以往渠道溫度場的研究已非常廣泛且取得了一定的成果，但U形混凝土渠道溫度場的分析目前仍以觀測試驗及有限元計算為主，而由于試驗測點有限、數值模擬依賴參數選取等因素，使得對渠道溫度場的研究可能存在誤差，因此使用AKIMA插值法計算渠道渠基土溫度梯度。AKIMA插值法是AKIMA[2]于1970年首次提出的一種基于局部插值的光滑曲線擬合的新方法，是在給定點的連續區間建立一階導數連續的分段三次多項式曲線。這種插值法數學推理嚴密，計算過程簡便，不考慮全部數值點對某區間的影響，只需求某一區間附近的幾個數值點就可確定該區間任一點的值，且所得曲線比其他插值曲線更光滑自然。AKIMA插值法由于其充足的優點已在各領域有了廣泛的應用，張尚根等[3]利用AKIMA插值法來計算土的孔隙比，克服了手算孔隙比對準確度的影響以及壓縮深度試算困難的問題。王云宏等[4]通過AKIMA插值法校正了GPS授時地震儀的晶振走時誤差。文獻[5-7]研究了AKIMA插值法在測量、測繪方面的應用。文獻[8-9]利用AKIMA插值法處理海域溫度垂直剖面數據，并基于此分析了溫鹽躍層特征。RUI等[10]通過AKIMA插值法計算了凍土的溫度梯度。【切入點】針對上述問題，通過AKIMA插值法計算渠基土溫度梯度，利用有限的測點溫度值即可計算出該區間內的所有溫度梯度值，能夠彌補試驗測點和條件不足的缺陷，更為準確地掌握渠道基土的凍結狀況。【擬解決的關鍵問題】本文通過分析2015年12月—2016年4月在寧夏青銅峽市邵崗鎮沙湖村進行的為期4個月的整體式U形混凝土襯砌渠道原型觀測試驗結果，采用數值分析法對不同氣溫條件下、不同深度處、渠道同一斷面陽坡、渠底、陰坡處的地溫變化規律進行研究。重點探討基于AKIMA插值法的渠基土溫度梯度計算，并與利用有限元軟件ANSYS進行渠基土溫度場的模擬結果進行了對比，以期揭示出整體式U形混凝土渠道渠基土溫度場的分布和變化特征，為整體式U形混凝土渠道的抗凍脹工程提供理論依據。

1 觀測試驗及數據處理

1.1 試驗現場

原型觀測試驗區位于寧夏青銅峽市邵剛鎮沙湖村的河西灌區雙龍渠，地屬西北干旱帶，年平均氣溫為8.4℃，極端最高和最低氣溫分別為40.0 ℃和-24.0 ℃，晝夜溫差約為13 ℃左右。年平均降水量為180~200 mm，年平均蒸發量為1 100~1 600 mm，降水量和蒸發量相差懸殊，春季和冬季尤為突出，且該區域在4—6月春耕時期的降雨量僅為全年降雨量的25 %左右，因此農渠灌溉是該區域的主要灌溉方式。試驗區在12月上旬開始結凍，次年2月下旬開始解凍，凍結時間為80~100 d，渠基土基本物理性質如表1所示，其中l表示渠基土的液限，p表示渠基土的塑限，p表示渠基土的塑性指數。

表1 渠基土基本物理性質

1.2 觀測方法

原型渠道斷面尺寸如圖1所示，渠道為東西走向，渠頂開口為0.782 m，渠深0.55 m，每塊板的縱向長度為0.4 m，縱比降為1/4 000。

圖1 雙龍渠斷面(單位：mm)

試驗監測期包括了渠基土的一個完整凍融期，通過熱敏電阻觀測法對整體式U形渠道渠基土的地溫進行觀測。試驗段的地溫通過搭配負溫熱敏電阻與數字萬用表進行觀測，采用型號為MGD18-103F3950的負溫熱敏電阻（NTC），其精度可達0.1 ℃，感溫時間可少至10 s以下，典型特點為溫度越高時電阻值越低。通過熱敏電阻可以將溫度及其變化量轉換成電阻及電阻變化量。試驗分別在設計水位處襯砌板下、渠道直線段與弧線段交接處襯砌板下以及渠底垂直襯砌板下埋設負溫熱敏電阻布置測點。熱敏電阻的具體布設情況如圖2所示，陰陽坡均勻對稱布置熱敏電阻，觀測均在當日早上10:00點進行。

圖2 熱敏電阻布設

1.3 試驗結果處理

試驗數據的處理是依據NTC的實測電阻值，對照電阻溫度特性表計算地溫。為探究不同深度、渠道不同位置、不同時間的溫度變化規律，本文選取監測期內連續的16次觀測數據，對監測試驗中的實測電阻值進行地溫計算。圖3為渠道橫斷面不同襯砌板位置渠基土的地溫變化曲線，橫坐標為觀測日期，如151206表示2015年12月6日。縱坐標為土體溫度，不同顏色曲線代表不同深度處的溫度。由圖3可知，渠道不同位置襯砌板下的渠基土溫度變化趨勢一致，均隨深度的增加而升高。而同一時刻同一深度的渠基土溫度大小為：渠底＞陽坡＞陰坡，因此陰坡的平均溫度低于陽坡，其產生凍脹時間更早、凍結深度更大。在2月初氣溫回暖時，地溫也開始逐步升高。

2 基于AKIMA插值法的溫度梯度計算

溫度梯度為負代表本次監測溫度小于上次監測溫度。渠道渠基土溫度梯度的計算采用AKIMA插值法，即在2個實測點之間進行內插，還需得知與這兩點相鄰的4個實測點的數值[12-13]。同時約定在任意兩相鄰的數據點之間，用三次多項式來逼近進而得到一條光滑的曲線，可得到該區間內任意深度的溫度值，從而求得不同深度溫度梯度。設已知數據點（dt），現在要找到1條光滑曲線=（），使其滿足t=（d），如圖4所示，所謂光滑是指（）具有連續的一階導數。

圖4 AKIMA插值

設三次多項式為：

=0+1(-3)+2(-3)2+3(-3)3, （1）

式中：為土體的不同深度；為不同深度處的溫度；0、1、2、3為待定系數，計算式為：

0=3， （2）

1=3，（3）

2=[3(4-3)/(4-3)-23-4]/(43)， （4）

3=[-2(43)/(4-3)+3+4]/(4-3)2，（5）

式中：3、4分別為3號、4號實測點的斜率，計算式為：

3=(|4-3|2+|2-1|3)/(|4-3|+|2-1|)， （6）

4=(|5-4|3+|3-2|4)/(|5-4|+|3-2|)。（7）

其中，m表達式為：

m=(t +1-t)/(d +1-d)。 （8）

在AKIMA曲線的開始與結束處，端點上的斜率需要根據已知點的斜率來估計。而補充的點需要在拋物線曲線=0+1(-d)+2(-d)2上，且設5-3=4-2=3-1，由此可得4個端點表達式為：

-1=20-1，（9）

-2=2-1-0，（10）

m=2m-1-m-2，（11）

m+1=2m-m-1。（12）

結合上式與處理后的地溫數據，利用AKIMA插值法計算所得區間內的三次多項式，并由此獲得區間內任意深度的溫度值，從而求得不同深度的溫度梯度。

為探明氣溫、深度及襯砌位置對渠基土溫度梯度的影響，選取一個凍融期內渠道不同位置襯砌板下的渠基土，對其溫度梯度進行計算與分析，圖5為渠道不同位置渠基土的溫度梯度變化曲線。由圖5可知，不同位置襯砌板下土體溫度梯度的變化規律基本相同，均隨深度的增大而減小。襯砌板以下20 cm范圍內的溫度梯度波動范圍較大，50~100 cm范圍內的溫度梯度相對來說較為平緩，趨近于0。融解期土體從上到下依次融化，溫度梯度波動幅度也依次減小。

3 渠道溫度場的有限元模擬

有限元數值模擬是工程原型監測之外的一種有效研究手段。通過數值模擬一方面可以預測或再現渠道凍脹破壞效應，另一方面可以驗證原型監測試驗的可靠與準確性，能為揭示季凍區渠道凍害問題提供依據。本節以整體式U形混凝土襯砌結構為對象，采用通用有限元軟件ANSYS對襯砌結構的溫度場進行數值模擬，探討整體式U形混凝土襯砌結構的溫度場及溫度梯度分布情況，以期能為季凍區渠道凍脹破壞問題提供理論依據。

3.1 原型渠道參數的選取

文獻[11]對渠道進行原位觀測，所得觀測基本資料如表2所示。忽略渠道與渠基土間的相互作用，及襯砌結構沿縱向的差異，利用有限元軟件ANSYS對U形混凝土襯砌渠道進行溫度場分析。該渠道為C20混凝土襯砌，取其彈性模量=260 GPa，導熱系數=2.3 W/(m?℃)，泊松比=0.167。

表2 雙龍渠原位觀測基本情況

3.2 有限元模型及單元劃分

根據原位觀測基本情況，本文按照雙龍渠準確尺寸進行有限元模型的建立，選取溫度單元plane55，利用有限元軟件ANSYS對混凝土渠道渠基土的溫度場進行數值模擬。為使模擬結果更加精確，本研究在渠道襯砌結構部分進行網格加密，有限元計算模型及單元劃分結果如圖6所示。

圖6 有限元單元模型及網格劃分

3.3 有限元基本假定及熱傳導方程

3.3.1 基本假定

由于溫度、土質、水分狀況、襯砌體剛度等因素決定了渠基土凍脹是比較復雜的過程，很難完全準確模擬，因此必須事先做出適當的假定與簡化，以便更準確地探尋渠道凍脹受力和變形規律。基本假定如下：

1）渠基土是均質連續的各向同性線彈性材料。

2）土質及水分等條件確定時，渠基土凍脹的主要取決于溫度。

3）忽略對流影響，以熱傳導為主。

4）渠基土在凍結過程中為封閉系統，不考慮水分遷移、蒸發的過程。

5）忽略沿渠道縱向的溫度差異，只考慮渠道橫斷面上的凍脹，把襯砌渠道凍脹作為二維平面應變問題處理。

3.3.2 熱傳導方程

可根據3.3.1中的基本假定建立一個二維溫度場。由熱力學理論可知，適用于整體式U形混凝土渠道凍脹的二維熱傳導方程為：

式中：為渠基土溫度；λ為渠基土沿軸方向的導熱系數；λ為渠基土沿軸方向的導熱系數，單位均為W/(m?℃)；為渠基土的計算區域。

3.4 有限元模擬結果分析

溫度場隨時間發生變化的傳熱過程為非穩態傳熱過程[14]，因此對渠基土溫度場采用瞬態計算。熱邊界取原型渠道襯砌結構表面觀測所得16次溫度數據，分別以數組形式施加于渠道襯砌的陰坡、陽坡及渠底。取最后1次監測數據所對應的渠基土溫度場如圖7所示。從圖7可以看到，陽坡溫度高于陰坡溫度，陰坡、陽坡及渠底溫度分布規律基本相同，均隨深度的增加而增大，與實測規律基本一致。

圖7 渠基土溫度場分布

溫度梯度分布如圖8所示。由圖8可知，不同襯砌板下土體溫度梯度的變化規律基本相同，距離土表越遠溫度梯度越小。且陰坡的平均溫度梯度高于陰坡，以上結論與通過AKIMA插值法計算溫度梯度所得規律基本一致。

圖8 渠基土溫度梯度分布

4 討論

本文利用AKIMA插值法計算渠基土溫度梯度，利用有限的測點溫度值計算出了該區間內的溫度梯度值，彌補了試驗測點不足和試驗條件不易保證的缺陷，發現AKIMA插值法計算所得溫度梯度與數值模擬結果一致。竺明星等[15]也通過理論計算驗證了該方法的可靠性和實用性。

研究表明，渠道不同位置襯砌板下的渠基土溫度變化趨勢一致，均隨深度的增加而升高。這一結論與He等[16]研究結論一致；而同一時刻同一深度的渠底渠基土溫度最大，陽坡次之，陰坡最小，導致這一現象的原因是太陽輻射渠底、陽坡時間長，而輻射陰坡時間最短[17-18]。這一結論與呂步錦[19]和李存云等[20]研究結論一致；渠基土的溫度梯度在距土體表面越遠處越小，這是因為距離土體表面越遠，渠基土溫度變化越平緩。這與徐峰等[21]和劉玉柱[22]研究結果一致。

由于渠道與渠基土間不發生動態變化，劉旭東等[23]、王英浩等[24]在對渠道進行數值模擬時都將渠道與渠基土視為一個整體，本研究在對渠道溫度場進行數值模擬時也將渠道與渠基土視為一個整體。但與實際情況相比，這一方法忽略了渠基土水分遷移對渠道凍脹效應的影響。因此，針對考慮渠道與渠基土之間相互影響的數值模擬計算，還有待進一步研究。

5 結論

1）渠道不同位置襯砌板下的渠基土溫度變化趨勢一致，均隨深度的增加而升高。而同一時刻同一深度的渠基土溫度大小為：渠底＞陽坡＞陰坡，因此陰坡的平均溫度低于陽坡，其產生凍脹時間更早、凍結深度更大。

2）不同深度土體溫度梯度變化規律基本相同，均隨深度的增大而減小。相同溫差情況下，距離土表越遠溫度梯度越小。隨著深度的增大，溫度梯度波動范圍逐漸減小。融解期土體從上到下依次融化，溫度梯度波動幅度也依次減小。

3）襯砌板以下20 cm范圍內的溫度梯度波動范圍較大，50～100 cm范圍內的溫度梯度相對來說較為平緩，渠基土的溫度梯度隨深度的增加趨近于零，與實測規律基本一致。

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Simulating Temperature Distribution in Soil around the U-shaped Channels in the Yellow River Irrigation Areas in Ningxia of China

WANG Fei1, TANG Shaorong1,2,3*, WANG Hongyu1,2,3

(1. College of Civil and Hydraulic Engineering, Ningxia University, Yinchuan 750021, China;2. Ningxia Research Center of Technology on Water-saving Irrigation and Water Resources Regulation, Yinchuan 750021, China; 3. Engineering Research Center for Efficient Utilization of Water Resources in Modern Agriculture on Arid Regions, Yinchuan 750021, China)

【】The Yellow River Irrigation Area built in Ningxia of China comprises a number of irrigation canals that could be damaged by heaves induced by frosts in winter, destabilizing canal slopes and resulting in water leakage. Developing anti-frost technologies to mitigate the heave damage is hence critical to safeguarding the operation of the canals. Soil freezing in the canals is a hydrothermal process involving phase change; it is impacted by topographic, geological and hydrological factors. Understanding temperature distribution in the peripheral soil of the canal can help mitigate heave formation induced by freezing-thawing cycles.【】The objective of this paper is to numerically simulate temperature distribution in the soil surrounding the U-shaped concrete canals under different conditions in attempts to provide guidance to help anti-heave design in constructing canals in semi-permafrost regions like Ningxia.【】The study was based on data measured from U-shaped concrete canals in Shahu Village, Shaogang Town, Qingtongxia City. We first used the AKIMA interpolation to calculate the temperature distribution in the soil around the canals, and then numerically simulated thermal flow and temperature distribution in the soils using the ANSYS software.【】Since the temperature in the shady slope is much lower than that in the sunny side, frost heave occurred early in the former and the frozen soil in it also developed much deeper. The temperature gradient underneath the lining a different locations around the canal was roughly the same, and in general, the temperature gradient was the highest in regions proximal to the soil surface and decreased with the soil depth. The average temperature gradient in the shady slope was higher than that on the sunny side, and the temperature gradient in the canal base tends to zero as the soil depth increased. The temperature varies more dramatically in the 20 cm of soil underneath the lining, and in soils 50~100 cm from the lining, the temperature gradient was almost zero. Comparison with observed data showed that the AKIMA interpolation combined with the ANSYS software can accurately simulated the temperature distribution.【】Results obtained from AKIMA and ANSYS were consistent with the measured data and they can be used to help anti-frost design in building U-shaped concrete canals in areas with freezing-thawing cycles in Ningxia and beyond.

U-shaped canal; temperature gradient; AKIMA interpolation; numerical simulation

TV16

A

10.13522/j.cnki.ggps.2020675

1672 – 3317（2021）08 - 0081 - 07

汪菲, 唐少容, 王紅雨. 基于AKIMA插值法的整體式U形渠道溫度場數值模擬[J]. 灌溉排水學報, 2021, 40(8): 81-87.

WANG Fei, TANG Shaorong, WANG Hongyu. Simulating Temperature Distribution in Soil Around the U-shaped Channels in the Yellow River Irrigation Areas in Ningxia of China[J]. Journal of Irrigation and Drainage, 2021, 40(8): 81-87.

2020-12-04

寧夏重點研發項目（引才專項）資助項目（2018BEB04035）；寧夏高等學校一流學科建設項目（NXYLXK2017A03）；寧夏自然科學基金項目（2021AAC03021）

汪菲（1997-），女。碩士研究生，主要從事凍土地區水工結構方面的研究。E-mail: 568154326@qq.com

唐少容（1982-），女。副教授，博士，主要從事凍土地區結構設計及理論方面的教學和研究工作。E-mail: tangsrong@126.com

責任編輯：陸紅飛