“兩證三求”學(xué)立幾 突出重點(diǎn)提效率

陳波

摘要：本文用"兩證三求"的提法概括立幾重點(diǎn)內(nèi)容及高考常考知識點(diǎn)，并對其思路方法進(jìn)行系統(tǒng)總結(jié)，揭示了常見規(guī)律，最后用實(shí)例說明。

關(guān)鍵詞：立體幾何重點(diǎn);兩證三求;常用基本思路方法

（本文系章節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)類稿件，如果高一版編輯采用可刪除文中向量法內(nèi)容，高二高三版可保留。）

立體幾何內(nèi)容繁多，要求空間想象能力強(qiáng)，邏輯思維縝密，形成一定學(xué)習(xí)難度，抓住重點(diǎn)問題并掌握通性通法是學(xué)好立幾之要領(lǐng)。

一.“兩證三求”概況的重點(diǎn)內(nèi)容及方法

（一）兩證

1.證平行 ?三級平行問題常常是利用平行的判定和性質(zhì)相互轉(zhuǎn)化：

線線平行 ←→ 線面平行 ←→ 面面平行

即根據(jù)判定定理由低級平行可證高級平行，根據(jù)性質(zhì)定理由高級平行可證低級平行。

證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行是基礎(chǔ)，在平面內(nèi)找出一條直線與已知直線平行是要領(lǐng)。主要是利用三角形中位線定理，平行四邊形性質(zhì)和線面平行的性質(zhì)。

2.證垂直 ?三級垂直問題常常是利用垂直的判定和性質(zhì)相互轉(zhuǎn)化：

線線垂直 ←→ 線面垂直 ←→ 面面垂直

即根據(jù)判定定理由低級垂直可證高級垂直，根據(jù)性質(zhì)定理由高級垂直可證低級垂直。

證明直線與平面內(nèi)兩相交直線垂直是基礎(chǔ)，在圖形中找出一條直線與平面內(nèi)直線垂直是要領(lǐng)。主要是利用相關(guān)角是直角，等腰三角形底邊中線性質(zhì)，勾股定理的逆定理和線面垂直的性質(zhì)。

（二）三求

1.求面積和體積 ?幾何體的側(cè)面、底面面積常根據(jù)側(cè)面展開圖和底面的形狀選擇公式求解，體積也是根據(jù)幾何體形狀選擇公式求解。對于不規(guī)則的表面和幾何體常考慮割補(bǔ)法，對于不方便求高或底面積的情況常考慮等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

2.求空間距離 ?主要是求點(diǎn)面距：一是過點(diǎn)作垂直于平面的直線，通過解三角形求垂線段長。二是用等體積法求高得點(diǎn)面距。

3.求空間角

（1）異面直線所成角

【定義法】一般步驟：①過一點(diǎn)平移異面直線中的一條或兩條;②交代所作角是異面直線所成角或補(bǔ)角;③解出該角所在三角形;④若所作角為鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角。

【向量法】一般步驟：①取兩異面直線的方向向量 、 ;

②計(jì)算 ;③根據(jù)公式 ?，求 （ ）

（2）斜線與平面所成的角

【定義法】一般步驟：①斜線上取一點(diǎn)，過該點(diǎn)引平面的垂線，連接垂足和斜足得射影;

②交代斜線與射影所成的銳角是所求角;

③解直角三角形求得角的大小。

【向量法】一般步驟：①求得斜線的一個(gè)方向向量 ;②根據(jù) ，求得平面的法向量 （ ， 為平面內(nèi)兩相交直線的一個(gè)方向向量）;③計(jì)算 ④根據(jù)公式 ?，求 （ ）

（3）二面角 的平面角

【定義法】①在棱 上取點(diǎn)M，過M在兩個(gè)面 內(nèi)作射線 ;②指出 是二面角的平面角;③解 得 的大小。

值得注意的是，有時(shí)不是直接過M作兩條射線垂直于棱，往往是先作一條 ，再作 于 ，連 ，后證明

【向量法】①根據(jù) 確定平面 的法向量 （ ， 為平面 內(nèi)不共線的兩向量），同理確定 的法向量 ;②計(jì)算 ③根據(jù)圖形及已知條件判斷 的范圍，若 為銳角，由 求 ，若 為鈍角，則由 求

二、典例示范

（2012年課標(biāo)全國理科卷改編題）