隧道下穿引起既有管道豎向位移的簡化計算方法

管凌霄，徐長節,2，可文海，馬錫海，徐立明，虞巍巍

(1.華東交通大學 江西省巖土工程基礎設施安全與控制重點實驗室；土木工程國家實驗教學示范中心，南昌 330013；2.浙江大學濱海和城市巖土工程研究中心，杭州 310058；3.浙江航海城際鐵路有限公司，浙江 嘉興 314000；4.中交一公局集團有限公司，北京 100037)

城市地鐵盾構隧道開挖導致的地層損失會引起周圍地層的變形[1]，由于城市地下存在大量的管道，緊鄰管道的盾構施工必然對其產生重大影響。因此，眾多學者對如何準確分析盾構隧道下穿施工對鄰近管道的影響展開了研究[2]。

圖1 Euler-Bernoulli梁與Timoshenko梁變形特征

1 基本方程的建立

1.1 土體自由場豎向位移

土體自由場豎向位移采用Loganathan等[13]基于線彈性理論提出的盾構隧道開挖引起周圍土體自由場豎向位移的計算方法進行計算，根據該方法，土體自由場豎向位移Uf(x,z)為

(1)

式中：x為距隧道軸線的水平距離；z為距地表的垂直距離；ε0為盾構隧道開挖引起的平均地層損失比；R為隧道半徑；H為隧道軸線與地表的垂直距離；v為土體泊松比。采用的簡化計算模型如圖2所示，圖中z0為管道軸線與地表的垂直距離，D為管道直徑。此時，管道軸線z=z0處因盾構隧道開挖引起的土體豎向位移可表示為Uf(x)=Uf(x,z0)。

圖2 簡化計算模型

1.2 管道控制方程的建立

圖3 管土相互作用模型

p(x)Ddx-q(x)Ddx-dQ=0

(2)

(3)

式中：Q、M為管道單元受到的剪力及彎矩；q(x)為土體位移產生的荷載；p(x)為地基反力。根據Pasternak地基模型可得q(x)、p(x)為

(4)

(5)

式中：w(x)為管道位移函數；k為地基彈性系數；gs為地基剪切系數。k與gs可由式(6)、式(7)計算[14-15]。

(6)

(7)

式中：Es土體彈性模量；EpIp為管道的抗彎剛度；t為土體剪切層厚度，根據文獻[16]，對于管線這種長寬比很大的地下結構，當地基深度大于結構寬度的6倍時，其地基土的附加應力已衰減至非常小，因此，取t=6D進行計算。

根據Timoshenko梁理論，當管道產生豎向變形時，其彎矩M、剪力Q與豎向位移w(x)的關系為

(8)

(9)

式中：κGA為管道等效剪切剛度；κ為管道等效截面系數，管道為環形截面，故取0.5；G為管道剪切模量，G=Ep/2(1+vp)，vp為管道泊松比；A為管道的橫截面面積。

將式(4)、式(5)、式(8)、式(9)代入式(2)、式(3)可得管道位移w(x)的控制方程為

(10)

2 管道控制方程的求解

式(10)為四階微分方程，公式復雜不便于直接求解。為方便進行推導，可先求出Pasternak地基上Timoshenko無限長梁在集中力作用下的解。先令q(x)=0，整理式(10)并求通解，可得

w(x)=eαx[C1cos(βx)+C2sin(βx)]+

e-αx[C3cos(βx)+C4sin(βx)]

(11)

假設管道為Pasternak地基上無限長的Timoshenko梁，在x=0的原點上受到一集中荷載P，此時x=0處的管道截面因為位于集中力正下方，受力后未發生旋轉仍垂直于中性軸，因此，管道的邊界條件可為

w(±∞)=0

(12a)

φx=0=0

(12b)

Qx=0=PD/2

(12c)

將邊界條件式(12)代入式(11)中，可推導得到無限長Timoshenko模型管道在集中荷載P作用下的位移方程為

(13)

由文獻[17]可知，為推導出管道受分布力作用下的位移控制方程式(10)，可根據集中荷載作用下的位移控制式(13)進行疊加。整理式(10)，可得

(14)

由此可知，盾構隧道開挖時，Timoshenko梁管道在軸線上的任意一點ξ受到的附加荷載為

(15)

將式(15)代入式(13)，可得到下列該點荷載引起的管道豎向位移dw(x)為

(16)

對式(16)在盾構隧道開挖引起土體豎向位移的范圍內積分，即可求得考慮管道剪切效應時的管道豎向位移

(17)

3 算例驗證

3.1 工程算例1

采用文獻[18]中盾構隧道下穿開挖對鄰近管道影響實例的管道豎向位移監測數據對該方法進行驗證。實例中地鐵盾構隧道垂直下穿一條混凝土電纜管道，管道的泊松比vp=0.17，厚度T=0.12 m，其余物理參數參考文獻[8]取值，如表1所示。

表1 管道計算參數

圖4為該方法計算結果與實測值以及文獻[8]計算結果的對比。文獻[8]采用Pasternak地基模型與Euler-Bernouli梁模型模擬管道位移，由圖4可見，采用Pasternak地基模型與Timoshenko梁模型的計算方法所得管道位移曲線與實測值更加吻合，同時，與文獻[6]考慮管道側向土體作用時的結果基本一致，證明了該計算管道豎向位移所用方法的準確性。

圖4 不同求解方式的管道位移

3.2 工程算例2

Vorster等[4]使用劍橋大學的離心機進行了盾構隧道開挖對鄰近管道影響的試驗研究。該離心機試驗中的加速度為75g，文獻[19]對1g加速度下的物理參數進行取值：隧道半徑R=2.25 m；軸線埋深H=11.25 m；地層損失率ε0=2%；管道抗彎剛度EpIp=3.363×106kN·m2；根據管道材質為鋁合金，且保證抗彎剛度取管道彈性模量Ep=57.5 GPa，泊松比vp=0.3，直徑D=1.19 m，軸線埋深z0=4.165 m；土體彈性模量Es=19.52 MPa，由于土的泊松比很難精確得到，因此，根據砂土的近似泊松比取v=0.25。

該計算方法的計算結果與離心機模型試驗結果對比如圖5所示。由圖5可以看出，該方法計算所得管道最大豎向位移值為22.40 mm，略小于試驗所得25.08 mm，總體結果較為一致，呈現的規律基本吻合，進一步驗證了該方法的準確性。

圖5 與離心機試驗對比圖

4 參數分析

為研究各物理參數變化對考慮剪切效應的管道豎向位移的影響，取如下算例進行分析：其中，盾構隧道的物理參數為：軸線埋深H=15 m、半徑R=3 m、地層損失率ε0=1%；管道物理參數為：直徑D=2 m、管片厚度t=0.12 m、彈性模量Ep=3×104MPa、軸線埋深z0=5 m、泊松比vp=0.2；土體物理參數為：彈性模量Es=6 MPa、泊松比v=0.3。在分析某一參數與管道豎向位移的關系時，其余參數不變。

4.1 管土彈性模量比變化對管道豎向位移的影響

圖6 不同管土彈性模量比對應的管道豎向位移

4.2 管道直徑變化對管道豎向位移的影響

圖7 不同管道直徑對應的管道豎向位移

4.3 管道剪切剛度變化對管道豎向位移的影響

為研究考慮剪切效應時管道豎向位移與管道剪切剛度之間的關系，取4組管道剪切剛度進行分析，分別為10、1、0.1、0.01 κGA。

圖8為不同管道剪切剛度的情況下，考慮剪切效應時盾構隧道下穿施工引起的管道豎向位移曲線。從圖8可看出，在管道剪切剛度從10 κGA減小到0.01 κGA時，管道豎向位移的最大值隨之增大，由此可說明管道剪切剛度的變化對管道豎向位移存在影響。同時，隨著剪切剛度的減小，管道豎向位移最大值增大的幅度迅速增加，因此，在一定的剪切剛度范圍內，不應忽略管道的剪切變形，尤其對于剪切剛度較小以及可能存在縱向裂縫等病害的管道，采用Timoshenko梁模型模擬管道會更加合理。

圖8 不同管道剪切剛度對應的管道豎向位移

5 結論

采用兩階段分析法推導了考慮管道剪切效應時盾構隧道開挖引起鄰近管道豎向位移的解析解。在第2階段采用考慮剪切效應的Timoshenko梁模型模擬管道并結合疊加法提出了簡化算法，經過深入分析，得到以下主要結論：

1)采用考慮剪切效應的Timoshenko梁模型研究盾構隧道下穿開挖對鄰近管道豎向位移分析時，其計算結果較Euler-Bernouli梁模型更為準確，結合疊加法進行求解的計算結果準確且便于推導。

3)其余參數一定時，管道剪切剛度的減小可導致管道最大豎向位移值增大，對于剪切剛度較小以及可能存在縱向裂縫等病害的管道，采用Timoshenko梁模型模擬管道更加合理