層狀地基中考慮樁端應力泡形擴散的單樁沉降計算方法

王立興，吳文兵,，楊曉燕，張云鵬，王奎華

(1.中國地質大學 工程學院，武漢 430074；2.浙江大學 濱海和城市巖土工程研究中心，杭州 310058)

樁基沉降計算是樁基工程設計中非常重要的部分。學者們對樁基沉降進行了廣泛而深入的研究，得到了很多有價值的單樁沉降計算方法，如荷載傳遞法[1-7]、剪切位移法[8-10]、彈性理論法[11-13]、規范法[14]和數值計算法[15-17]等，其中，荷載傳遞法因可通過不同的樁土相互作用模型來反映樁土共同作用、地基層狀特性而被學者廣泛運用。總的來說，基于荷載傳遞法的樁-土相互作用模型主要有理想彈塑性模型[1,4-6]、雙折線硬化模型[3,18]、三折線模型[19]及雙曲線模型[7]，通過選取不同的樁-土相互作用模型，可以較準確地得到不同土性中單樁的沉降，具有較好的工程適用性。

上述研究采用荷載傳遞法計算樁基沉降時，均將樁端土對樁的支撐作用簡化為彈簧模型，彈簧參數可結合樁端土硬化特性、非線性特性等根據實測的樁端反力-位移曲線反演確定。然而，這種彈簧支撐模型存在一些不足：無法考慮樁端土體的層狀特性；無法建立樁端土層物理力學性質與彈簧參數之間的相互關系；且無法反映持力層內及以下土體性質的變化對單樁沉降的影響[20]。為此，Wu等[20-21]提出了虛土樁模型，并用于樁基縱向和扭轉動力特性分析。隨后，王奎華等[22]率先將虛土樁模型應用于層狀地基中的單樁沉降計算分析，并提出采用錐型虛土樁模型來考慮樁端應力擴散效應對單樁沉降的影響[23]，辛冬冬等[24]將虛土樁模型推廣到層狀地基中的群樁沉降分析。盡管虛土樁模型能很好地考慮樁端層狀特性對基樁靜動力學特性的影響，且能在一定程度上考慮樁端應力擴散效應，但虛土樁的合理長度及應力擴散影響范圍到底多大仍不得而知。

為了更好地分析樁端土性質對單樁沉降的影響，筆者基于Boussinesq解提出了一種應力泡形虛土樁模型來考慮樁端應力擴散效應，并基于荷載傳遞法對樁側土采用雙折線模型、對樁端土采用應力泡形虛土樁模型，考慮樁端土中實際附加應力的分布情況，推導得到了成層地基中的單樁樁頂沉降計算公式。

1 數學模型及假設條件

1.1 應力泡形虛土樁模型的建立

根據Boussinesq解可知，樁端土體中附加應力大致的分布規律為：在徑向上隨著徑向半徑的增加逐漸減小，在豎向上隨著深度的增加也逐漸減小，在整體空間中呈橢球型泡狀分布，即應力泡。假設樁端對土體的作用力為均布荷載形式，根據Boussinesq解可以求出樁端土中應力分布形式的解析式，然后建立應力泡形虛土樁模型。建立如圖1所示的軸對稱坐標系，基于Boussinesq解，通過積分可以求得圓形均布荷載作用下地基土體中任意一點的豎向應力分布[25]。

圖1 樁端附加應力計算模型Fig.1 Calculation model of additional stress at pile

(1)

將式(1)求解得到的相同數值的豎向應力等值線繞z軸旋轉一周就形成一系列以z軸為中心的三維應力等值面，將等值面以內的土體看作是受荷主體，即為應力泡形虛土樁的主體部分，如圖2所示。

圖2 應力泡形虛土樁模型Fig.2 Stress-bubble fictitious soil pile

1.2 樁土相互作用模型的建立

樁周土采用雙折線模型，如圖3所示，荷載傳遞函數為

圖3 樁周土本構模型Fig.3 Constitutive model of soil around

(2)

式中：u為樁周土的位移；ub為樁周土的彈性極限位移；fs為單位長度樁周側摩阻力；λ為理想彈塑性模型的彈性抗剪切剛度系數，kN/m2。

樁端土采用應力泡形虛土樁模型，把樁端至基巖之間的應力泡形土體看成“土樁”，即所謂虛土樁，其參數分別取各實際土層參數，而變形按類似于樁的平面假定。根據樁端土層成層性情況及樁端土體性質和受力環境是否變化而把實體樁和虛土樁一共分為n(n>m)段，其中實體樁分成m段，虛土樁分成N(即N=n-m)段，從實體樁頂部向下依次編號為1、2、…、i、…、m、m+1、…、n，各樁段厚度分別為l1、l2、…、li、…、ln，實體樁總長為L1，虛土樁總長為L2，各段樁的埋深分別為z1、z2、…、zi、…、zn。計算時，可以將虛土樁各樁段再細分為很薄的圓柱體進行近似計算，計算精度由單元數N控制，計算中可以直接將樁土體系按照m+N段進行計算。具體的樁體分段與樁土相互作用體系簡圖如圖2所示。由式(1)可求得虛土樁各深度樁段對應的半徑Ri，即各段實體樁和虛土樁的半徑分別為

(3)

1.3 樁土體系相關假設

1)樁土體系呈線彈性狀態，實體樁樁身截面均勻，虛土樁以應力泡的形式存在。

2)樁體與土體之間沒有相對滑移，實體樁與虛土樁的各樁段交界面之間為完全連續接觸，滿足連續性條件。

3)樁單元中任意點的位移只與該點的樁周側摩阻力有關，虛土樁端部為剛性支撐。

4)地基中同一土層的物理力學性質沿深度方向不變。

5)虛土樁的力學行為與樁體相符合，參數為土體參數。

2 樁頂沉降計算方程建立及求解

根據荷載在樁身的傳遞機理，樁體的截面軸力及位移隨深度的增加，逐漸減小，且隨著樁頂荷載的增加，截面軸力及位移逐漸向樁底發展。因此，隨著荷載的增加，樁周土由淺入深逐漸進入塑性階段。根據樁土體系所處狀態的不同，分3個階段分別給出樁頂荷載和沉降的計算公式。需要說明的是，由于樁基受力后通常僅對樁周徑向一定范圍內的土體產生影響，這里所指的樁周土體即樁基應力影響范圍內的土體。

首先推導荷載傳遞函數基本微分方程，根據樁上任意一個單元體的靜力平衡條件，可以得到

(4)

(5)

式中：E為該樁段彈性模量；A為該樁段截面面積；P為該樁段頂部荷載。

對式(5)兩端求導，并將式(4)代入，可得荷載傳遞法的基本微分方程

(6)

2.1 樁周土全部處于彈性階段

當樁頂荷載較小時，樁周土全部處于彈性階段，根據式(4)～式(6)，此時第i個樁段截面位移u(x)應滿足方程

(7)

式中：Pi為第i段樁體頂部荷載；Si為第i段樁體頂部位移；zi為第i段樁體截面到樁頂的距離；Ei為第i段樁體彈性模量；Ai為第i段樁體橫截面積；λi為第i段樁體彈性抗剪切剛度系數。

各虛土樁段面積Ai值計算采用式(8)。

(8)

為使解析表達式簡潔，定義式(9)。

(9)

求解式(7)可得第i樁段截面位移為

(10)

聯立式(7)與式(10)可求得第i段樁的樁頂荷載及位移為

(11)

由式(11)可得第i段樁的樁頂剛度Ki(剛度是指材料或結構在受力時抵抗彈性變形的能力)。

(12)

由假設條件(3)可以得知，虛土樁樁端位移為0，即

u|x=L1+L2=Sn+1=0

(13)

由式(10)和式(11)給出的第i段樁的樁頂荷載及位移并結合邊界條件式(13)就可以求得第n段樁的樁頂剛度為

(14)

根據式(12)和式(14)可以遞推得到樁體頂部剛度K1，進而根據樁頂荷載P1，就可以求得樁頂沉降值S1。

(15)

式(12)和(14)中所需要的計算參數均可以由實測的土層參數直接或間接計算得到。因此，根據式(11)～式(15)就可以求得樁頂沉降值。

2.2 樁周土部分處于塑性階段

樁周土部分處于塑性階段時，樁土的相互作用體系簡圖如圖4所示，塑性樁段的長度為La，由于塑性樁段的長度La與樁頂荷載和樁周土的性質有關，在實際工程應用中應當根據現場試驗確定樁周土處于塑性階段的深度La。

圖4 樁周土部分進入塑性階段模型Fig.4 Model of part of the soil around the pile

對于樁側土體處于塑性階段的連續樁段，第i個樁段截面位移u(x)應該滿足方程

(16)

式中：ubi表示第i樁段樁周土的極限位移。

求解式(16)可得第i段樁的截面位移方程為

(17)

求得第i段塑性樁的樁頂荷載及位移為

(18)

根據假設，當樁周土部分處于塑性階段時，可以依據樁周土所處的狀態把樁分為兩個部分，即塑性段和彈性段，先按照式(11)～式(15)計算彈性樁段的剛度，再按照式(18)計算塑性樁段的剛度，就可以得到單樁樁頂沉降值。

2.3 樁周土全部處于塑性階段

樁周土全部處于塑性階段時，如圖4所示，即La=L1+L2。可求得第n段樁的樁頂荷載及位移為

(19)

當樁周土全部處于塑性階段時，結合式(18)和式(19)遞推就可以得到單樁樁頂沉降值。

3 計算參數的選取及影響

3.1 彈性極限位移ub

對于彈性極限位移，很多學者都有研究，目前有經驗法[26-27]、經驗公式法[28]及應變計測試方法[29]。為了在實際工程應用中方便取值，建議采用應變計測試方法進行計算。

(20)

式中：s0為樁頂沉降量；ubi為第i段樁土體系的極限位移；li為第i段樁的長度；εi為靜載試驗中在樁頂作用承載力設計值時第i個測試面的應變。

通過靜載試驗，將加載到極限承載力時測試得到的樁頂沉降量和應變值代入式(20)，就可以求得樁土彈性極限位移。

3.2 彈性抗剪切剛度系數λ

與彈性極限位移類似，為了在實際工程應用中方便取值，建議彈性抗剪切剛度系數采用應變計測試方法進行計算。

(21)

式中：τui為第i段樁的極限側摩阻力；τi與ui為靜載試驗某一級荷載作用下計算得到的第i段樁的側摩阻力與相對位移。

在雙折線模型中，λ為斜線段斜率，知道任一點的側摩阻力和相對位移就可以計算得到抗剪切剛度系數。

3.3 附加應力值σz

由式(1)可以看出，附加應力值σz是利用應力泡形虛土樁模型分析單樁沉降的一個重要參數，選取不同的附加應力值σz意味著選用了范圍大小不同的應力泡形虛土樁模型，如圖5所示。樁端土體的沉降對樁頂沉降有較大的貢獻，因此，選取范圍不同的應力泡形虛土樁模型對樁頂沉降影響很大。

圖5 泡形不同的虛土樁模型Fig.5 Virtual soil pile models with different bubble

3.3.1 算例1：樁端土為軟弱土 為了考慮樁端應力泡范圍不同的影響，取上硬下軟雙層土作為算例1，實體樁深度范圍內為硬黏土，虛土樁范圍內為軟弱土，土層參數來源于文獻[30]，如表1所示。

表1 算例1各參數取值[30]Table 1 Values of parameters in study 1

樁身彈性模量Ep=3×104MPa，樁身半徑r0=0.5 m，樁頂荷載P取2 000、3 000、4 000 kN，附加應力值σz取0.1P～0.000 01P，虛土樁部分按照0.5 m分層計算，得到樁頂的沉降值如圖6所示。

圖6 上硬下軟土層中應力泡范圍對樁頂沉降的影響Fig.6 Influence of stress bubble range on pile top settlement in upper and lower soft soil

如圖6所示，在樁側土為硬土，樁端土為軟土的雙層地基中，附加應力范圍對樁頂沉降的影響不明顯，沉降變化不大。整體上，隨著附加應力范圍的增大(即應力泡形虛土樁范圍增大)，樁頂沉降隨之減小，但減小幅度不大。

3.3.2 算例2：樁端土為硬黏土或砂性土 取上軟下硬雙層土作為算例2，實體樁深度范圍內為軟弱土，虛土樁范圍內為硬黏土或砂性土，各參數取值如表2所示。

表2 算例2各參數取值[30]Table 2 Values of parameters in study 2

樁身彈性模量Ep=3×104MPa，樁身半徑r0=0.5 m，樁頂荷載P取2 000、3 000、4 000 kN，附加應力值σz取0.1P～0.000 01P時，虛土樁部分按照0.5 m分層計算，得到樁頂的沉降值如圖7所示。

圖7 上軟下硬土層中應力泡范圍對樁頂沉降的影響Fig.7 Influence of stress bubble range on pile top settlement in upper and lower hard soil

綜合上述分析發現，當樁周土性好時，樁以側阻為主，應力泡形虛土樁范圍的大小對樁頂沉降量影響不大；而當樁周土性差時，樁以端承為主，應力泡形虛土樁范圍的大小對樁頂沉降量影響明顯；且當應力泡的影響深度大于樁端土層厚度時，會有沉降值的突變。實際工程中，應針對不同類型的樁周土及樁端土的性質與樁端土的厚度，選擇合適的應力泡范圍，當樁端土厚度并非過大時，可以選擇應力泡的影響深度等于樁端土厚度時的應力泡作為虛土樁模型的邊界進行計算。

4 工程實例分析

王奎華等[23]提出了考慮應力擴散角的樁頂沉降計算模型，并通過計算兩根試樁的沉降與實測值對比驗證了其實用性。為驗證該方法的合理性及實用性，對文獻[23]中的T3、T4樁進行擬合，并將擬合結果與原文實測值及其計算值做對比分析，與文獻[23]保持一致，采用樁周土處于彈性階段公式計算。樁周土及樁端土的物理力學性質參數來源于文獻[23]，如表3所示。

表3 實例地質資料與模型參數[23]Table 3 Geological information of example and parameters of model[23]

T3試樁：樁直徑為800 mm，樁長61.8 m；T4試樁：樁直徑為1 000 mm，樁長73.8m，樁身彈性模量Ep=3.3×107kPa。采用本文解計算各樁頂沉降量并與文獻[23]計算結果及實測值對比，見圖8及圖9。利用該方法計算時，T3樁與T4樁的虛土樁部分取至第15層粉土底部，根據式(1)計算虛土樁影響深度剛好為第15層粉土底部時的T3試樁附加應力值為0.000 36P，T4試樁附加應力值為0.001 2P，并分別選取此時的應力泡范圍作為虛土樁邊界進行計算。

圖8 T3樁樁頂沉降計算結果對比Fig.8 Comparison of calculation results of pile top settlement of T3

圖9 T4樁樁頂沉降計算結果對比Fig.9 Comparison of calculation results of pile top settlement of T4

與兩根試樁的實測值與文獻[23]的擴散角法計算值對比可以發現，該方法考慮應力泡形擴散的計算結果與文獻[23]考慮應力擴散角的計算結果較為接近，與實測結果具有較好的一致性。與文獻[23]的錐形虛土樁模型相比，該模型的最大優勢在于能夠較嚴格地給出樁端應力擴散邊界，因而具有更廣泛的工程應用價值。

5 結論

1)基于虛土樁模型并結合Boussinesq解，提出了考慮樁端應力擴散效應的應力泡形虛土樁模型，并建立了基于該模型單樁沉降計算的解析解。該解能夠計算樁側土體處于彈性及塑性階段時的樁頂荷載-沉降曲線，參數明確，應用簡便，可以用于工程現場單樁沉降量的計算分析，為樁基礎設計提供較為準確的沉降值。

2)當樁周土性較好時，樁側摩阻力發揮主要作用，樁周土承擔主要荷載，應力泡范圍的大小對樁頂沉降量影響不明顯，可取較小范圍的應力泡形虛土樁；當樁周土性較差時，樁端阻力發揮主要作用，樁端土承擔主要荷載，應力泡范圍的大小對樁頂沉降量影響明顯，應針對不同類型的樁周土及樁端土的性質與樁端土的厚度，選擇合適的應力泡范圍。

3)通過分析不同附加應力取值對單樁樁頂沉降量的影響發現，當應力泡的影響深度大于樁端土厚度時，會發生沉降量的突變。因此，在工程應用中，可以選取應力泡的影響深度恰好是樁端土厚度時的應力泡形虛土樁模型進行計算。

4)該方法與錐形虛土樁模型對兩根試樁的沉降計算結果與實測結果對比表明，該方法的計算結果與實測結果有較好的一致性。同時，該模型的最大優勢在于能夠較嚴格地給出樁端應力擴散邊界，因而具有更廣泛的工程應用價值。