基于平面波分解的封閉空間次級聲源布局優化

胥健, 陳克安, 王磊, 張亞洲

1.西北工業大學 航海學院, 陜西 西安 710072; 2.西安艾科特聲學科技有限公司, 陜西 西安 710068

有源噪聲控制(active noise control,ANC)是基于聲波相消性干涉原理的低頻降噪技術。影響ANC系統降噪性能的因素很多，除控制算法之外，次級聲源布局(個數和空間位置)是另一決定性因素[1]。目前在實際工作中，次級聲源布局問題基本上通過大量的現場調試解決，相關工作效率極低，導致研制周期變長，嚴重阻礙了ANC技術的推廣應用。

選擇次級聲源布局的難點在于存在大量備選位置。解決該問題的一般方法是將其看作組合優化問題，即從所有可能的布局中選擇性能最優(降噪量大、魯棒性好)的方案，人們通常采用遺傳算法、模擬退火(simulated annealing，SA)算法等所謂自然算法[2]進行搜索。由于次級聲源和誤差傳感器之間的聲傳遞阻抗(acoustic transfer impedance，ATI)矩陣包含了布局信息，可以通過構造ATI矩陣來進行布局優化。例如Asano等[3]以ATI向量線性獨立為目標，利用Gram-Schmidt正交化(GSO)方法逐個選擇次級聲源。Khalilian等[4]通過奇異值分解先設計“理想ATI矩陣”，再逐個選擇次級聲源使得ATI矩陣逼近該理想矩陣。聲場再現研究中還引入了稀疏正則化方法，通過求解稀疏線性回歸問題選擇揚聲器位置[5-6]。此外，研究者們還提出了許多其他方法，如子集選擇方法[7]、約束匹配追蹤[4,8]等。

目前的次級聲源布局優化方法往往只關注離散點的降噪需求，空間區域降噪效果可能不理想；此外需要預先確定誤差傳感器的位置，這導致次級聲源與誤差傳感器的布局在某種意義上相互耦合，難以獲得最優布局結果。耦合問題可以采用聯合優化方法解決[9-10]。Martin和Roure[11]提供了另一種思路，針對自由空間聲輻射控制問題，首先利用球諧函數展開將初級聲場解析表達，通過球諧函數和多極子源之間的對應關系確定次級聲源布局，然后應用遺傳算法優化誤差傳感器布局，這樣將二者的優化分離開來。類似地，文獻[12]中對于二維自由空間利用聲場的波域(柱諧域)[13-14]信息優化次級聲源布局，解除了對誤差傳感器位置的依賴，同時以區域聲勢能作為控制目標。雖然所選布局在誤差點降噪效果不如空間域搜索方法，但在空間聲勢能降噪量和系統魯棒性方面表現更優。

本文將文獻[12]的工作拓展到三維封閉空間，利用聲場的平面波分解構造波域ANC代價函數，進行次級聲源布局優化。以剛性壁矩形封閉空間為對象，仿真對比2種傳統的空間域方法，并討論所提方法在實際中的布局優化效果和相關問題。

1 空間域次級聲源布局問題

對于封閉空間單頻聲場的ANC，陳述空間域中的次級聲源布局問題，定義評價布局性能的4個指標。

pr=pp+Zq

(1)

式中：pp和pr分別為M×1的初級和殘余聲壓向量；Z是M×L的ATI矩陣；q為L×1的次級聲源強度向量。

空間域ANC的代價函數為誤差傳感器處殘余聲壓平方和,即

(2)

式中：(·)H表示共軛轉置；‖·‖2是L2范數。假設(2)式方程組超定(M>L),則最優次級聲源強度為q=-(ZHZ)-1ZHpp,由此獲得該布局下的降噪量為[2]

(3)

Δ僅說明M個誤差傳感器位置的降噪量,下面定義另外3個常用的布局性能指標:

1) ATI矩陣的條件數κ(Z)

定義κ(Z)=‖Z‖2‖Z-1‖2,若κ(Z)很大,則ATI矩陣呈病態,ANC系統對外界攝動敏感。

2) 控制功率P

定義P=qHq,是次級聲源輸出功率的量度。若P過大,會導致控制區域外聲級增大,還會引起揚聲器的非線性響應。

3) 空間聲勢能的降噪量ΔE

表示整個封閉空間的降噪量,只與次級聲源的布局和強度有關。雖然實際中無法直接測量,但對于簡單形狀的封閉空間可以利用模態疊加方法進行解析計算[1]。

通過以上敘述可知,在空間域,對于某個次級聲源布局,一旦誤差傳感器布局預先給定,即可估計其降噪性能。將誤差傳感器處的初級聲壓pp和相應的所有備選次級聲源的ATI矩陣Zc統稱為布局優化的“空間域先驗信息”。傳統的空間域布局優化方法即利用pp和Zc數據,通過具體的優化算法(如SA、GSO等)選擇次級聲源布局,如圖1所示。

圖1 次級聲源布局優化流程

2 波域次級聲源布局優化

利用隨機分布的傳聲器測量聲場,經平面波分解獲得初級聲場和各備選次級聲源的波域信息,構造波域代價函數,進行次級聲源布局優化。

2.1 基于平面波分解的波域先驗信息獲取

根據平面波分解,封閉空間聲場s(r)可以近似展開為一系列平面波的疊加,這樣s(r)可由對應的平面波幅值(plane wave amplitude,PWA)近似表征[15]。這些PWA不包含空間位置信息。實際中,常用隨機分布的傳聲器測量獲取聲場的PWA。需要說明,ANC關心的局部區域一般遠離壁面,因此分解中的倏逝波成分可以忽略[16]。

2.1.1 初級平面波

首先利用Q個傳聲器采樣初級聲場,假設平面波基的離散平面波個數為R,由下式計算初級PWA

wp=H?sp

(4)

式中：wp為R×1的初級PWA向量；sp為Q×1的采樣聲壓向量；H是Q×R的平面波分解矩陣,其元素表達式見文獻[15]；(·)?表示偽逆。

2.1.2 單位次級平面波

給定L個次級聲源,以第l個強度為ql的次級聲源單獨發聲為例,同樣用Q個傳聲器做采樣,相應的次級PWA為ws,l=H?ss,l=H?zlql,其中zl是該次級聲源到Q個傳聲器之間的ATI向量。因此L個次級聲源產生的次級聲場的次級PWA為

ws=H?Zq=Γq

(5)

式中：R×L的矩陣Γ稱為單位次級PWA矩陣,其第l列為γl=H?zl,解釋為第l個次級聲源發聲強度為1 m3/s時的次級PWA。(5)式給出了次級PWA和次級聲源強度之間的關系。

2.2 波域代價函數

以殘余PWA的平方和為代價函數,即

(6)

(6)式只涉及次級聲源布局信息,與誤差傳感器位置無關。由于一般有R>L,因此最優次級聲源強度為qWD=-(ΓHΓ)-1ΓHwp,進而可以類似(3)式計算該布局下PWA的衰減量。對比(2)式以最小化誤差傳感器處殘余聲壓為目標,(6)式利用的殘余PWA更能反映控制區域的全空間信息,是面向空間降噪的控制目標。

2.3 次級聲源布局優化

2.1小節獲得了布局優化的波域先驗信息,初級PWA向量wp和單位次級PWA矩陣Γ,均不涉及誤差傳感器位置信息。之后便可應用具體的布局優化算法選擇次級聲源布局(見圖1),本文采用簡單的SA搜索,方法標記為WD-SA。

需要強調,雖然波域方法利用(6)式的代價函數,選出使得殘余PWA平方和最小的次級聲源布局,但由于實際中采用空間域控制,因此評價所選布局的降噪性能仍需給定誤差傳感器位置,再計算第1節介紹的4個指標。

3 仿真結果與討論

仿真采用的模型為剛性壁矩形封閉空間,如圖2所示(同文獻[2]),尺寸為6 m×2.2 m×2.2 m。以空間幾何中心為原點,初級聲源位于(-3,0,0.6)。33個備選次級聲源和32個誤差傳感器的位置設置參考文獻[2]。

圖2 剛性壁矩形封閉空間

3.1 PWA解析值的理論結果

首先考查當獲知波域先驗信息真實值時,WD-SA的優化結果。在剛性壁矩形封閉空間中,對于單極子產生的聲場,容易推導其PWA解析值。

假設單頻f下,位于r′處強度為q的單極子發聲產生空間聲場,由模態理論,任一點r處的聲壓可近似為[17]

(7)

由于矩形腔中各模態可以看作8個平面波的疊加[16],因此(7)式進一步寫為

(8)

式中：(°)為Hadamard積；kn是第n階特征波矢[n1π/lx,n2π/ly,n3π/lz]T;uι是如下符號矩陣U的第ι列

由(8)式可得第n階聲模態對應的8個PWA解析值

(9)

及其傳播方向(φ,θ)

(10)

式中：φ為方位角；θ為天頂角。

利用(9)和(10)式,可計算單極子激勵下矩形封閉空間聲場的PWA解析值及其方向,從而獲取波域先驗信息wp和Γ,進行次級聲源布局優化。本文算例中截取前500階聲模態,得到4 000個平面波。需要強調,各階聲模態對應的平面波的波數不相同,即使傳播方向一致,也無法合并。

同文獻[2],考查88和176 Hz這兩階槳葉通過頻率,比較WD-SA和傳統的2種空間域方法,分別標記為SD-SA和SD-GSO。SA算法的參數設置參考文獻[2],初始溫度為0.9,冷卻系數為0.98,搜索重復運行20次取平均結果。GSO算法的具體流程見文獻[3]。

圖3和圖4分別給出了2個頻率下3種布局優化方法(SD-SA、SD-GSO、WD-SA)所選布局(針對不同激勵次級聲源個數L)的性能指標。可見,SD-SA在誤差傳感器處的降噪量Δ最大,因為其優化目標即使得Δ最大。SD-GSO所選布局的各指標表現較劣。三者的ATI矩陣條件數κ(Z)相差不大。WD-SA雖然Δ不如SD-SA,但能獲得明顯更好的空間聲勢能降噪量ΔE,同時所需的控制功率P更小。

圖3 88 Hz下3種布局優化方法所選布局的性能指標 圖4 176 Hz下3種布局優化方法所選布局的性能指標

3.2 PWA測量估計值的結果

3.1小節探究了波域先驗信息解析值下的布局優化效果,但實際中只能通過傳聲器現場測量來估計wp和Γ(如2.1小節介紹)。本文采用Q=100隨機分布的傳聲器(稱為一個傳聲器組)采樣封閉空間聲場,并附加信噪比30 dB的零均值高斯噪聲作為環境攝動。另外,平面波方向的解析值也難以獲知,需通過求解Thomson問題,在球面上均勻選取R個離散傳播方向[15],組成平面波基。由于傳聲器隨機布放,不同隨機位置可能會產生影響,因此考查50組傳聲器組。激勵次級聲源個數L設置為8,SA算法重復運行20次取平均結果。

圖5給出了88 Hz下利用PWA測量估計值計算的WD-SA所選布局的降噪量指標,實線表示的相同信噪比下SD-SA的20次搜索平均結果作為參考。可以看到,WD-SA能達到更優的ΔE,但不同隨機位置的傳聲器組的結果相差很大。差異與傳聲器組對PWA的估計誤差有關。離散平面波個數R對結果的影響沒有明顯規律,可選取較小的R以減少計算量。

圖5 88 Hz下利用PWA測量估計值的WD-SA所選布局的降噪量指標(L=8)

由于真實的平面波方向難以獲知,因此無法直接計算PWA的估計誤差。為此,這里利用PWA進一步做聲場重構,計算重構聲場的相對平均誤差(RME)來間接考查PWA的估計精度,定義如下[18]

(11)

圖6給出了初級PWA和單位次級PWA對應的重構RME。同樣看到R影響較小。為便于觀察,設置圖6a)縱軸為對數尺度,發現不同傳聲器組的初級聲場重構RME不同,但大多數在0.1以下,差異不大。對于各備選次級聲源的單位次級聲場,同一傳聲器組得到的重構RME差異很大,雖然大多數在0.3以下,但一些組個別次級聲源甚至超過0.5。這是因為不同位置備選次級聲源產生的單位次級聲場不同,同一傳聲器組在不同待測聲場下的重構能力不盡相同。對于不同傳聲器組,單位次級聲場重構RME分布也很不相同。因此,需要針對具體的待測聲場,選擇較優的傳聲器組做采樣。

圖6 88 Hz下100個隨機分布傳聲器重構聲場的相對平均誤差

聯合圖5和圖6,對比R=100下的第13組和第50組傳聲器組,前者的降噪效果遠優于后者,但觀察圖6,前者的重構RME劣于后者,其中初級PWA的重構RME分別為0.084和0.057;對于單位次級PWA的重構RME,第13組存在7個在0.21以上,而第50組全部小于0.21。這說明重構RME并不完全對應波域先驗信息估計值的布局優化性能。可能的原因是重構RME不能等價于PWA估計誤差;或者是不同次級聲源的聲場貢獻作用不同,因而其重構RME對布局優化的影響也不同,對于作用小的次級聲源,即使其單位次級PWA的重構RME很大,也不會產生影響;也與波域代價函數的布局優化目標和空間域控制的不匹配有關。

4 結 論

本文利用封閉空間聲場的平面波分解構造波域ANC代價函數,優化次級聲源布局。主要結論如下:

1) WD-SA利用波域先驗信息(初級聲場PWA和各備選次級聲源的單位次級聲場PWA)優化次級聲源布局,不涉及具體的誤差傳感器位置信息。以殘余聲場PWA平方和作為代價函數,是一種面向全局控制的目標函數,所選布局相比空間域方法能獲得更好的空間聲勢能降噪效果。

2) 實際應用WD-SA需要預先利用傳聲器采樣封閉空間聲場,估計其PWA,通過PWA估計值所選的布局可以達到比空間域方法更好的空間聲勢能降噪量。PWA估計精度影響WD-SA的布局優化效果,其與客觀存在的待測聲場和傳聲器位置有關。

3) 下一步研究需關注如何提高PWA估計精度,深入探究PWA估計誤差對布局優化結果的影響,并進行實驗驗證。