五相永磁同步電機三次諧波電流控制比較研究

李添幸, 馬瑞卿, 白浩, 樊平, 張煜辰

(西北工業大學 自動化學院, 陜西 西安 710129)

在過去的十幾年里，從全電飛機(或多電飛機)概念被提出，到目前已經融入飛機設計的核心理念中，以電機和驅動控制器為核心的電驅動系統在飛機上得到了廣泛應用。隨著大型飛機電驅動需求的增加，以及機載設備功率等級的大幅度提升，對機載電機提出了高功率密度、高可靠性、高安全性等要求[1-2]。多相電機由多相繞組構成，具有可靠性高、功率密度高、容錯能力強等優點[3-5]。

目前用于多相電壓源逆變器(voltage source inventer,VSI)的SVPWM技術的主要分為3類：d-qSVPWM、雙d-qSVPWM以及多維度SVPWM[6]。根據參與合成參考矢量的基礎矢量個數，d-qSVPWM可以分為兩矢量合成和n-1相矢量合成(n為多相VSI的相數)。由于多相VSI中電壓矢量在多個旋轉坐標系均有映射，導致高次諧波的產生。為了解決這一問題，Kelly等提出了n-1相矢量合成，并用于9相VSI[7]。Iabal等將其用于5相VSI，基波參考矢量由相鄰2個大矢量+2個中矢量和2個零矢量來合成。通過控制同相位大矢量與中矢量的作用時間比為1.618，使VSI輸出的電壓波形中不再含有三次諧波[8]。在相同調制比下，采用2個大矢量合成，相電壓的均方根值更高[9]，然而，其VSI輸出電壓的波形失真度遠高于采用n-1相矢量合成。

通過控制大矢量與中矢量的作用時間比雖然可以實現三次諧波電流抑制，但是無法實現三次諧波電流的控制。當氣隙磁鏈密度函數中三次諧波與基波分量之間的比值γ為1/6時，在相同氣隙下，基波含量的幅值最大[10]。由于三次磁動勢的存在，可以通過注入三次諧波電流來提高電磁轉矩。為了實現三次諧波電流的閉環控制，同相位大矢量與中矢量的作用時間之比不再是定值，而是根據基波與三次諧波參考矢量推算出每個基礎矢量的作用時間[11-12]。文獻[13-14]提出了一種相鄰4個大矢量和2個零矢量的合成方式用于5相VSI。在任何調制系數下，4個大矢量的磁鏈諧波失真[13]和電流總諧波失真[14]都高于2個大矢量+2個中矢量，而且相比于2個大矢量+2個中矢量，4個大矢量實現難度更高。Chen等針對2個大矢量+2個中矢量中開關順序展開了研究，將每個扇區分為3個區域，在不同區域對應不同開關順序，降低了相電流的總諧波失真[15]。然而，采用這種方式會增大共模電壓，共模電壓在電機長期運行的過程中會引起一些不好的問題，比如：軸承故障、設備老化以及電磁干擾等[16-18]。降低共模電壓的核心就是減少零矢量的作用時間。文獻[19]在2個大矢量+2個中矢量的基礎上引入了一對作用效果完全相反的電壓矢量來取締零矢量，將電壓脈動從±0.5udc降到了±0.1udc，效果顯著，但是增加了逆變器的導通損耗和電機的銅損，降低了母線電壓利用率。當同相位大矢量與中矢量作用時間比不固定時，根據d-pSVPWM在獲得每個矢量作用時間的過程中，需要對一個四元一次方程進行求解。隨著相數的增加，求解難度增加。為了解決這一問題，雙d-pSVPWM被提出，基波參考矢量由其所在α-β子空間中對應扇區相鄰的2個大矢量與2個中矢量合成，三次諧波參考矢量由其所在x-y子空間中對應扇區相鄰的2個大矢量與2個中矢量合成，在2種子空間中同相位的大矢量與中矢量的作用時間比都是1.618[20-21]。由于基波與三次諧波合成過程完全獨立，通過對2個二元一次方程求解即可獲得每個矢量的作用時間。雖然在獲取每個矢量作用時間的過程中，雙d-pSVPWM比d-pSVPWM的計算難度更低。然而，這2種算法從參考矢量到每個功率器件的導通時刻，需要經歷扇區判斷、矢量作用時間計算以及對應導通時刻查詢等步驟，需要占據控制單元大量的資源。因此，López等提出一種基于自然坐標系多維度SVPWM，通過選取一組特定的基礎矢量用于參考矢量的合成，經過矩陣運算和簡單的加減法即可由參考矢量直接獲得每個功率器件的導通時刻[22-23]。文獻[24]通過改進參與合成參考矢量的基礎矢量組，使算法得到了進一步的簡化。

為了獲得三次諧波電流的參考值，文獻[10]提出了一種基于最大電流不變的約束條件來計算基波電流與三次諧波電流的參考值，當三次諧波與基波電流比值χ為1/6時，輸出轉矩最大。然而，其尋找最大轉矩點的方法是基于拉格朗日最優化理論進行的，因此其尋優結果是一個近似值。文獻[25]在此基礎上對最大轉矩點的尋優過程進行了改進，并提出了一種基于銅損不變的約束條件來計算基波與三次諧波電流的給定值。然而，電機的電磁轉矩是由電流與磁鏈共同決定的，因此在尋優過程中應該同時考慮二者中三次諧波與基波分量之比對最大轉矩點的影響。

本文對已有的最大電流不變約束條件進行了改進，給出了不同γ取值范圍內，基波電流與三次諧波電流參考值的計算方法。首先，根據氣隙磁通函數，繞組函數以及磁鏈的表達式，得到相同氣隙在不同γ情況下，氣隙磁通密度函數中基波、三次諧波分量的幅值。其次，根據電磁轉矩在2種約束條件下隨γ與χ的變化趨勢，得到2種約束條件下基波與三次諧波電流參考值計算方法。再次，對3種用于三次諧波控制的SVPWM進行了介紹，根據基礎電壓矢量作用時間的取值范圍，得到最大基波電壓利用率隨Vref3/Vref1增加的變化趨勢。最后，通過實驗對2種約束條件下分別采用3種SVPWM進行了對比。

1 空間氣隙磁通密度與電磁轉矩

5相永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor,PMSM)的電磁轉矩方程為

Te=2.5pn(ψfiq+3ψf3iq3)

(1)

式中:iq為基波q軸電流；iq3為三次諧波q軸電流；ψf為基波諧波磁鏈系數；ψf3為三次諧波磁鏈系數；pn為電機極對數。

(1)式中ψf,ψf3由空間氣隙磁通密度決定。忽略槽開口,空間氣隙磁通密度函數

(2)

式中：θe為轉子位置；τ∈{a=0,b=1,c=2,d=3,e=4};Bm為基波幅值；γ為氣隙磁通密度函數中三次諧波與基波的幅值比值。

(3)

式中：rs為氣隙圓周等效半徑；ls為鐵心軸常；Nph為每相匝數；kw為基波繞組系數；kw3為三次諧波繞組系數。

假設永磁體產生的磁通密度峰值為Bpeak,不同γ的取值范圍,Bpeak所對應的轉子位置也會發生改變,二者之間的關系根據γ的取值分為可以分為2種情況

(4)

將(4)式帶入(2)式,得到不同γ對應的Bm

(5)

將(3)式、(5)式帶入(1)式,其中iq=im,iq3=0

(6)

當γ=1/6時,(6)式取得最大值。

2 基波與三次諧波電流參考值計算

基波電流采用無差拍的控制,三次諧波電流采用PI控制,控制框圖如圖1所示。

圖1 五相PMSM電流環控制框圖

2.1 銅損耗不變

根據圖1可知,id=id3=0,銅損耗為

(7)

式中:R為相電阻；im為等效電流值。

將(7)式帶入(1)式,消除式中iq

(8)

當iq與iq3滿足(9)式中比例關系時,可以得到在銅損耗不變條件下的最大電磁轉矩。

(9)

將(3)式、(5)式、(9)式帶入(1)式,得到此時的最大電磁轉矩

Te-max1=

(10)

式中:kt=10rslsNphBpeak。當γ=(kw/kw3)2-((kw/

kw3)4-(kw/kw3)2/3)0.5時,電磁轉矩最大。以10槽8級為例,其基波繞組系數為0.951,三次諧波繞組系數為0.587 8。當γ=0.172 3時,電磁轉矩最大。

2.2 最大電流值不變

相電流的表達式

(11)

當iq3≠0時,隨著iq3與iq的比例不同,電流最大值所對應的轉子位置也會發生改變,最大電流值與轉子位置之間的關系可以分為以下2種情況

(12)

式中,χ=iq3/iq。

根據(12)式可以得到χ在不同取值范圍內,iq與最大電流imax的函數關系

(13)

將(13)式帶入(1)式

(14)

(15)

當χ=1/9時,(14)式取得最大值

(16)

將(3)式、(5)式帶入(16)式

Te-max2=

(17)

根據(17)式可知,當γ=kw/(6kw-kw3/3)時,電磁轉矩最大。以10槽8級為例,當γ等于0.172 6時,電磁轉矩最大。當χ=kw/(6kw-3γkw3)時,(15)式取得最大值

(18)

將(3)式、(5)式帶入(18)式

(19)

當γ=(kw/kw3)-((kw/kw3)2-(kw/3kw3))0.5時,(17)式為最大值。以10槽8級為例,當γ=0.176 3時,電磁轉矩最大。

2.3 2種約束條件下的比較

假設im與imax相等,當電機的極/槽配合確定后,在2種約束條件下,最大輸出轉矩僅由γ決定。以10槽8級為例,根據(6)式、(10)式、(19)式,可以得到在3種條件下,最大輸出轉矩隨γ增加變化趨勢,如圖2所示。從圖2可知,在任何約束條件下,最大輸出轉矩都是隨著γ增加先增大后減小的。最大電流不變與銅損不變2種約束條件下最高值點由kw與kw3共同決定。同基于銅損不變的約束條件相比,采用基于最大電流不變的約束條件在γ的整個取值范圍內都可以獲得更大的電磁轉矩。以10槽8級為例,當γ小于0.172 3時,基于銅損不變的約束條件對輸出電磁轉矩的影響基本可以忽略不計。

圖2 最大輸出轉矩隨γ變化趨勢

3 三次諧波電流控制的SVPWM

3.1 基d-q SVPWM的SVPWM1

參考電壓矢量由基波分量所在扇區對應的2個大矢量和2個小矢量合成。為了實現三次諧波電流的控制,在計算每個基礎電壓矢量作用時間的過程中,同時要考慮參考電壓矢量中基波和三次諧波分量。首先根據基波參考電壓矢量所在扇區,選取對應的4個電壓矢量組成合成矢量組。然后,根據(20)式計算得到每個非零電壓矢量的作用時間

(20)

式中:κ為α-β空間基波參考電壓所在的扇區。

根據(20)式和采樣周期得到導通時刻

(21)

根據(21)式和參考電壓矢量所在扇區,即可得到具體每一相對應的導通時刻,其與傳統四矢量合成中導通時刻對應關系相同[13]。當參考電壓矢量處于扇區中間位置時,利用率最低;當參考電壓矢量處于扇區兩邊時,利用率最高。假設Vref3在x-y子空間中第二扇區中間位置時,Vref1處于α-β子空間中的第一扇區中間位置,v16與v29的作用時間相同,v24與v25的作用時間相同,所以Vref1,Vref3有

(22)

式中

(23)

當Vref1與Vref3在各自子空間第一扇區右邊位置時,v24與v29作用時間為零。由于在一個360°電角度周期內參考電壓矢量幅值處處相等,所以Vref1,Vref3有

(24)

式中

(25)

由于逆變器功率等級的限制,相電壓的最大值不能超過0.5udc,因此,tlr1|θ=0°與tmr1|θ=0°需滿足以下的限定條件

(26)

將(22)式與(24)式做差,整理后

(27)

將(27)式帶入(23)式

(28)

根據(25)式、(26)式及(28)式可得到tlr1|θ=0°與tmr1|θ=0°的取值區間，進而可得到以下結論:①當tlr1|θ=0°=1.618tmr1|θ=0°,Vref3等于零,隨著tmr1|θ=0°增加,|Vref1|不斷增加。tmr1|θ=0°最大取值為0.382Ts,此時,最大基波電壓的利用率為1.051 4;②當tlr1|θ=0°>1.618tmr1|θ=0°,Vref3為負值,隨著二者之間比值不斷增大,|Vref3/Vref1|也隨著增大;③tlr1|θ=0°/

(1.618tmr1|θ=0°)不大于5.236 4,|Vref3/Vref1|≤0.236,且最大基波電壓利用率隨著tlr1|θ=0°/tmr1|θ=0°比值的增加而增加。

3.2 基于雙d-q SVPWM的SVPWM2

在α-β坐標系上具有相同相角的大矢量與中矢量,在x-y坐標系中對應的伴隨電壓矢量相角相差為180°;在x-y坐標系中具有相同相角的大矢量與中矢量,在α-β坐標系上對應的伴生電壓矢量相角同樣相差為180°。因此可以通過分別控制2種子空間內大矢量與中矢量的作用時間比為1.618∶1,使合成后的電壓矢量在其他子空間中的伴隨電壓矢量幅值為零,從而實現基波(與三次諧波)參考電壓矢量合成過程的相互獨立,互不干涉。首先,根據Vref1和Vref3的方向,判定Vref1和Vref3在相應子空間內對應的扇區,從而得到參與合成的矢量組,電機轉子每旋轉10°電角度,參與合成的矢量組改變一次;然后,將基波和三次諧波參考值分別帶入(29)和(30)式,依次得到α-β坐標系與x-y坐標系中各自中矢量作用時間。

(29)

(30)

式中:ι為x-y空間三次諧波參考電壓所在的扇區。

根據(29)和(30)式和采樣周期得到導通時刻

(31)

根據(31)式、Vref1和Vref3所在扇區,得到每一相對應導通時刻。其中基波參考電壓矢量所在扇區與每一相導通時刻之間的對應關系和SVPWM1中是一致。三次諧波參考電壓矢量所在扇區與每一相導通時刻之間的對應關系,如表1所示。通過將基波與三次諧波參考電壓對應的導通時刻相疊加,即可得到功率器件的導通時刻。當Vref1位于α-β子空間中Ⅰ扇區中間,Vref3位于所在x-y子空間Ⅱ區域中間時,u16-25與u24-29合成Vref1,u4-21與u20-23合成Vref3。u16-25與u24-29作用時間相同,u4-21與u20-23作用時間

表1 三次諧波參考電壓矢量對應的導通時刻

相同,各虛擬電壓矢量作用時間和Vref1和Vref3之間關系滿足

(32)

式中:tr1|θ=18°為u16-25與u24-29的作用時間,tr3|θ=18°為u4-21與u20-23的作用時間,2個矢量的作用時間滿足以下約束

(33)

當Vref1和Vref3都位于相應子空間中Ⅰ扇區右邊,u24-29與u20-23作用為零。各虛擬電壓矢量作用時間和Vref1,Vref3之間關系滿足

(34)

式中:tr1|θ=0°為u16-25的作用時間,tr3|θ=0°為u16-22的作用時間,2個矢量的作用時間滿足以下約束

(35)

對(32)式與(34)式做差,整理后

(36)

將(36)式帶入(33)式

(37)

由于相電壓幅值的限制tr1|θ=0°與tr3|θ=0°還需滿足以下的限定條件

(38)

結合(37)式、(38)式得到tr1|θ=0°與tr3|θ=0°的取值區間。根據SVPWM2算法中基礎矢量作用時間的計算方式可知,Vref3/Vref1=tr3|θ=0°/tr1|θ=0°,因此,tr3|θ=0°/tr1|θ=0°的比值不會大于1。

3.3 基于多維度SVPWM的SVPWM3

開關狀態與相電壓的對應關系

(39)

式中，sτ依次對應著每相橋臂的工作狀態,sτ∈{0,1}。

由5相相電壓得到基礎電壓矢量在α-β子空間與x-y子空間的表達式

(40)

式中:下標h=(sa,sb,sc,sd,se)∈{0,1,2…31}。

根據(39)式與(40)式可以發現,所有開關狀態對應的電壓矢量均可以分解為5個基礎向量v1,v2,v4,v8,v16。同理,由基礎電壓矢量合成的基波參考電壓矢量和三次諧波參考電壓矢量也可以分解為5個基礎向量v1,v2,v4,v8,v16,5個基礎向量的作用時間依次對應著五相VSI中每一相的導通時間

(41)

根據(39)式與(40)式分別得到v1,v2,v4,v8,v16的表達式,代入(41)式,整理后得到參考電壓矢量與5相VSI的每相對應的導通時間

(42)

5相VSI,每相的導通起始時刻

tτ=0.5(Ts-Tτ)

(43)

在SVPWM3算法中對電機中性點電壓進行控制,取中性點對地電壓為0.5udc,因此,每一相相電壓最大不超過0.5udc。以A相為例進行說明,A相相電壓方程

va(θe)=-Vref1sin(pnθe)-Vref3sin(3pnθe)

(44)

隨著Vref1和Vref3之間的比例不同,A相相電壓最大值所對應的轉子位置也會發生改變。電流與電壓方程結構相似,因此最大值對應的轉子位置也相同,將(12)式帶入(44)式

(45)

為了使A相相電壓的最大值不大于0.5udc。根據(45)式,可以得到η不同取值范圍內Vref1的最大值。當0<η≤1/9時,Vref1=0.5udc/(1-η);當η>1/9,Vref1=1.5(3η)0.5udc/(3η+1)1.5。

3.4 3種SVPWM的電壓利用率比較

根據3.3節中的論述,可以得到3種算法基波電壓利用率隨Vref3/Vref1增加的變化趨勢,如圖3所示。

圖3 3種SVPWM,基波電壓利用率隨Vref1/Vref3變化

從圖3可以得到以下結論:①當Vref3等于零時,采用SVPWM1與SVPWM2對應的最大基波電壓利用率一樣,為1.051 4,高于SVPWM3,SVPWM3的最大電壓利用率等于1;②隨著三次諧波電壓的注入,SVPWM1的電壓利用率不斷增加,SVPWM2的電壓利用率不斷減小,SVPWM3先增加后減小,當Vref3/Vref1=0.183 5時,其對應最大基波電壓率用率最大;③當Vref3/Vref1∈(0,0.025),SVPWM1對應的最大基波電壓利用率最高,SVPWM2次之,SVPWM3最小。當Vref3/Vref1∈[0.025,0.236],SVPWM1的最大基波電壓利用率最高, SVPWM3次之,SVPWM2最小。當Vref3/Vref1∈(0.236,1],SVPWM1不在適用,SVPWM3的最大電壓利用率大于SVPWM2。

4 實驗結果

實驗測試平臺如圖4所示。主控單元采用的數字信號處理器 (DSP),用于實現3種SVPWM算法和電流給定值計算,實驗電機參數如表2所示。

圖4 實驗平臺

表2 五相PMSM主要參數

圖5 SVPWM1,iq=1.5,iq3=0 圖6 SVPWM2,iq=1.5,iq3=0

圖7 SVPWM3,iq=1.5,iq3=0 圖8 中性點對地電壓

圖9 SVPWM1,iq=1.7,iq3=0.283 圖10 SVPWM2,iq=1.7,iq3=0.283

圖11 SVPWM3,iq=1.7,iq3=0.283

而且隨著基波參考電流的增大,以及三次諧波電流的注入,增加了負載轉矩的輸出,導致轉速升高,從而使相電壓的幅值與頻率也隨之升高。

5 結 論

在此基礎之上,文中對比了3種用于三次諧波電流控制的SVPWM。3種方法中SVPWM3的計算量最小,最大基波電壓利用率隨Vref3/Vref1增加先增加后減小。除此之外,同其他2種算法相比,采用SVPWM3算法電機繞組中沒有5次共模電壓存在。SVPWM2與SVPWM3可以注入任何比例的三次諧波,而SVPWM1的注入比例不能大于0.236。