基于最小二乘估計法預測管柱運動軌跡

馬利進

（1.天水電氣傳動研究所集團有限公司，甘肅 天水 741020；2.大型電氣傳動系統與裝備技術國家重點實驗室，甘肅 天水 741020）

伴隨著傳統石油鉆機鉆井作業起、下鉆管柱處理人工操作生產效率低，安全風險高，勞動強度大，作業成本高等問題，智能化管柱處理集成控制技術作為提升石油鉆機自動化、智能化水平關鍵技術之一，該技術不僅可以配套新鉆機，提升鉆機整體自動化、智能化水平，而且適用于現役陸地鉆機改造升級，讓現役鉆機適應新的市場需求，是目前最為經濟可行的解決方案。為了便于實時觀察，在仿真過程中需以秒或毫秒時間間隔顯示機械臂抓取鉆桿的運動軌跡，為了保證運動軌跡的精確度，要根據接受當前管柱運行狀態對該時刻以后的運動狀態進行預測。

1 最小二乘估計法

最小二乘估計法是對過度確定系統，即其中存在比未知數更多的方程組，以回歸分析求得近似解的標準方法。數學模型的建立需要考慮觀測值和帶估參數的確定關系和隨機關系，需將函數模型與隨機模型一起構成高斯—馬爾科夫模型［3］，最小二乘估計的準則是參數估計使得觀測值殘差平方和最小。

假設一個n維列向量：

其中，X為待估參數，hi是一個n維系數行向量，△i表示第i次觀測的誤差。

經過多次觀測的方程為：

函數模型可以表示為Z＝H·X＋△，在大多數情況下觀測噪聲服從期望為0的高斯分布△～（0，D）。在函數模型中，H·X為確定部分，而△為隨機部分，觀測值的隨機特性由觀測誤差△來決定。

由函數模型和隨機模型得到高斯—馬爾科夫模型，假設通過某種觀測得到參數估計為，代入觀測方程后可得估計觀測值，則殘差可以表示為：

上述公式中，所有觀測數據的權重看作相同，但是觀測精度并不是都相同，即方差小的觀測值對參數估計影響大。因此，根據觀測值的方差給觀測值賦予一定的權重，權重矩陣W為：

那么殘差平方和最小原則變為加權最小二乘估計：

由上述公式可知，參數估計由觀測值矩陣、觀測值方差矩陣、權重矩陣決定。

2 多項式預測數學模型

假設目標移動在ti（i＝1，2，3，…，n）時刻內運動軌跡Si可用正交多項式時間函數表示［4］：

其中，ti＝t·T，T表示相鄰數據的時間間隔。

此時，S（t）的最優估計為：

可利用上述公式對tn+dt時刻運動軌跡預測，即：

目標短時間的軌跡可利用單位時間窗口內多項式預測模型，它可以很好地擬合運動軌跡，但是對于長時間的運動軌跡預測，很難按照時間多項式函數描述，時間窗口越長導致的誤差也就越大［5-7］。因而，運動軌跡擬合窗口寬度n不宜過大。為了能夠描述上述情況，采用二次多項式作為目標運動軌跡函數。

目標在三維空間中的運動軌跡多項式函數為：

一般情況下，取n=4，T=1根據最新4組空間中的位置數據，采用最小二乘估計系數。這樣對tn時刻以后的數據預測方程為：

在保證運動軌跡精確度高的情況下，預測下一周期運行時，需要不斷更新位置信息，可利用互動窗口擬合軌跡。

3 實驗仿真與分析

實驗仿真環境在Windows10和MATLAB2014b中，三個兩兩相互垂直的XYZ軸構成歐幾里得空間，存在六個自由度：沿XYZ軸平移的三個自由度，繞XYZ軸旋轉的三個自由度。在歐幾里得空間中任意線性變換都可以通過這六個自由度完成。用4個參數就能描述坐標變換：繞X軸平移距離a；繞X軸旋轉角度α；繞Z軸平移距離d；繞Z軸旋轉角度β。建立機械臂模型如圖1所示。

圖1 機械臂模型

為了檢驗各種復雜狀態下的預測效果，選用一組多狀態運動數據進行模擬。該數據表明機械臂以俯角3°勻速運動0.7m，保持5秒，并且以角速度-5°/s降為0°/s，橫滾角向左傾斜20°左轉彎50°，將角速度提升5°/s抓取提升至35m左右，回調管柱姿勢勻速下放，最后直至放置平穩。

本文提出的軌跡算法預測擬合后的三維空間軌跡圖如圖2所示，經過預測軌跡模型用最小二乘曲面擬合運動軌跡點，擬合結果與實際經驗一致，滿足預測要求。

圖2 預測擬合后的三維空間軌跡圖

4 結論

為解決石油鉆機現場作業機械臂抓取管柱運動軌跡預測的難題，本文提出了基于最小二乘法原理預測管柱運動軌跡的策略，建立了對應的預測多項式數學模型，在Windows10和MATLAB2014b環境下進行了實驗仿真與分析，結果與實際經驗一致，保證管柱運動軌跡的精確度，滿足了預測目標和現場實際工況要求。該方法具有運算速度快、簡單有效和經濟實用等特點，較好地解決了石油鉆井作業中管柱處理系統時效性低的問題，從整體上促進了鉆井技術的轉型升級。