基于彈性勢能的多模數直齒輪副接觸應力分析

朱增寶 龔明針 王東雨

摘 要：為了研究模數變化對多模數漸開線直齒輪副齒面接觸應力的影響規律，根據理論齒側間隙為零原則，推導了多模數漸開線直齒輪副的嚙合角計算公式;引入了漸開線齒廓參數，結合基于最小彈性勢能的非均勻載荷分配模型和赫茲應力模型，提出了多模數直齒輪副齒面接觸應力計算公式并對多模數漸開線直齒輪副接觸應力進行分析。結果表明：齒面接觸應力隨模數比增大而減小;采用多模數嚙合形式，能減小少齒數主動輪嚙合起始點的接觸應力;齒面最大接觸應力位置在嚙合起始點或單齒嚙合內點。

關鍵詞：多模數;漸開線直齒輪副;載荷分配;接觸應力

Abstract：In order to study the effect of modulus change on the contact stress of multi-module involute spur gear pair，the formula was derived for calculating the meshing angle of the involute spur gear pair with multi-module based on the theory that the tooth side clearance was zero. By introducing the involute tooth profile parameters and applying the non-uniform load distribution model based on the minimum elastic potential energy and the Hertz stress model， a formula for calculating the contact stress on the tooth surface of the multi-module spur gear pair is presented and the contact stress of the multi-module spur gear pair is analyzed. The results show that the contact stress decreases with the increase of modulus ratio. Adopting multi-module meshing can reduce the contact stress of the initial meshing point of the driving wheel with few teeth. The position of the maximum contact stress of tooth surface is the initial meshing point or the inner point of single tooth meshing.

Key words：multi-module;involute spur gear pair; load distribution; contact stress

漸開線齒輪廣泛應用于航空航天、船舶車輛和工程機械等領域，齒面接觸應力是影響其接觸疲勞破壞的主要因素[1]，同時也是衡量與評估齒面接觸承載能力的重要條件。文獻[2-3]使用赫茲接觸理論來評估接觸應力，假定載荷沿接觸線均勻分配，并引入了幾種載荷分配影響因素來校正接觸應力的計算值[4-5]6。實際上，載荷分布取決于齒輪副接觸點的嚙合剛度，剛度在任何接觸點都不同，這意味著每單位齒寬的載荷在接觸線的任何點上也都不同[6]。有許多研究通過理論計算法、實驗和有限元分析等多種方法確定了直齒輪副的載荷分配比[7-10]785。

以上研究都是針對主、從動輪模數相等的齒輪副。對于主、從動輪模數不相等，但滿足法節相等嚙合條件的齒輪副（簡稱多模數齒輪副）的齒面接觸應力研究，目前鮮見相關報道。

基于此，本文根據理論齒側間隙為零原則，推導了多模數漸開線直齒輪副的嚙合角計算公式。引入漸開線齒廓參數，結合赫茲理論模型和基于最小彈性勢能的載荷分配模型，推導多模數齒輪副的齒面接觸應力公式;分析了模數比對多模數齒輪副接觸應力的影響，為多模數嚙合齒輪傳動設計提供參考。

1 多模數直齒輪副無側隙嚙合方程

1.1 齒輪副正確嚙合條件

漸開線直齒輪正確嚙合條件[11]

1.2 齒輪副無側隙嚙合方程

在無側隙嚙合情況下，主動輪沿節圓的齒厚sH1等于從動輪沿節圓的齒槽寬度wH2。

2 載荷分配模型

2.1 齒廓參數

文獻[7]782詳細介紹了最小彈性勢能的載荷分配模型。彈性勢能是根據彈性理論和齒輪齒形參數計算得出，單位載荷和單位齒寬的勢能（單位勢u）取決于接觸點，主動輪齒廓上的接觸點齒廓參數ξ為式中：z1為主動輪齒數;rb1為主動輪基圓半徑，mm;rC1為主動輪在接觸點處的半徑，mm。該參數具有物理意義：它是接觸點處的曲率半徑與基圓齒距之比，也是接觸點的滾動角與齒距圓心角2π/z之比。

2.2 載荷分配

在考慮同時接觸的所有成對齒的情況下計算彈性勢能，其中作用在每對齒上的負載計算公式由文獻[7]784得

3 多模數直齒輪接觸應力計算公式推導

3.1 赫茲公式

3.2 多模數直齒輪副接觸應力公式推導

以赫茲公式為基礎推導適應多模數漸開線直齒輪副嚙合特點的齒面接觸應力計算公式，過程如下。

4 多模數齒輪副齒面接觸應力分析

4.1 算例參數設置

本文漸開線齒輪材料：齒輪的材料為20CrMnTi，表面滲碳淬火處理，齒面硬度HRC 57～63，彈性模量E為206GPa，泊松比ν為0.3。齒輪副基本參數設置如表 1所示。

由式（1）易知，從動輪的分度圓壓力角α2隨著模數比的增大而增大，易出現齒頂變薄、加載時容易斷齒的現象[15]。根據文獻[16]可知，工程實際應用齒厚通常要大于0.25～0.4倍的模數，本文中取模數比時均以0.25倍模數為最小齒厚限制，因此本文模數比上限可取到1.08～1.1。為使從動輪的分度圓壓力角不小于20°，本文中模數比下限取為1.0。

4.2 主動輪齒數較少時齒面接觸應力分析

現以主動輪轉數為4 000r/min， 傳輸功率為150kW， 主動輪齒數為17， 從動輪齒數為52的齒輪副帶入式（26）取模數比分別為1.0、1.02、1.04、1.06、1.08進行齒面接觸應力計算，得到各模數比的齒面接觸應力情況如圖1所示。

由圖1，當齒輪副齒數比較大且主動輪輪齒較少時，齒面接觸應力的最大值并沒有出現在單齒嚙合內點附近，而是出現在嚙合起始點。因此，并不能將單齒嚙合內點的齒面接觸應力計為最大值，而應比較單齒嚙合內點和嚙合起始點處應力值的大小。

對于嚙合起始點附近的齒面接觸應力會異常大的現象，本文從綜合曲率半徑的角度來說明。由式（22）可知，當齒廓參數值ξinn非常小時綜合曲率半徑ρΣ（ξ）值較小，從而通過計算得到的齒面接觸應力較大。從圖1可以看到，模數比的改變正是增大了ξinn才使得小齒數齒輪嚙合起始點的齒面接觸應力減小。因此，采取多模數嚙合形式用于齒輪副齒數比較大且主動輪輪齒較少的情況可以有效的減小嚙合起始點的應力。

4.3 主動輪齒數較大時齒面接觸應力分析

現以主動輪轉數為4 500r/min，傳輸功率為450kW，主動輪齒數為29， 從動輪齒數為101的齒輪副帶入式（26）取模數比分別為1.0、 1.02、 1.04、1.06、1.08、1.1進行齒面接觸應力計算，得到各模數比的齒面接觸應力情況如圖2所示。

對比主動輪齒數較少時的情況可以發現：當主動輪齒數較多時，齒面接觸應力較大的點出現在單齒嚙合內點;隨著模數比的增大，嚙合起始點的接觸應力有較大幅度的降低，這也要得益于增大了模數比的緣故。因為，模數比的增大使得嚙合起始點齒廓參數值ξinn增大，增大了該點的綜合曲率半徑，從而降低了齒面接觸應力。

4.4 節點的接觸位置和接觸應力分析

通過對主動輪節圓半徑的計算，利用式（6）很容易得到節點在接觸線上的位置，也很容易計算節點所在位置的接觸應力。本文發現，當模數比處于某一范圍時，多模數齒輪副節點會處于雙齒嚙合區，如圖2圓點標示。通過計算單齒嚙合區外點齒廓參數ξout和節點齒廓參數ξp，可以發現，當模數比δm≥1.014 3時有ξp≥ξout=ξinn+1，也就是說節點已經處于雙齒嚙合區了。齒輪副參數（如齒數）會影響多模數齒輪副節點位于雙齒嚙合區的臨界模數比值，例如主動輪齒數為17，從動輪齒數為52時，在沒有變位的條件下，只有當δm≥1.068 7時，節點才能處于雙齒嚙合區。

如圖2圓點標示，當模數比δm=1.0時—齒輪副節點位于單齒嚙合區—節點附近為單對齒受力，接觸應力值約為700MPa。當模數比δm分別為1.02、1.04、1.06、1.08、1.1時—齒輪副節點位于雙齒嚙合區—節點附近為兩對齒受力;隨著模數比的增大節點應力降低得非常明顯，當模數比δm=1.1時，節點接觸應力值小到400MPa以下，節點的接觸應力變化量為48.6%。

對于使用最多的壓力角為20° 的漸開線非變位同模數直齒輪副來說，在節圓附近只有一對齒嚙合，節點附近的齒面承受了全部載荷。在絕大多數情況下齒輪的點蝕發生在節圓附近的齒面上。因此，若節點位于兩對齒嚙合區內，減小易產生點蝕部分的載荷，點蝕便不易產生。從這一角度考慮，本文改變齒輪副模數比使節點位于雙齒嚙合區的嚙合傳動方法是有益的。

5 模數比對最大齒面接觸應力的影響

在實際齒面強度的校核計算中，最關心的還是沿接觸線的最大齒面接觸應力。為找到模數比對最大齒面接觸應力的具體影響，先后對下列兩組齒輪副：第一組：z1=25， z2=40; 第二組：z1=25，z2=85進行不同模數比下的最大齒面接觸應力計算，結果如圖3所示。需要說明的是圖3兩組齒輪副的傳遞功率有所不同，但是這并不影響其變化趨勢。

由圖3可以看出，在第一組齒數條件下，隨著模數比的增大，齒輪副最大齒面接觸應力有所降低而且是持續降低。在第二組齒數條件下，最大齒面接觸應力有一個先增后減的趨勢;當模數比δm=1.03時達到最大，δm=1.08時達到最小。結合圖2和圖3可知，模數比改變了齒輪副齒形參數，隨之改變的是齒廓參數，從而改善最大齒面接觸應力。單從齒面接觸應力這一點來說，模數比越大接觸應力總體有降低的趨勢。

6 結論

（1）漸開線直齒輪齒面接觸應力較大的位置不總是出現在單齒嚙合內點附近;當齒輪副齒數比較大且主動輪輪齒較少時，齒面接觸應力較大的位置便出現在嚙合起始點附近。

（2）當齒輪副齒數比較大且主動輪輪齒較少時，主動輪齒根附近的接觸應力會異常的大，若采取多模數嚙合形式增大嚙合起始點綜合曲率半徑從而減小了該點接觸應力。

（3）多模數直齒輪副可以通過改變齒輪副模數比使節點位于雙齒嚙合區，從而使節點附近承受的接觸壓力顯著降低。

（4）在一定的齒數條件下，齒輪副最大齒面接觸應力隨著模數比的增大而有所減小。在齒輪系統設計中采取多模數嚙合形式可改善接觸應力。

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